Computergrafik 2: Übung 6. Korrelation im Orts- und Frequenzraum, Filtern im Frequenzraum, Wiener Filter

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1 Computergrafik : Übung 6 Korrelation im Orts- und Frequenzraum, Filtern im Frequenzraum, Wiener Filter

2 Quiz Warum Filtern im Frequenzraum? Ideales Tiefpassfilter? Parameter? Eigenschaften? Butterworth-Filter? Parameter? Eigenschaften? Gaussfilter? Parameter? Eigenschaften? Grundidee Bandpass- / Bandreject-Filterung? Grundidee inverse Filterung? Probleme bei der inversen Filterung? Computergrafik SS0

3 Besprechung Übung 5 Probleme? Computergrafik SS0 3

4 Ideales Tiefpassfilter Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen passieren und dämpft hohe Frequenzen Ideales Tiefpassfilter ideal low pass filter (ILPF) F max : Cut-Off-Frequenz H Fmax ( u, v) = " $ # %$, falls u + v F max 0, sonst. K. D. Tönnies, Grundlagen der Bildverarbeitung Computergrafik SS0 4

5 Butterworth-Filter Frequenzen werden nicht gelöscht, sondern nur abgeschwächt Tiefpass-Filter (BLPF): H ( u, v) = + ( D( u, v) / D ) n 0 Tiefpass Hochpass-Filter (BHPF): H ( u, v) = ( ( )) + D0 / D u, v n D 0 : Cutoff-Frequenz D(u,v): Frequenz, Abst. Ursprung n: Ordnung des Filters Butterworth- Tiefpass H(u,v)=0.5 Computergrafik SS0 5

6 Gauß-Filter Keine Artefakte, da Fourier-Transformation einer Gauß- Funktion wieder eine Gauß-Funktion Tiefpass-Filter (GLPF): " H u, v $ # D 0 ( ) = exp D (u, v) % ' & Gauß- Tiefpass D 0 groß Hochpass-Filter (GHPF): ( ) = exp D (u, v) $ H u, v " # D 0 D 0 : entspricht σ D(u,v): Frequenz, Abstand vom Ursprung % ' & Gauß- Tiefpass D 0 klein K. D. Tönnies, Grundlagen der Bildverarbeitung Computergrafik SS0 6

7 Vermeiden der Auslöschung niedriger Frequenzen beim GHPF Hochpass-Filter (GHPF): H u, v 0 H(u,v) modifiziertes GHPF: H a ( ) = exp D (u, v) $ a H a (u,v) " # D 0 ( u, v) = a + ( a) H u, v % ' & ( ) D 0 : entspricht σ D(u,v): Frequenz, Abstand vom Ursprung R. C. Gonzalez & R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik SS0 7

8 in Python def GLPF((h,w), D0, a = 0.0): H = np.zeros((h,w), dtype='float3') for y in xrange(h): for x in xrange(w): dx = x - w/ dy = y - h/ D = np.sqrt(dx * dx + dy * dy) H[y,x] = np.exp(-d**/(*d0**)) if a > 0.0: H[y,x] = a + (.0 - a) * H[y,x] return H Computergrafik SS0 8

9 Korrelation im Ortsraum Ähnlichkeiten zwischen Bild und Modell feststellen Modell (Template) im Bild suchen R. C. Gonzalez & R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik SS0 9

10 Korrelation im Ortsraum Ähnlichkeitsmaß (normalisierter) Korrelationskoeffizient Mittelwerte subtrahiert und Varianzen normiert Kleineres Bild pixelweise über größeres Bild verschieben und Korrelationskoeffizient berechnen (f = Bild, m = Modell/Template, (x,y) = Suchposition) cc f,m (x, y) = # % $ a a s= a t= b cc f,m (x, y) b s= a t= b b ( m(s,t) m) f (x + s, y + t) f (x, y) ( ) ( m(s,t) m) &# a b (% f (x + s, y + t) f (x, y) ' $ s= a t= b ( ) & ( ' Computergrafik SS0 0

