Mathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten

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1 Mathe-Camp 2017 Stochastik: Geometrische Wahrscheinlichkeiten Jo rn Saß, Fachbereich Mathematik, TU Kaiserslautern Arbeitsgruppe Stochastische Steuerung und Finanzmathematik Kaiserslautern 27. Ma rz 2017

2 Überblick Grundlagen zum Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Geometrische Wahrscheinlichkeiten Aufgaben Intergale zur Flächenberechnung Buffons Nadel und Bertrands Paradoxon Geschichtliche Anmerkungen 2 / 12

3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Ergebnisse, Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten Zufall in Glücksspielen, Wettervorhersagen, Aktienkursen, atomaren Zerfall Bei einem Zufallsexperiment ist bekannt, welche Ergebnisse möglich sind, aber unbekannt, welche eintreten werden. Modellierung mit Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) bestehend aus Ergebnismenge Ω: Umfasst alle Ergebnisse ω Ω, die in dem Experiment möglich sind. Menge von Ereignissen A: Ein Ereignis A A ist eine geeignete Teilmenge von Ω, d.h. A Ω. Wahrscheinlichkeit P ordnet jedem Ereignis A seine Wahrscheinlichkeit zu. Ist Ω endlich, so können alle Teilmengen von Ω als Ereignisse betrachtet werden. Ist Ω nicht endlich (z.b. = R), so muss man gewisse patholgische Mengen ausschließen. Beispiel: Zweifacher Würfelwurf. 3 / 12

4 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Ereignisse und ihre Verknüpfung Spezialfälle von Ereignissen: Elementarereignis {ω} für ω Ω, sicheres Ereignis Ω, unmögliches Ereignis. Verknüpfungen von Ereignissen: A und B : A B (Durchschnitt) A oder B : A B (Vereinigung) A, aber nicht B : A \ B (A ohne B) Gegenereignis, nicht A : A c = Ω \ A (Komplement von A) A, B schließen sich aus : A B = (A und B sind disjunkt) Beispiel: Zweifacher Würfelwurf. 4 / 12

5 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit P : A [0, 1] ist eine Funktion, die jedem Ereignis A seine Wahrscheinlichkeit P(A) zuordnet. Es gelten für alle Ereignisse A, B, A 1, A 2,... die Rechenregeln P(A) 0, P( ) = 0, P(Ω) = 1 P(A 1 A 2...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +..., P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A c ) = 1 P(A) P(A) P(B), falls A B falls A i A j = für alle i j Ereignisse A, B heißen unabhängig, falls P(A B) = P(A) P(B). Ist Ω endlich und sind alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich, so gilt P(A) = Beispiel: Zweifacher Würfelwurf. Anzahl der Ergebnisse in A Anzahl der Ergebnisse in Ω = A Ω. 5 / 12

6 Geometrische Wahrscheinlichkeiten Geometrische Wahrscheinlichkeiten Ist Ω nicht endlich, so können die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen A nicht mit A / Ω berechnet werden. Geometrischen Wahrscheinlichkeiten: Ist Ω eine geometrisch gutartige Menge in R 3, so wird für Ereignisse A durch P(A) = Volumen von A Volumen von Ω eine Wahrscheinlichkeit auf Ω festgelegt, die Gleichverteilung auf Ω. Das gilt entsprechend für Ω R 2 mit Flächen und für Ω R mit Längen. Dabei können die Längen etc. aus mehreren Stücken zusammengesetzt sein. Aufgabe 1: Seien a und b positive reelle Zahlen mit a < b. Zwei Punkte werden zufällig (gleichwahrscheinlich) auf einer Strecke der Länge b gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Punkte mindestens den Abstand a haben? 6 / 12

7 Aufgaben Aufgaben Aufgabe 2: Seien x und y zwei gleichwahrscheinliche und unabhängig voneinander gewählte Zahlen aus [0, 1]. Wie wahrscheinlich sind die folgenden Ereignisse: (a) A 1 = x y, (b) A 2 = x + y 1, (b) A 3 = x = y? Aufgabe 3: Ein Ehepaar verabredet sich zwischen 15:00 Uhr und 16:00 Uhr auf dem Betzenberg. Der Ehepartner, der zuerst ankommt, wartet 15 Minuten auf den anderen und geht dann wieder weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ehepartner sich treffen, wenn beide gleichwahrscheinlich und unabhängig voneinander in der einen Stunde ankommen? 7 / 12

