Vorlesung 2: Präferenzen über Lotterien

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1 Vorlesung 2: Präferenzen über Lotterien Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 1/24

2 2.1 Modellrahmen Wir betrachten im folgenden eine endliche Menge von Ergebnissen X = {x 1,x 2,,x n } mit n 2 als gegeben. Lotterien, deren Ergebnisse in X liegen, bezeichnen wir vereinfachend mit L = (p 1,, p n ) und sprechen von einer Lotterie über X. Die Menge aller Lotterien über X ist = {L = (p 1,, p n ) R n + n i=1 p i = 1}. wird bis auf weiteres unser Gegenstück zu dem Güterraum in der Konsumententheorie sein: Es beschreibt die Menge der denkbaren Alternativen. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 2/24

3 2.1 Modellrahmen Notationskonventionen und Terminologie: Auch der Fall, in dem man eines der Ergebnisse mit Sicherheit erhält, ist eine Lotterie. Die Lotterie, in der man Ergebnis x i mit Wahrscheinlichkeit 1 erhält bezeichnen wir mit e i und sprechen von einer degenerierten Lotterie. Andere Lotterien heissen echte Lotterien. Betrachten wir monetäre Lotterien, so gehen wir durchweg davon aus, dass x 1 < x 2 < < x n gilt, d.h. Ergebnisse mit niedrigerem Index korrespondieren zu niedrigeren Geldbeträgen. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 3/24

4 2.2 Grafische Darstellung von Lotterien Eine Lotterie L in ist durch die Angabe von (n 1) der n Wahrscheinlichkeiten eindeutig beschrieben die fehlende Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Gleichung n i=1 p i = 1. Im Fall n = 2 bedeutet dies, dass die Menge der Lotterien grafisch durch das Intervall [0, 1] dargestellt werden kann, wobei p 2 [0,1] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses x 2 beschreibt. Zur Illustration werden wir regelmässig den Fall n = 3 betrachten. Hier kann die Menge der Lotterien durch das sogenannte Machina-Dreieck dargestellt werden welches durch {(p 1, p 3 ) R 2 p 1 0, p 3 0, p 1 + p 3 1} gegeben ist. Die fehlende Wahrscheinlichkeit p 2 ist durch 1 p 1 p 3 gegeben. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 4/24

5 2.2 Grafische Darstellung von Lotterien Abbildung: Das Machina-Dreieck. Jeder Punkt in dem Dreieck stellt eine Lotterie dar. Die Punkte e i bezeichnen die Lotterien, in denen das Ergebnis x i mit Wahrscheinlichkeit 1, also mit Sicherheit, eintritt. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 5/24

6 2.3 Mischungen von Lotterien Für beliebige Lotterien p und q und α [0,1] bezeichnet α p + (1 α)q die Lotterie, bei der man das Ergebnis x i mit Wahrscheinlichkeit α p i + (1 α)q i erhält: α p+(1 α)q = (α p 1 +(1 α)q 1,α p 2 +(1 α)q 2,,α p n +(1 α)q n ) Eine solche Mischung von zwei Lotterie wird oftmals als zusammengesetzte Lotterie interpretiert, in der man die Lotterien p und q als Ergebnisse auffasst und sich nun eine Lotterie über diese Ergebnisse vorstellt, in der man mit Wahrscheinlichkeit α das Ergebnis p und mit Wahrscheinlichkeit 1 α das Ergebnis q erhält. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 6/24

7 2.3 Mischungen von Lotterien Beispiel zur Mischung von Lotterien: Abbildung: Die Mischung der zwei Lotterien p = (0.6,0,0.4) und q = (0.7,0.3,0) über X = {0,20,60} mit α = 0.3 als zusammengesetzte Lotterie dargestellt. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 7/24

8 2.3 Mischungen von Lotterien Beispiel zur Mischung von Lotterien: Abbildung: Die Mischung r der zwei Lotterien p = (0.6,0,0.4) und q = (0.7,0.3,0) über X = {0,20,60} mit α = 0.3 als Lotterie über X. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 8/24