11 Korrelation im Frequenzraum Subtrahiere Mittelwerte von f und m Ähnlichkeitsmaß: Korrelationskoeffizient cc f,g cc f,m (x, y) = a # % $ a a s= a t= b b s= a t= b b = k m(s,t) m s= a t= b a b b ( m(s,t) m) f (x + s, y + t) f (x, y) ( ) ( m(s,t) m) &# a b (% f (x + s, y + t) f (x, y) ' $ s= a t= b ( )( f (x + s, y + t) f (x, y) ) = k m(s,t) f (x + s, y + t) s= a t= b Korrelationsfunktion FT ( ) ([ f g](x, y) ) = F(u, v) G (u, v) Korrelation & ( ' G konjugiert Computergrafik SS0

12 Python-Tipps plt.gray() f = f - np.mean(f) fftsize = (M,N) F = np.fft.fft(f, fftsize) F = np.fft.fftshift(f) plt.imshow(np.log(np.abs(f))) M = np.conjugate(m) CC = np.fft.ifftshift(cc) cc = np.fft.ifft(cc, fftsize) cc = cc[0:h, 0:w] cc = np.real(cc) plt.imshow(cc, cmap=plt.get_cmap('jet')) cc[cc < 0.75 * np.max(cc)] = 0.0 Computergrafik SS0

13 Bandreject/Bandpass-Filter Bandreject-Filter Ideal Butterworth Gauß Bandpass-Filter H BP H ( u, v) = # % $ % & 0, falls D 0 W D D 0 + W, sonst H(u, v) = ' DW + ) D ( D 0 *, + n ' ' H(u, v) = exp D D 0 * ) ), ( ( DW + ( u, v) = H ( BR u, v) *, + Gauß- Bandreject- Filter Gauß- Bandpass- Filter R. C. Gonzalez & R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik SS0 3

14 Wer ist das? Bildrestauration, wie? Computergrafik SS0 4

15 Inverse Filterung Vollständige Rückgewinnung der Information aus den gestörten Daten FT - ( / )= Computergrafik SS0 5

16 Numerische Probleme bei der inversen Filterung g = h* f ( m, n) = Problem: Nullstellen von H Treten auf, falls h als Matrix nicht den vollen Rang hat Auch kleine Werte von H sind numerisch schon ein Problem Deswegen in der Praxis: F ( u v) f (, v) ( u, v) FT (, v) ( ) u, v G u H G u H ( u, v) > H min, = H 0 sonst komplexe Zahlen dividieren? Computergrafik SS0 6

17 Rauschen Problem: Inverse Filterung geht von idealen (ungestörten) Daten aus aber: Bilddaten enthalten Rauschen inverse Filterung verstärkt Rauschen extrem mit steigender Frequenz: (weißes) Rauschen bleibt, Signal- Amplitude nimmt schnell ab, Rauschanteil wird höher g(m, n) = f (m, n)* h(m, n)+η(m, n) G(u, v) = F(u, v) H(u, v)+ N(u, v) G(u, v) H(u, v) = F(u, v)+ N(u, v) H(u, v) ad-hoc Lösung: hohe Frequenzen ausschließen Computergrafik SS0 7

18 Rauschen Invertierung bei Rauschen oft nicht möglich Computergrafik SS0 8

19 Abschneiden hoher Frequenzen komplettes Filter cut-off-radius: 40 unscharfes Bild cut-off-radius:70 cut-off-radius:85 R. C. Gonzalez & R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik SS0 9

20 Wiener Filter Minimierung des Fehlers zwischen Originalbild f und Schätzer ˆf führt zu ˆF(u, v) = X(u, v) G(u, v) X(u, v) = H u, v ( ) H ( u, v) ( ) + S η ( u, v) S f ( u, v) H u, v = H u, v ( ) H ( u, v) ( ) + N ( u, v ) F ( u, v) H u, v S η und S f sind die Spektren (Quadrate der Amplituden) des Rauschens bzw. der ungestörten Funktion S η = 0 (ungestört) è perfekte inverse Filterung Wiener Filter dämpft Frequenzen abhängig von SNR Computergrafik SS0 0