8 Aufgaben Noch mehr Aufgaben Aufgabe 4: Auf der inneren Unterseite eines Schuhkartons ist ein Kreis mit Radius 10 cm gemalt. Das Innere des Schuhkartons ist 22 cm breit und 32 cm lang. Eine Münze mit Durchmesser 2 cm wird hineingelegt, der Karton geschlossen und lange geschüttelt. Wie wahrscheinlich ist es, dass danach das Geldstück ganz im Kreis liegt? Aufgabe 5: Auf ein Schachbrett mit Feldern der Seitenlänge 4 cm wird eine Münze mit Durchmesser 2 cm geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie in einem weißen Feld zum liegen kommt, ohne ein schwarzes Feld zu berühren? Dabei werden nur die Würfe betrachtet, für die der Mittelpunkt der Münze ganz auf den Feldern des Schachbrettes zum liegen kommt. 8 / 12

9 Flächenberechnung mit Integralen Erweiterung: Integrale zur Lösungsberechnung In Aufgabe 2 können wir weitere Fälle betrachten, zum Beispiel: Aufgabe 2 (d): Seien x und y zwei gleichwahrscheinlich und unabhängig voneinander gewählte Zahlen aus [0, 1]. Wie wahrscheinlich ist das Ereignis A 4 = y > x 2? Die Lösung erfordert Integrale zur Flächenberechnung: P(A 4 ) = P(y > x 2 ) = 1 P(y x 2 ) = 1 [ ] 1 1 = 1 3 x 3 = = x 2 dx 9 / 12

10 Buffons Nadel und Bertrands Paradoxon Die Nadel von Buffon ( ) Problemstellung: Eine Ebene wird mit parallelen Geraden im Abstand 1 cm versehen. Auf die Ebene wird eine Nadel der Länge a, a < 1 cm, geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine der Geraden berührt. Lösungsansatz: Die Lage der Nadel wird durch die Lage des Mittelpunktes m der Nadel zwischen zwei Geraden, 0 m < 1, und den Winkel γ zur Senkrechten, π 2 γ < π 2, beschrieben, d.h. (m, γ) wird gleichwahrscheinlich aus dem Rechteck Ω = [0, 1) [ π 2, π 2 ) gezogen. Das Ereignis A, dass die Nadel eine der Geraden berührt, entspricht dann A = {(m, γ) [0, 1) [ π 2, π 2 ) : m a 2 cos(γ) oder 1 m a } 2 cos(γ). Die Wahrscheinlichkeit ist P(A) = 1 π 2 a 2 π/2 π/2 cos(γ) dγ = a π [sin(γ)]π/2 π/2 = 2 a π. Dies liefert eine Möglichkeit zur experimentellen Bestimmung von π. Wolf (1850) ermittelt mit 5000 Würfen einen Schätzwert von 3,159 für π. 10 / 12

11 Buffons Nadel und Bertrands Paradoxon Bertrands Paradoxon ( ) Problemstellung: Eine Sehne wird zufällig in einem Kreis gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = Die Sehne ist länger als die Seitenlänge eines einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? Notation: Radius r, Länge der Sehne s, Länge der Dreiecksseite d. Drei Lösungsansätze: 1. Zufällige Wahl des Mittelpunktes der Sehne. Falls der Mittelpunkt im Inneren des Kreises mit Radius r/2 liegt, ist s > d. Dies liefert P(A) = 1/4. 2. Fixiere einen Schnittpunkt der Sehne mit dem Kreis. Dann gilt s > d falls der andere Schnittpunkt im gegenüberliegenden Drittel-Kreissegment liegt. Dies liefert P(A) = 1/3. 3. Die Länge der Sehne ist auch durch Abstand zum Kreismittelpunkt und durch den Winkel der Senkrechten zur x-achse bestimmt. Bei Abstand kleiner r/2 und beliebigem Winkel gilt s > d. Dies liefert P(A) = 1/2. Der scheinbare Widerspruch ist aber keiner. Die Aufgabe ist schlecht gestellt: Man muss vorher festlegen, was zufällige Wahl der Sehne bedeutet und dann den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum bestimmen. 11 / 12

12 Geschichtliche Einordnung Etwas zur Geschichte Zu Beginn der Wahrscheinlichkeitsrechnung waren viele Probleme durch Glücksspiele motiviert. Lösung mit Kombinatorik (16./17. Jh). In überabzählbaren Ergebnismengen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten möglich bei stetigen Dichten, z.b. Normalverteilung (Gauß, Anfang 18. Jh). In überabzählbaren Ergebnismengen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auch mit geometrischen Überlegungen (z.b. Nadel von Buffon, 18. Jh). Paradoxien (z.b. Bertrand, 19. Jh.) führten zu großer Verunsicherung in der Wahrscheinlichkeitstheorie bis Anfang des 20. Jhs. Kolmogorov (1933): Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie durch Start mit Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Darauf aufbauend kann die Wahrscheinlichkeitstheorie aufgebaut werden. Es lässt sich dann z.b. zeigen, dass relative Häufigkeiten gegen Wahrscheinlichkeiten konvergieren. Wahrscheinlichkeitsraum ist passend zum Problem zu wählen (Modellierung). 12 / 12