9 2.3 Mischungen von Lotterien Beispiel zur Mischung von Lotterien: Abbildung: In dem Machina-Dreieck liegen Mischungen auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Lotterien, die gemischt werden: Die Mischung r von p = (0.6,0,0.4) und q = (0.7,0.3,0) mit α = 0.3. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 9/24

10 2.4 Rationale Präferenzen über Lotterien Wir modellieren (an dieser Stelle) nicht explizit, wie die gewählte Aktion eines Entscheidungsträgers zu einer bestimmten Lotterie führt. Stattdessen stellen wir uns vor, dass direkt Lotterien aus gewählt werden und unterstellen wie im Fall der Sicherheit, dass diese Auswahlentscheidungen durch eine rationale Präferenzrelation auf der Menge der Alternativen, hier, dargestellt werden kann. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 10/24

11 2.4 Rationale Präferenzen über Lotterien Zur Erinnerung: Eine Präferenzrelation stellt eine Beziehung zwischen Paaren von Alternativen, hier Lotterien, her. Für p,q bedeutet p q, dass bei einer Entscheidung zwischen p und q die Lotterie p gewählt wird. Eine Präferenzrelation heisst vollständig, wenn für beliebige Lotterien p und q in der Menge der möglichen Lotterien gilt: p q oder q p. Eine Präferenzrelation heisst transitiv, wenn für beliebige p, q und r in gilt: p q und q r p r. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 11/24

12 2.4 Rationale Präferenzen über Lotterien Zur Erinnerung: Annahme (Rationalität) Die Präferenzrelation ist rational, d.h. vollständig und transitiv. Ausgehend von einer (schwachen) Präferenzrelation definiert man die Indifferenzrelation: x x x x und x x. strenge Präferenzrelation: x x x x und nicht x x. Umgekehrt lässt sich eine rationale Präferenzrelation aus einer Beschreibung ihrer Indifferenzkurven und ihrer Besserrichtung bestimmen. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 12/24

13 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Definition (Stetigkeit) Die Präferenzrelation auf heisst stetig, wenn für alle Lotterien p,q,r mit p q r reele Zahlen α (0,1) und β (0,1) existieren, so dass gilt. α p + (1 α)r q β p + (1 β)r Diese Definition entspricht (weitgehend) der Stetigkeitsdefinition für den Fall der Entscheidung unter Sicherheit und ist wie dort auch eine sogenannte technische Annahme. Dessen unbeschadet kann man mit Hilfe von Gedankenexperimenten die Plausibilität dieser Annahme hinterfragen. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 13/24

14 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Satz (Existenz einer Nutzendarstellung) Ist eine rationale Präferenzrelation auf stetig, dann existiert eine stetige Nutzenfunktion U : R, welche die Präferenzrelation darstellt, d.h. p q U(p) U(q). Satz (Ordinalität der Nutzendarstellung) Stellt U : R eine gegebene Präferenzrelation dar, dann gilt dieses auch für jede streng steigende Transformation von U. Diese Ergebnisse dienen der Klarstellung: Bis an diesen Punkt ist alles analog zum Fall der Entscheidung unter Sicherheit: Wir haben lediglich die dort betrachteten Güterbündel durch Lotterien ersetzt. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 14/24

15 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Monotonieannahmen an Präferenzrelationen erfassen den Gedanken mehr ist besser. In dem hier betrachteten Kontext wird dieses so formalisiert, dass eine Verschiebung von Wahrscheinlichkeit von einem schlechten zu einem guten Ergebnis zu einer vorgezogenen Lotterie führt. Dieses ist am einfachsten für den Fall monetärer Lotterien zu verstehen, den wir daher hier betrachten wollen. Beispiel: Im Fall n = 2 bedeutet ein Anstieg der Wahrscheinlichkeit p 2, dass Wahrscheinlichkeit von dem Ergebnis x 1 auf das Ergebnis x 2 verschoben wird. Da x 2 > x 1 angenommen wurde, sollte dieses zu einer besseren Lotterie führen. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 15/24

16 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Definition (Stochastische Dominanz erster Ordnung) Seien p und q zwei monetäre Lotterien über X = {x 1,,x n }. Dann heisst p grösser als q im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung, wenn n i=k p i n q i i=k für k = 2,,n gilt. Man schreibt in diesem Falle p 1 q. Gilt mindestens eine der obigen Ungleichungen als streng Ungleichung, so heisst p streng grösser als q im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung und man schreibt p > 1 q. Was soll das bedeuten? Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 16/24