21 Heuristisches Wiener Filter Leider ist S η in der Praxis meist unbekannt Lösung: Konstante K: heuristisches Wiener Filter ˆF K (u, v) = X K (u, v) G(u, v) X K (u, v) = H u, v ( ) H ( u, v) H u, v ( ) + K H ( u, v) = H * ( u, v)h ( u, v) = re H ( u, v) ( ) ( ) + im( H u, v ) Computergrafik SS0

22 Wiener Filter Herleitung Bild/Signal s und Rauschen/Noise n im Ortsraum: o(x) = s(x)+ n(x) o = Observation Bild/Signal s und Rauschen/Noise n im Frequenzraum: O(u) = S(u)+ N(u) Annahmen E[ S(u) ] S(u) sind normalverteilte Zufallsvariablen N(u) sind normalverteilte Zufallsvariablen E[ S(u) ] nimmt mit steigendem u ab E[ N(u) ] ist konstant (weißes Rauschen) E[ N(u) ] u E[X] = Erwartungswert der Zufallsvariablen X Computergrafik SS0

23 Wiener Filter Herleitung E[ S(u) ] S(u) ist (µ S (u),σ S (u))-normalverteilt p( S(u) ) = " σ S (u) π exp S(u) µ (u) S $ # σ S (u) ( ) σ S (u) = E( S(u) µ S (u) * ) + = E ( S(u) ) N(u) ist (µ N (u),σ N (u))-normalverteilt für µ N (u) = 0, σ N (u) = const p( N(u) ) = O(u) = S(u)+ N(u) " σ N (u) π exp N(u) µ N (u) $ # σ N (u) % ' & ( ) p( O(u) S(u) ) = p( S(u)+ N(u) S(u) ) = * +, für µ (u) = 0 S σ N p(n(u)) p(s(u)) % ' = " N(u) % exp$ ' & σ N π # σ N & " π exp O(u) S(u) $ # σ N ( ) % ' & E[ N(u) ] u Computergrafik SS0 3

24 Wiener Filter Herleitung E[ S(u) ] Satz von Bayes p( S(u) O(u) ) = p O(u) p( O(u) S(u) ) p S(u) p O(u) ( ) ( ) = p O(u) S(u) = v v= ( ) ( ) p S(u) = v ( ) = const Gegeben Beobachtung O(u), was ist wahrscheinlichstes Signal? maximiere p(s(u) O(u)) äquivalent zu: minimiere log(p(s(u) O(u))) ( ) = log( p( O(u) S(u) )) log( p( S(u) )) + log( p( O(u) )) log p( S(u) O(u) ) = ( O(u) S(u) ) σ N ( + S(u) µ S(u) ) σ S (u) + const p(n(u)) p(s(u)) Abl. nach S(u) S(u) = + σ N σ S (u) E[ N(u) ] u O(u) Computergrafik SS0 4

25 Wiener Filter Herleitung ( ) ( ( )) log( p( S(u) )) + log( p( O(u) )) f (S(u)) = log p( S(u) O(u) ) = log p O(u) S(u) " = log $ # " = log$ # σ N σ N " π exp O(u) S(u) $ # σ N % '+ π & ( ) ( O(u) S(u) ) σ N %% " '' log " ( S(u) ) %% exp $ && σ S (u) π $ # σ S (u) '' # && " % log$ '+ # σ S (u) π & ( S(u) ) σ S (u) ( ( )) + log p O(u) Ableitung von f(s(u)) = log(s(u) O(u)) nach S(u): O(u) S(u) f '( S(u) ) = + S(u) σ N σ S (u) = S(u) " σ + % $ ' O(u) = 0 # N σ S (u) & σ N S(u) = + σ O(u) = W (u) O(u), mit W (u) = N σ + N σ S (u) E* S(u), log( p( O(u) )) Computergrafik SS0 5