Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am

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1 Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am Bearbeiten Sie bitte zwei der drei folgenden Aufgaben! Falls Sie alle drei Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen Sie bitte, welche zwei davon gewertet werden sollen! Aufgabe 1 ((i) Begriffe; (ii) Translation, Parallelogramm) (i) Streichen Sie bitte aus folgender Liste alle Begriffe, die nicht zur affinen Geometrie gehören! Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, (ii) Zeigen Sie: Unter einer Translation des 3-dim euklidischen Raumes haben Urbild und Bild Strecke jeweils gleiche Länge! Hinweis: Fallunterscheidung! Benutzt werden dürfen Eigenschaften von Translationen in der geordneten affinen Geometrie (u.a. der Spuren einer Translation und, dass Strecken auf Strecken abgebildet werden, Geraden auf parallele Geraden) und Eigenschaften von Parallelogrammen in der euklidischen Geometrie. Nicht benutzt werden sollte die Tatsache, dass eine Translation Bewegung, Produkt zweier geeigneter (längentreuer) Geradenspiegelungen bzw. zweier Punktspiegelungen ist. Aufgabe 2 ((i) Begriffe; (ii) Kongruenz von Dreiecken) (i) Streichen Sie bitte aus folgender Liste alle Begriffe, die nicht zur affinen Geometrie und nicht zur geordneten affinen Geometrie gehören! Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, (ii) Beweisen Sie für den 3-dim euklidischen Raum das sogenannte Schmetterlingsaxiom (siehe die untenstehende Abbildung 1!): Sind A, B, C, X, Y fünf verschiedene Punkte derart, dass A, B, C kollinear sind und AX AY sowie BX BY gilt, dann folgt CX CY. Hinweis: Ohne Beweis benutzen dürfen Sie hier die Kongruenzsätze b.w.

2 oder Eigenschaften der Mittelsenkrechten einer Strecke im 3-dim Raum. Eine Möglichkeit des Beweises ist die Betrachtung der Dreiecke AXB und AY B und dann der Winkel XAB und Y AB. X Y A Abbildung 1 (zu Aufgabe 2) C B Aufgabe 3 (Drachenviereck) In der euklidischen Ebene sei (A, B, C, D) ein Drachenviereck (Deltoid), also ein Viereck mit den Eigenschaften: 1. B und D liegen in verschiedenen Halbebenen zur Geraden AC. 2. AD = AB und BC = CD. Zeigen Sie kongruenzgeometrisch, aber ohne Verwendung des Kongruenzsatzes SSS, dass ABC ADC gilt! Hinweis: Unterscheiden Sie 3 Fälle! Ohne Beweis dürfen Sie verwenden: Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken, der Winkel-Addition bzw. -Subtraktion und von SSS verschiedene Kongruenzsätze. Nicht ohne Beweis verwenden dürfen Sie den Kongruenzsatz SSS, Begriff und Eigenschaften von Symmetrieachsen bzw. Spiegelungen, die Eigenschaften der Diagonalen eines Drachenvierecks. 2

3 3 Lösungsskizzen Zu Aufgabe 1 (i) Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, (ii) Sei τ die gegebene Translation und AB eine Strecke. Zu zeigen ist: AB = τ(a)τ(b). 1.Fall Die Richtung von τ ist von der von AB verschieden. (Siehe Abbildung 2!) Unter τ wird die Strecke AB auf die Strecke A B mit A = τ(a) und B = τ(b) abgebildet, die nicht auf der Geraden AB liegt. Dabei sind AA und BB Spuren von τ und damit parallel. Da Translationen Geraden auf parallele Geraden abbilden, ist das Viereck mit den Ecken A, B, B und A ein Parallelogramm. (Alternative Argumentation: Parallelogramm-Konstruktion ). In jedem Parallelogramm eines euklidischen Raumes haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge. Insbesondere gilt AB = A B. A B A B A B A B A B Abbildung 2 Abbildung 3 2.Fall Die Richtung von τ ist gleich der Richtung von AB. (Siehe Abbildung 3!) In diesem Fall wählt man einen Punkt A, der nicht auf der Geraden AB liegt. Es existieren die Translationen τ AA und τ A A, und es gilt τ AA = τ A A τ AA. Wie im Fall 1) erhält man AB = A B = A B und damit die Behauptung.

4 Zu Aufgabe 2 (i) Punkt, Gerade, Winkelfeld, rechter Winkel, Halbgerade, parallele Geraden, (ii) 1. Beweis-Möglichkeit: Die Dreiecke AXB und AY B sind wegen der Voraussetzung über die kongruenten Strecken nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent. Daher gilt auch XAB Y AB. Es gelte C AB +! (Andernfalls vertauscht man die Bezeichnungen der Punkte A und B.) Mit dem Kongruenzsatz SWS ergibt sich AXC AY C und damit CX CY. 2. Beweis-Möglichkeit: E := {Z ZX ZY } ist eine Ebene (die Ebene der Mittelsenkrechten von XY ). Mit A, B E folgt C AB E und daraus die Behauptung. Zu Aufgabe 3 Da B und D in verschiedenen Halbebenen zur Gerade AC liegen, existiert der Schnittpunkt F der Strecke BD mit der Geraden AC. (Dies folgt auch, da AC Mittelsenkrechte von BD ist). Je nachdem, ob F im offenen Intervall ]A, C[ liegt oder F = C oder F / [A, C] = AC gilt, unterscheiden wir drei Fälle (vgl. Abbildung 4): D D D A F C A C A C F Abbildung 4 a) b) c) B B B 4

5 In allen 3 Fällen kann man wie folgt argumentieren: AC ist die Mittelsenkrechte von BD und (im gleichschenkligen Dreieck ABD) auch die Winkelhalbierende des Winkels BAD; die Behauptung folgt dann mit dem Kongruenzsatz SWS. Alternative Beweise: 1.Fall F ]A, C[ (siehe Abbildung 4a!) Wegen AD = AB ist das Dreieck BAD gleichschenklig. Daher sind dessen Basiswinkel kongruent: ADF ABF. Analog zeigt man CDF CBF. Aus F ]A, C[ ergibt sich, dass DF + \ {D} im Innern von ADC liegt; damit ist die Summe der Winkelgrößen von ADF und F DC gleich der Größe von ADC; analoge Addition ist bei ABC möglich, und man hat somit ADC ABC. Aus dem Kongruenzsatz SWS folgt dann die Behauptung ABC ADC. 2. Alternative: AF ist die Mittelsenkrechte von BD; daher gilt DF = BF und AF D AF B (laut Kongruenzsatz WSW); die Behauptung folgt dann aus der Kongruenz der Winkel F AD und F AB. 2.Fall F = C (siehe Abbildung 4b!) Hierbei sind B, D und C kollinear, und AC ist die Mittelsenkrechte von BD. Wie im ersten Fall gilt ADF ABF, und die Behauptung folgt wieder mit dem Kongruenzsatz SWS. 2. Alternative: AC ist die Mittelsenkrechte von BD; es sind daher ACD und ACB rechte Winkel und jeweils die größeren Winkel in den Dreiecken ABC bzw. ADC. Damit ist der Kongruenzsatz SsW anwendbar. 3.Fall F / [A, C] (siehe Abbildung 4c!) Wie in den beiden anderen Fällen erhält man ADF ABF und ähnlich CDF CBF. Da DC + \ {D} im Innern von ADF bzw. BC + \ {B} im Innern von ABF liegt, erhält man durch Winkelsubtaktion ADC ABC und mit dem Kongruenzsatz SWS die Behauptung. 5