17 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung n i=k p i ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in der Lotterie p ein Ergebnis erhält, welches grösser als (oder gleich) x k ist. Gilt n i=k p i n i=k q i, so bedeutet dieses also, dass man in der Lotterie p mit höherer Wahrscheinlichkeit als in der Lotterie q Ergebnisse erhält, die grösser als x k sind. Gilt dieses für alle x k, so kann man p aus q erzeugen, indem man Wahrscheinlichkeit von niedrigen Ergebnissen zu hohen Ergebnissen verschiebt. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 17/24

18 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Stochastische Dominanz erster Ordnung im Fall n = 3: Nach Definition gilt p 1 q genau dann, wenn gilt. p 3 q 3 p 2 + p 3 q 2 + q 3 Da sich die Wahrscheinlichkeiten jeweils auf 1 summieren, kann die zweite dieser Bedingungen zu p 1 q 1 umgeschrieben werden. Stochastische Dominanz erster Ordnung bedeutet hier also, dass mehr Wahrscheinlichkeit auf das grösste Ergebnis und weniger Wahrscheinlichkeit auf das kleinste Ergebnis gelegt wird. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 18/24

19 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Abbildung: Stochastische Dominanz erster Ordnung im Fall n = 3: In dem Machina-Dreieck liegen die Lotterien, die grösser als eine gegebene Lotterie q (im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung) sind, links oberhalb von q. Der entsprechende Bereich ist hier gelb gefärbt. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 19/24

20 2.5 Stetigkeit und Nutzendarstellung Definition (Monotonie) Eine Präferenzrelation auf einer Menge von monetären Lotterien heisst monoton, wenn für beliebige p und q in gilt: p > 1 q p q. Beachte, dass Monotonie der Präferenzrelation insbesondere impliziert, dass ein sicherer Geldbetrag x k einem anderen sicheren Geldbetrag x l streng vorgezogen wird, wenn x k > x l gilt. Da die sicheren Geldbeträge x k und x l durch die Lotterien e k und e l dargestellt werden und e k > 1 e l gilt. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 20/24

21 2.7 Beispiele für Nutzenfunktionen Zwei Beispiele für Nutzenfunktionen, die auf einer Menge von monetären Lotterien definiert sind, haben wir bereits gesehen: 1. Die Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p ix i stellt das Erwartungswertkriterium dar: p q n i=1 p i x i n i=1 q i x i. 2. Die Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p i ln(x i ) stellt Bernoullis Vorschlag zur Bewertung von Lotterien dar: p q n i=1 p i ln(x i ) n i=1 Beide diese Beispiele stellen monotone Präferenzrelationen dar. q i ln(x i ). Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 21/24

22 2.7 Beispiele für Nutzenfunktionen Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p ix i im Machina-Dreieck für (x 1,x 2,x 3 ) = (2,6,8). Die Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung 2p 1 + 8p 3 + 6(1 p 1 p 3 ) = k für unterschiedliche Werte von k dar. Bessere Lotterien liegen links oben. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 22/24

23 2.7 Beispiele für Nutzenfunktionen Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p iln(x i ) im Machina-Dreieck für (x 1,x 2,x 3 ) = (2,6,8). Die Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung ln(2)p 1 + ln(8)p 3 + ln(6)(1 p 1 p 3 ) = k für unterschiedliche Werte von k dar. Bessere Lotterien liegen links oben. Die Indifferenzkurven verlaufen steiler als im vorhergehenden Bild. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 23/24

24 2.7 Beispiele für Nutzenfunktionen Ein weiteres Beispiel: U(p) = n i=1 p2 i x i stellt eine Präferenzrelation dar, die nicht monoton ist obgleich die Nutzenfunktion steigend in p ist! Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p2 i x i im Machina-Dreieck für (x 1,x 2,x 3 ) = (2,6,8). Die Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung 2p p (1 p 1 p 3 ) 2 = k für unterschiedliche Werte von k dar. Entscheidung VL 2, FS 12 Präferenzen über Lotterien 24/24