Mathematische Methoden zur Analyse der Flächenform

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1 2. Symposium Geometrische Modellierung und Computational Engineering in der virtuellen Produktentwicklung Beuth Hochschule für Technik Berlin Mathematische Methoden zur Analyse der Flächenform Matthias Radeck Dipl.-Math.

2 Bedeutung der Flächenform ästhetische Belange und ergomomische Anforderungen sicherheitstechnische Anforderungen (z. B. keine scharfen Kanten) herstellungstechnische Anforderungen (z. B. minimale Biegeradien, Entformbarkeit) materialtechnische Anforderungen (z. B. Stetigkeiten, minimale Krümmung) physikalisch-technische Anforderungen (z. B. Tragflächenprofile, Schiffsrumpf) 2

3 Klassische Methoden zur Analyse der Flächenform (fast) ohne Mathematik Schattierte Darstellung, Isophoten & Renderings Schnitte (ggf. mit Krümmungsgraph) 3

4 Normalschnitte durch einen Flächenpunkt der mathematisch-analytische Zugang definiert durch die Normale und eine Richtung in der Tangentialebene Die Kurvenform wird lokal erfasst durch die Krümmung und deren Ableitungen Krümmung des Normalschnitts = Normalkrümmung der Fläche Gesamtheit der Normalschnitte bestimmt lokale Flächenform Orientierung der Flächennormale bestimmt Vorzeichen der Normalkrümmung 4

5 Zentrale Fragen Wie variieren die Normalkrümmung und deren Ableitungen in Abhängigkeit von der gewählten Richtung? Nullstellen und Extrema??? Wie lässt sich die Gesamtheit der auftretenden Normalkrümmungen und deren Ableitungen erfassen? Invarianten und Charakteristika??? 5

6 Normalkrümmung κn ( α )=H + H K cos 2(α α 0 ) 2 κ1,2 =H ± H 2 K κn ( α )=κ1 cos 2 (α α 0 )+κ 2 sin2 (α α 0 ) im allgemeinen zwei Krümmungsextrema, die sog. Hauptkrümmungen κ₁,₂ Hauptkrümmungsrichtungen sind orthogonal zwei wesentliche Kenngrößen (G²-Invarianten) H = ½(κ₁+κ₂) Mittlere Krümmung K = κ₁κ₂ Gaußsche Krümmung, negierte Diskriminante der Quadrik gleiche Vorzeichen, keine Nullstelle, wenn K > 0 unterschiedliches Vorzeichen, zwei einfache Nullstellen, wenn K < 0 eine Hauptkrümmung ist doppelte Nullstelle, wenn K = 0 und H 0 alle Normalkrümmungen sind gleich, wenn K = H² 6

7 Krümmungscharakteristika anhand Tangentialebenen-paralleler Schnitte Sattel Rücken Ebene Kuppe 7

8 Krümmungsindikatrix 2 2 κn ( α )=κ1 cos (α α 0 )+κ 2 sin (α α 0 ) Beispiel: κ1 =0, κ 2<0 κn ( α )=κ 2 sin2 (α α 0 ) Ansatz: R (α)sin(α α 0)= κ 2 1 R (α)= κ 1 n (α) R α α 0 κ α α0

9 G²-Charakteristika Krümmungsindikatrix (Quadrik) R ± n ( α )= ±κ n ( α ) 1 parabolisch H 0, K = 0 elliptisch H 0, K > 0 flach H = 0, K = 0 9 hyperbolisch K<0

10 1. Normalkrümmungsableitung κ n ( α )= 32 W cos (α α 0 ) W 2 M cos 3(α α1 ) μn ( α )=M + M 2 F cos 2(α α 0 ) μ1,2 =M ± M 2 F im allgemeinen drei Extrema (bezüglich Betrag) und Nullstellen drei wesentliche Kenngrößen (G³-Invarianten) W = H ² Gradientenlängenquadrat der Mittleren Krümmung M = ½(μ₁+μ₂) Mittleres Faltungsmaß F = μ₁μ₂ Faltungsmaß, Diskriminante der Kubik drei Extrema, drei einfache Nullstellen, wenn F > 0 ein bis drei Extrema, eine einfache Nullstelle, wenn F < 0 ein Extremum ist doppelte Nullstelle und es gibt zwei weitere Extrema und eine einfache Nullstelle, wenn F = 0 und M 0 10

11 G³-Charakteristika Faltungsindikatrix (Kubik) 3 R ± n ( α )= ± κ n ( α ) hyperbolisch M < 0, F > 0 parabolisch hyperbolisch W > 0, M < 0, F = 0 flach W = 0, M = 0, F = 0 elliptisch W > 0, F < 0 parabolisch W > 0, M = 0, F =

12 G²- & G³-Charakteristika G²-elliptisch und G³-hyperbolisch H 0, K > 0 & M < 0, F > 0 12

13 2. Normalkrümmungsableitung κ n ( α )= 32 Y + 2 Y 2 L cos 2(α α 0 ) Y 2 4 L+3 D cos 4(α α1) υn ( α )=Y + Y 2 L cos 2(α α 0 ) υ1,2=y ± Y 2 L im allgemeinen vier Extrema und Nullstellen vier wesentliche Kenngrößen (G⁴-Invarianten) Y = ½(υ₁+υ₂) = ½ H ⅔ der Mittleren zweiten Normalkrümmungsableitung L = υ₁υ₂ negierte Diskriminante der assoziierten Quadrik D, B (D³ B²) Diskriminante der Quartik bzw. der kubischen Resolvente 0 = X³ 3DX + 2B es existieren 10 verschiedene G⁴-Charakteristika, Indikatrix ist Quartik 4 R ± n ( α )= ± κ 1 n (α) 13

14 Visualisierung der Invarianten Schattierung Gaußsche Krümmung K Mittlere Krümmung H Faltungsmaß F Mittleres Faltungsmaß M Gradientenlänge von H 14

15 Visualisierung der Charakteristika Schattierung K - kontinuierlich K - diskret Isophoten F - kontinuierlich F - diskret 15

16 Visualisierung der Stetigkeit K F 16

17 Zusammenfassung mathematische Analyse der Flächenform erfolgt anhand von Gr-Invarianten Einfärbung entsprechend einer Invariante ist unabhängig vom Ort der Betrachtung und der Art der Beleuchtung Invarianten sind unabhängig von der mathematischen Repräsentation der Fläche, Parametrisierung x = x(u,v) oder implizite Form 0 = f(x,y,z) möglich jede Invariante beschreibt eine spezielle Flächeneigenschaft, das Vorzeichen ermöglicht eine Charakterisierung es gibt genau r unabhängige Gr-Invarianten (Invariantenbasis), wobei r 2 die Ordnung r einer Invariante ist die Maximalordnung der partiellen Flächenableitungen, aus denen sie berechnet wird eine glatte Fläche ist Gr-stetig, wenn bis zu dieser Ordnung alle Invarianten stetig sind die Invarianten berechnen sich mit Bezug zum Modellraum, sie sind also einheitenbehaftet: H ~ s-1, K ~ s-2, W, M ~ s-4, F ~ s-8, Y ~ s-3, L, D ~ s-6, B ~ s-9 die Invarianten H, Y und B ändern ihr Vorzeichen beim Wechsel der Normalenorientierung Fragen & Anmerkungen? 17

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