Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:

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1 Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die Folge nicht nach oben beschränkt. Das ist zwar offensichtlich, aber soll hier einmal ausführlich gemacht werden. Angenommen es existierte eine obere Schranke S R, dann müsste für alle n N gelten: n + ( 1) n S n 1 (S ( 1)n ) n 1 (S + 1). Dies ist aber ein Widerspruch zum archimedischen Prinzip, wonach es zu jeder reellen Zahl (hier: 1 (S+1)) eine natürliche Zahl gibt, die größer ist. Monotonie? Die Folge ist monoton, wenn gilt +1 oder +1 für alle n N. Strenge Monotonie liegt vor, wenn sogar das echte Ungleichheitsszeichen für alle n N gilt. Alternativ kann man auch die Differenz +1 betrachten: +1 = (n + 1) + ( 1) n+1 [n + ( 1) n ] = n + + ( 1) n+1 n + ( 1) n+1 = (1 + ( 1) n+1 ) { 0, falls n gerade, = 4, falls n ungerade 0. Damit erhalten wir, dass +1 und ( ) n N somit monoton wachsend ist. Strenge Monotonie liegt nicht vor, dach obiger Ungleichungskette für gerades n gilt +1 =. b) Beschränktheit? Es gilt = n 1 = 1 1. Da 0 < 1 n n n 1 für alle n N, ist auch n < 1 für alle n N. Damit ist die Folge beschränkt. 1

2 Monotonie? Für alle n N gilt 1 n + 1 < 1 n 1 n + 1 > 1 n 1 1 n + 1 > 1 1 n +1 >, also ist ( ) n N streng monoton wachsend. c) Beschränktheit? Es ist { 1 + n 1 + n 1 + n + ( ) = für n = k 1, k N, n 1+ n für n = k, k N. 1+ n+1 Offensichtlich sind alle Folgenglieder größer als Null, so dass die Folge nach unten beschränkt ist. Allerdings ist die Teilfolge (a k 1 ) k N nicht nach oben beschränkt, also auch nicht die ganze Folge ( ) n N. Monotonie? Es ist günstig, ( ) n N in die zwei Teilfolgen (a k ) k N und (a k 1 ) n N zu zerlegen. Wir haben 0 a k 1 = 1 + k 1 3, 0 a k = 1 + k 1 + k+1 = 4 k k = 1, für alle k N. Daher sind die Folgenglieder von ( ) n N abwechselnd kleiner oder gleich 1 und größer oder gleich 3. Es kann also keine Monotonie vorliegen. d) Beschränktheit? Es gilt 0 < n + 1 n + n + < 1, da Zähler und Nenner positiv sind und der Zähler für alle n N kleiner als der Nenner ist. Somit ist die Folge beschränkt. Monotonie? Da alle Folgenglieder positiv sind, können wir den Quotienten +1 bilden. Es ist +1 = (n + 1) + 1 (n + 1) + (n + 1) + n + n + n + 1

3 = n + n + n + 4n + 5 n + n + n + 1 = n4 + 4n n 3 + 4n + 8n n 4 + 4n 3 + 5n + n + 4n + 5 = n4 + 4n 3 + 8n + 8n + 4 n 4 + 4n 3 + 6n + 4n für alle n N {}}{ = n4 + 4n 3 + 6n + 4n + 5 n + 4n 1 + } n 4 + 4n 3 + {{ 6n + 4n + 5 } n 4 + 4n 3 + 6n + 4n + 5 =1 > 1. Es gilt also für alle n N +1 > 1, was äquivalent dazu ist, dass +1 >. Damit ist ( ) n N streng monoton wachsend. 3

4 Aufgabe Vorgegebene Folge ( ) n N mit = a) Sei ε > 0 beliebig. n = n +n n. n+1 i) Es ist 1 < ε n n < ε n (n + 1) n + 1 < ε n + 1 n + 1 < ε n + 1 < εn + ε (1 ε)n < ε 1 Falls ε > 1 1 ε, so ist die obige Ungleichung für alle n > erfüllt. ε 1 Falls ε 1, so ist die linke Seite für alle n N größer oder gleich Null. Da in diesem Fall die rechte Seite negativ wird, kann die obige Ungleichung für kein n N erfüllt werden. ii) Es ist an 1 < ε n n < ε n (n + 1) (n + 1) < ε 1 (n + 1) < ε 1 4ε 1 < n. An der Rechnung in i) sehen wir, dass 1 nicht der Grenzwert von ( ) n N sein kann. Es ist zwar so, dass man für alle ε > 1 ein n 0 N finden kann, so dass 1 < ε für alle n n 0, aber eben nicht für alle ε > 0. Aus ii) folgt, dass lim n = 1 ist, denn zu jedem beliebigen ε > 0 existiert ein n 0 N (hier: irgendeine natürliche Zahl größer als 1 1 ), so dass 4ε an 1 < ε für alle n n0. b) Wir verwenden die Ungleichung aus a) ii). Damit erhalten wir ε j n

5 Aufgabe 3 Bei rekursiven Folgen empfiehlt es sich, zunächst einige Folgenglieder zu berechnen. Mit etwas Glück findet man vielleicht eine explizite Darstellung, die sich besser für eine Konvergenzuntersuchung eignet: Vermutung: = a 0 = 1, = a 1 = = 3, = 1 1 a = = = 7 4, = 3 1 a 3 = = = 15 8, = n+1 1 n Diese Vermutung muss allerdings erst bewiesen werden! Bei rekursiv definierten Folgen drängt sich die vollständige Induktion als Beweismethode auf. Den Induktionsanfang haben wir bereits erledigt (s.o.). Es fehlt also nur noch der Induktionsschluss n n + 1: Also gilt tatsächlich +1 = 1 + I.V. = n+1 1 n = n+1 + n+1 1 n+1 n+1 = n+1 1 n+1 = n+ 1 n+1 = n+1 1 n = 1 n. Damit ist klar, dass die Folge konvergiert mit Grenzwert. Falls man aber nicht auf eine explizite Darstellung kommt, muss man andere Wege finden, Konvergenz nachzuweisen. Außerdem brauchen wir eine Methode, um den Grenzwert zu bestimmen. 5

6 Aus den ersten Folgengliedern kann man zunächst einmal vermuten, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist. Das muss natürlich wieder nachgewiesen werden. Beschränktheit Behauptung: 1 für alle n N. Der Nachweis erfolgt wieder mit vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang ist bereits gemacht. Es fehlt nur noch der Induktionsschluss n n + 1. Es ist +1 = = 1 + I.V > 1, I.V. 1 + =. Monotonie Wir betrachten +1 = 1 + = 1, (s.o.) {}}{ Daraus schließen wir, dass die Folge monoton wächst. 0. Aus Monotonie und Beschränktheit folgt die Konvergenz. Den Grenzwert berechnen wir aus der Rekursionsvorschrift: Die Teilfolge (+1 ) n N ist ebenfalls konvergent gegen denselben Grenzwert wie ( ) n N. Diesen Grenzwert bezeichnen wir als a. Es ist (hierbei greifen wir ein bisschen vor, indem wir die Grenzwertsätze verwenden) ( a = lim +1 = lim ) n n = lim n = a. Der Grenzwert a muss also a = a erfüllen. Die einzige Lösung dieser Gleichung ist aber, so dass a = sein muss. 6