Einführung Fehlerrechnung

Transkript

1 Einführung Fehlerrechnung Bei jeder Messung, ob Einzelmessung oder Messreihe, muss eine Aussage über die Güte ( Wie groß ist der Fehler? ) des Messergebnisses gemacht werden.

2 Mögliche Fehlerarten 1. Systematische Fehler 2. Zufällige Fehler

3 Beispiele Systematische Fehler Unvollkommene Messgeräte (alte Batterien) Einfluss der Umwelt (Temperatur, Druck) Messverfahren ungeeignet (wiegen von magnetischen Materialien) Fehler bei der Durchführung (falscher Messbereich gewählt)

4 Systematische Fehler Systematische Fehler lassen sich niemals vollkommen ausschließen. Sie beeinflussen das Messergebnis auf ganz bestimmte Art und Weise hinter den Fehlern steckt System. Häufige Wiederholung der Messung kann ihren Einfluss auf das Messergebnis nicht verringern.

5 Beispiele Zufällige Fehler Bedienung einer Stoppuhr Messen mit dem Messschieber Ausrichtung eines Fotodetektor zu Lichtquelle Analoges Zeigermessgerät

6 Zufällige Fehler Führen dazu, dass das Messergebnis mal in der einen, mal in der anderen Richtung vom wahren Wert abweicht. Häufige Wiederholungen einer Messung führen dazu, dass sich die Abweichungen nach unten und nach oben die Waage halten. Es folgt: Erst das häufige Wiederholen einer Messung kann eine Aussage über das Ergebnis der Einzelmessung ergeben.

7 Häufigkeitsverteilung & Histogramme Frage: Kommen bestimmte Messwerte häufiger vor als andere? Wenn ja, welche? Zuordnung jedes Messwerts zu einer Klasse von Messwerten. Auftragen der Häufigkeiten über den Messwerten ergibt ein sog. Histogramm

8 Gaußsche Glockenkurve Für eine unendliche Anzahl von Messungen nähert sich die Einhüllende des Histogramms einer charakteristischen Form an: Gaußsche Glockenkurve

9 Gaußsche Glockenkurve Der Mittelwert ist der Wert, bei dem n(t) ein Maximum hat. Bei unendlich vielen Einzelmessungen kommt dieser Wert am häufigsten vor. Er stellt somit das wahrscheinlichste Ergebnis einer Messung dar. Eine Messreihe liefert also nie eine wahren sondern immer nur einen wahrscheinlichsten Wert.

10 Gaußsche Glockenkurve Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der einzelnen Messwerte um den Mittelwert. Je größer die Streuung der Messwerte, desto breiter wird die Häufigkeitskurve, um so weniger deutlich hebt sich also ein Messwert von den übrigen ab.

11 1- -Vertrauensbereich Es liegen immer rund 63,8% aller Messwerte im Bereich. Im Bereich 2 sind immer rund 95,4% aller Messwerte zu finden. Im Bereich 3 finden sich immer ungefähr 99,7% aller Messwerte.

12 Mittelwert, Standardabweichung der Einzelmessung und Standardabweichung des Mittelwerts Das Ergebnis einer Einzelmessung liegt mit ca. 68% Wahrscheinlichkeit im Bereich Bei nicht unendlich vielen Messungen können nur Schätzwerte, die Bestwerte T und S, für und berechnet werden. Das Ergebnis einer Einzelmessung liegt mit ca. 68% Wahrscheinlichkeit im Bereich T S S wird häufig auch als Fehler der Einzelmessung bezeichnet.

13 Mittelwert, Standardabweichung der Einzelmessung und Standardabweichung des Mittelwerts Die Standardabweichung des Mittelwerts m ergibt sich theoretisch als Standardabweichung der Gauß-Kurve unendlich vieler Mittelwerte T i Daraus folgt: Der Mittelwert einer weiteren Messreihe wird mit ca. 68% Wahrscheinlichkeit im Bereich T ± S m liegen. Die Standardabweichung des Mittelwerts wird häufig auch als Fehler des Mittelwerts bezeichnet.

14 Zwischenergebnis Die Angabe des Ergebnisses einer Messreihe muss immer in der Form T ± S m erfolgen; sie ist implizit so lange mit dem 68%- Vertrauensbereich verknüpft, wie nicht explizit andere Angaben gemacht werden.

15 Absoluter Fehler, Größ ößtfehler und Genauigkeitsangaben S m stellt den absoluten Fehler dar. Die Größe S m / T entspricht dem relativen Fehler, der in Prozent angegeben wird. Bei einer Einzelmessung wird statt des Mittelwerts der Wert der Einzelmessung und statt der Standardabweichung der Größtfehler A angegeben. Der Größtfehler muss nach vernünftigen Maßstäben abgeschätzt werden.

16 Genauigkeit Die Genauigkeit, mit der ein Messergebnis angegeben werden kann, d.h. die Anzahl der signifikanten Stellen ist durch den absoluten Fehler S m (bzw. den Größtfehler) des Bestwertes T limitiert. Der Bestwert T ist dann so zu runden, dass seine letzte signifikante Stelle eine Größenordnung kleiner ist als die letzte signifikante Stelle des absoluten Fehlers.

17 Beispiele FALSCH: R = (90,4671 ± 0,1) R = (83,62 ± 0,2624) RICHTIG: R = (90,47 ± 0,1) R = (83,62 ± 0,3)

18 Fehlerfortpflanzung Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz findet Anwendung, wenn bei einem Experiment nicht die gemessene Größe sondern eine hieraus berechnete Größe interessiert. Die interessierende Größe kann durchaus auch von 2 oder mehr Messgrößen abhängig sein.

19 Fehlerfortpflanzung Um den Bestwert S y für die Standardabweichung von Y zu erhalten, summiert man die Quadrate der partiellen Ableitungen nach den vorkommenden Messgrößen multipliziert mit den Bestwerten der jeweiligen Standardabweichung auf und zieht hieraus anschließend die Quadratwurzel. Die partiellen Ableitungen werden jeweils an den Mittelwerten der Messgrößen berechnet.

20 Fehlerfortpflanzung Wird eine interessierende Größe durch die Messung verschiedener Messgrößen in Einzelmessungen bestimmt, für die nur die Größtfehler vorliegen, wird statt der Standardabweichung der Größtfehler der interessierenden Größe angegeben.

21 Lineare Regression - Korrelation Linear voneinander abhängige Größen sind über die Geradengleichung ax + b miteinander verknüpft. Ziel der Messung ist es dann oft, die Größen a und b zu ermitteln. Die Bestwerte A und B für die Parameter a und b sind dann gefunden, wenn die Summe der Quadrate der vertikalen Abstände der Messwerte von der durch A und B bestimmten Ausgleichsgeraden minimal ist.

22 Lineare Regression - Korrelation Glücklicherweise enthalten gute technisch/wissenschaftliche Taschenrechner heutzutage Programme um alle diese Größen in Bruchteilen von Sekunden zu berechnen.

23 Korrelation Manchmal muss untersucht werden, ob ein vermuteter linearer Zusammenhang zwischen 2 Messgrößen wirklich besteht, ob die beiden Größen also miteinander korreliert sind. Um die Frage zu beantworten, wird der Korrelationskoeffizient r berechnet. Ist der Betrag von r = 1, sind die Größen perfekt miteinander korreliert, ist der Betrag von r = 0, sind die Größen unkorreliert.

24 Fehlerrechnung Weitere Informationen zum Nachlesen und Einarbeiten: anzuklicken über die Website AG Al-Shamery Studium & Lehre Thermodynamik BM