1. Ableitung von Funktionen mit einer Veränderlichen

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1 . Ableitung von Funktionen mit einer Veränerlichen. Algebrische Interprettion Die Ableitung einer Funktion f f f+ f = lim. 0 = ist efiniert ls In Worten usgerückt ist ie Ableitung er Grenzwert er Änerungsrte von in Bezug uf, wenn ie Änerung von gegen Null strebt. Die Ableitung gibt em Ausruck ie Änerungsrte von in Bezug uf für kleine Änerungen von genue Beeutung.. Geometrische Interprettion f '( ) = = tn( α)

2 .3 Differentitionsregeln Summenregel Die Ableitung einer Summe (Differenz) von zwei (oer mehreren) Funktionen ist ie Summe (Differenz) er Ableitungen ieser Funktionen. f g f g f g [ ± ] = ± = ± Prouktregel Die Ableitung eines Prouktes us zwei Funktionen ist gleich ie Ableitung er ersten Funktion multipliziert mit er zweiten Funktion plus ie erste Funktion multipliziert mit er Ableitung er zweiten Funktion. [ f ()() g ] = g() f () + f () g() = f ()() g + f () g () Quotientenregel Die Ableitung es Quotienten von zwei Funktionen, f g( ), ist f g = f g f g g. Kettenregel Wenn eine Funktion z = f() gegeben ist, wobei ie Funktion einer neren Vrible ist errt s g = nn ist ie Ableitung von z nch gleich zu er Ableitung z nch multipliziert mit er Ableitung nch. z z = = f () g

3 .4 Ableitungen höherer Ornung Die zweite Ableitung einer Funktion ist ie Ableitung er Ableitung ieser Funktion. Wenn = f, nn wir ie zweite Ableitung von f( ) nch ls f oer f geschrieben. Die zweite Ableitung mißt ie Krümmung er Funktion. Eine Funktion mit einer negtiven zweiten Ableitung in einem Punkt, ist in er Umgebung ieses Punktes konkv; ihre Steigung wir kleiner. Eine Funktion mit einer positiven zweiten Ableitung in einem Punkt ist in er Umgebung iese Punktes konve; ihre Steigung wir größer..5 Schreibweisen für Ableitungen Erste Ableitung f ( ) = f = = Zweite Ableitung f = f = =

4 . Etremlwertbestimmung. Mimum Für ein Mimum müssen für eine Funktion f folgene Beingungen erfüllt sein: Beingung erster Ornung * f Beingung zweiter Ornung * f 0 B A C 0 Punkt. Ableitung. Ableitung A f f B f f C f f

5 . Minimum Für ein Minimum sehen ie Beingungen für iese Funktion wie folgt us: Beingung erster Ornung * f Beingung zweiter Ornung * f 0 A C B 0 Punkt. Ableitung. Ableitung A f f B f f C f f

6 3. Ableitung von Funktionen mit mehreren Veränerlichen - Prtielle Ableitungen Angenommen hängt sowohl von ls uch von b, so ß = f( ) ie prtielle Ableitung von f(, ) nch urch = (, ) f ( +, ) f (, ) f = lim 0,. Dnn ist efiniert. Die prtielle Ableitung von = f(, ) nch ist einfch ie Ableitung er Funktion nch, wobei konstnt gehlten wir. Für ie prtielle Ableitung von gilt (, ) f (, + ) f (, ) f = lim 0. Ds heißt lso, prtielle Ableitungen geben n, wie sich er Funktionswert nch mrginler Veränerung einer Vrible veränert, wenn ie übrigen n- Vriblen konstnt gehlten weren. Prtielle Ableitung von f nch : (,,..., = n ) Prtielle Ableitungen hben ie selben Eigenschften wie gewöhnliche Ableitungen.

7 4. Ds totle Differentil Für eine Funktion z f = ist ie Beingung erster Ornung für ein Etremum z. D wir jetzt jeoch zwei oer mehr unbhängige Vriblen hben, heißt z s totle Differentil. Totle Differentile geben n, wie sich er Funktionswert veränert, wenn sich lle (oer mehrere) unbhängigen Vriblen um eine mrginle Einheit veränern: z = n n 5. Potenzen & Wurzeln Für Potenzen gelten ie folgenen Rechenregeln: + = = b = b b = b ( ) = ( ) = e ln = (>0); e= Wurzeln können uch ls Potenz rgestellt weren. Es gelten ie für ie Potenzen ngegebenen Regeln. = =

8 6. Logrithmen b u =! log b = u.h. log b log b b = ist b > logb 0 = + ist b < log( ) = log + log log = log log log n = nlog n log = log n

9 7. Der Lgrnge-Anstz Die Lgrnge-Anstz ist eine Methoe, um ein Etremwert-Problem mit einer Nebenbeinung zu lösen. λ stellt en Lgrnge-Multipliktor r, er ngibt, um wieviel sich Z veränert, wenn ie Nebenbeingung um eine Einheit veränert wir. Allgemeine Vorgehensweise Es ist folgene Funktion: z = f, un Nebenbeingung gegeben: g, = c, wobei c eine Konstnte ist. Die Lgrnge Funktion knn nn wie folgt geschrieben weren: [ ] (, ) (, ) Z= f+ λ c g. Die notwenigen Beingungen luten wie folgt: Z Z Z = = f λg Z = = f λg Z Z = = c g λ (, ) λ.

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