von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hochschule Emden/Leer

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1 von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hochschule Emden/Leer

2 Überblick Tangentensteigung einer Funktion Extremstellen Sattelstellen Extremstellen: notwendige und hinreichende Bedingung lokale bzw. relative und absolute bzw. globale Extrema Maxima und Minima Konkavität/Wendestellen Emden/Leer 1

3 Differentiation: Tangente einer Funktion Definition: Lateinisch tangens berühren Tangente = Gerade, die ein Objekt/einen Graf einer Funktion berührt also nicht schneidet Beispiele: Tangente am Kreis: t Tangente im Punkt einer Funktion: Analysis Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hochschule OOW 2

4 Tangentensteigung g geiner Funktion Emden/Leer 3

5 Tangentensteigung g geiner Funktion Δx=1 Δy=18 m= Δy/Δx=18 Emden/Leer 4

6 Extremas: Tangentensteigung g g0 Emden/Leer 5

7 Tangentensteig.: g weitere Punkte Emden/Leer 6

8 Tangentensteig. als Funktion von x wird idals Ableitungsfunktion bezeichnet Emden/Leer 7

9 Extremstelle: Notwendige Bedingung Ableitungsfunktion i (x)=0 Emden/Leer 8

10 Sttltll Sattelstelle: auch hier f (x)=0 Charakteristiken des Sattelpunkts (x S,y S ): f(x) hat waagerechte Tangente für x=x x S => f (x)=0 f(x) steigt für x<x S => f (x)>0 f(x) () steigt für x>x S => f (x)>0 f (x) () hat Extrempunkt für x=x S => Steigung von f (x S )=0 Bedingungen g für Sattelstelle: f (x S )=0 und f (x) hat in x S Extremstelle Emden/Leer 9

11 Extremstellen: hier lokale Extremstellen also Extrema in eingeschränkten Intervallen Emden/Leer 10

12 Hinreichende i Bedingung Bdi Maximum f(x) () steigt für x<x E => f (x)>0 f(x) () fällt für x>x E => f (x)<0 => f (x) schneidet x Achse => Steigung von f (x E )<0 Bdi Bedingungen für Maximum: f (x E )=0 und f (x E )<0 oder f (x E )=0 und f (x) hat in x E Sattelstelle (monoton fallend) Emden/Leer 11

13 Hinreichende i Bedingung Bdi Maximum Bedingungen g für Maximum: f (x E )=0 und f (x E )<0 oder f (x f(x E )=0 und f (x) hat in x E Sattelstelle (monoton fallend) Emden/Leer 12

14 Hinreichende i Bedingung Bdi Minimumi f(x) () fällt für x<x E => f (x)<0 f(x) () steigt für x>x E => f (x)>0 => f (x) schneidet x Achse => Steigung von f (x E )>0 Bdi Bedingungen für Minimum: i f (x E )=0 und f (x E )>0 oder f (x E )=0 und f (x) hat in x E Sattelstelle (monoton steigend) Emden/Leer 13

15 Hinreichende i Bedingung Bdi Minimumi Bedingungen g für Minimum: f (x E )=0 und f (x E )>0 oder f (x f(x E )=0 und f (x) hat in x E Sattelstelle (monoton steigend) Emden/Leer 14

16 Zusammenfassung Extremstellen: Graph von f (x) schneidet für x=x E x Achse Et Extremstelle tll f(x E ) Graph von f (x) berührt für x=x E x Achse Ah Sattelstelle f(x E ) Minimum/Maximum: f (x E )=0 und Minimum: f (x E )>0 Maximum: f (x E )<0 oder Sattelstelle von f (x) Emden/Leer 15

17 Wendestellen Eine Wendestelle liegt dort vor, wo der Zuwachs der Steigung der Tangenten von f(x) sich ih umkehrt bzw., f (x) eine Extremstelle tll aufweist (also f (x) notwendigerweise eine Nullstelle hat ) Anders ausgedrückt: dükt Der Graph ändert am Wendepunkt seine Krümmung: konvex: nach oben geöffnet konkav: nach unten geöffnet Anmerkung: Jede Sattelstelle ist auch ein Wendepunkt Emden/Leer 16

18 Wendepunkt: Beispielfunktion Wendestelle: Hier zufälligerweise i gleichzeitig Nullstelle von i(x) konkav konvex Emden/Leer 17