Rudolf Brinkmann Seite und W = {x 3 x 6}

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Jacob Waldfogel
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1 Rudolf Brinkmann Seite Lineare Funktionen Es soll der Graph der Funktion f = {,y y = f() = } in den Bereichen D { } = und W = { 6} f() = erstellt werden Definition Eine Funktion heißt Lineare Funktion, wenn der Graph der Funktion im rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade ist. Sie heißt auch Funktion erster Ordnung oder Funktion ersten Grades. Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: von 8

2 y = f( ) y = f( ) Rudolf Brinkmann Seite Ermittlung der Steigung einer Linearen Funktion mittels Steigungsdreieck y y = f( ) P y = f() y = y -y y = f( ) P α C 0 Δ = - Definition y Die Steigung in einer linearen Funktion ist gleich dem Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (Steigungsdreieck), dessen Hypotenuse Teil des Funktionsgraphen ist. m f( ) f( ) y y y tan = = = = α Sind also zwei Punkte einer Geraden durch ihre Koordinaten gegeben, so kann man:. die Gerade zeichnen. die Steigung der Geraden mit Hilfe des Steigungsdreiecks ermitteln. Beispiele: Gegeben sind die beiden Punkte P (-,-) und P (,5) einer Geraden. Gesucht ist der Graph und die Steigung der Geraden. Die Verbindung der beiden Punkte P und P im Koordinatensystem ergibt den gesuchten Graph der Geraden. Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: von 8

3 Rudolf Brinkmann Seite y 5 P Die Steigung man durch P - der Geraden erhält Berechnung: P(, ) = y = P (,5) = y = 5 Δy y y 5 ( ) 5+ 6 = = = = = = Δ ( ) + m Satz Die allgemeine Form der linearen Funktion hat die Funktionsgleichung y = f() = a+ b mit der Steigung m = a. Hieraus ergibt sich auch die Bezeichnung Funktion erster Ordnung oder ersten Grades, da die Variable nur in der ersten Potenz erscheint. f = {,y y = f() = a+ b} Beweis: Δy f( ) f( ) m = = f( ) = a + b f( ) = a+ b Δ m Δy a + b (a + b) a + b a b a a a( ) = = = = = = Δ m = a a Gegeben sind die beiden Punkte P (-,-) und P (,5) einer Geraden. Gesucht ist die Funktionsgleichung. Berechnung der Steigung: Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: von 8

4 Rudolf Brinkmann Seite P(, ) = y = P (,5) = y = 5 Δy y y 5 ( ) 5+ 6 = = = = = = Δ ( ) + m m = Berechnung von b: y = f() = m + b y = = = f( ) = ( ) + b = + b + = b b = Die Funktionsgleichung: y = f() = m+ b y = f() = + f = {,y y = f() = + } Aufgabe: Gegeben sind die beiden Punkte P (-,-5) und P (,-) einer Geraden. Gesucht ist die Steigung m und die Funktionsgleichung. Zeichne den Graphen. f = {,y y = f() = + } Bestimmung der Achsenabschnitte: Schnittpunkt mit der y Achse: Bedingung: = 0 y = f(0) = 0+ = P y(0,) Schnittpunkt mit der Achse: Bedingung: y = f( 0) = 0 0 = = P (,0) Allgemeine Berechnung: Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: von 8

5 Rudolf Brinkmann Seite f = {,y y = f() = m + b} allgemeine Form der linearen Funktion P (,0) 0 b b 0 = m0 + b 0 = P (,0) m m P (0;y ) y y y = m 0+ b y = b P (0,b) Bedingung für P Bedingung für P y Zusammenfassung: Lineare Funktion: f = {,y y = f() = a + b} f( ) f( ) y y y Steigung einer Geraden: m = = = = tanα Schnittpunkt mit der y Achse: P(0,b) y Schnittpunkt mit der Achse: b P(,0) m Beispiel: Gegeben sind die Punkte P(, ) und P(,). Gesucht: a) Steigung m der Verbindungsgeraden P P. b) Funktionsgleichung der Verbindungsgeraden. c) Schnittpunkt der Geraden mit der Abszissenachse. d) Schnittpunkt der Geraden mit der Ordinatenachse. e) Graph der Funktion in D = { } W = {y y } a) m Δy y y ( ) + Δ ( ) + 7 = = = = = m = 7 Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: 5 von 8

6 Rudolf Brinkmann Seite b) c) d) y = f() = m + b P (, ) = ( ) + b b = 0, Funktion der Geraden: f = {,y y = f() = } 7 7 y = f() = 7 7 y0 = f( 0) = 0 = 0 0 = P (,0) 7 0 = 0 y 0 = f(0) = 0 = 0,86 P y(0, ) e) Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: 6 von 8

7 Rudolf Brinkmann Seite Aufgaben: Gegeben sind die Punkte P und P einer Geraden. Bestimmen Sie: a) den Steigungsfaktor m b) den Schnittpunkt P y mit der Ordinatenachse c) die Funktionsgleichung der Geraden d) den Schnittpunkt P mit der Abszissenachse e) den Graphen der Funktion in den Mengen D und W. P (,) P (7, ) D = { 0 7} W = {y y 8}. P ( 8,) P (, ) D = { 7 } W = {y y }. P (,) P ( 7, ) D = { 7 } W = {y y }. P (,) P (, ) D = { } W = {y y } Lösungen: m P y y = f() P 5 (0,7 ) f() = + 7 (6,0) 5 5 (0, ) f() = ( 5,0) (0, ) f() = + (,0) (0, ) f() = (,0) Beispiel: Gegeben: f = {,y y = f() = + } Gesucht: a) Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der Abszissenachse. b) Schnittpunkt des Graphen mit der Ordinatenachse. c) Graph der Funktion in D = { } W = { } y = f( ) = 0 + = 0 = P (,0) a) = 0 y = f(0) = 0+ = P (0,) b) 0 y Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: 7 von 8

8 Rudolf Brinkmann Seite c) + 0 Erstellt von Rudolf Brinkmann it_.doc :6 Seite: 8 von 8

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