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Nora Baumhauer
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1 1 Momentane Bewegung I Die Position eines Teilchens auf der x-achse, ist gegeben durch x = 3m 30(m/s)t + 2(m/s 3 )t 3, wobei x in Metern und t in Sekunden angeben wird (a) Die Position des Teilchens bei t= 0 s findet man, indem man t= 0 s in die obere Gleichung einsetzt. Also x(0)= 3 m. (b) Die Geschwindigkeit des Teilchens zu einem beliebigen Zeitpunkt ist gegeben durch v(t) = dx dt = 30(m/s) + 6(m/s3 )t 2 Daraus kann leicht ausgerechnet werden, dass die Geschwindigkeit bei t= 2 s v(2) = 6m/s ist. (c) Die Beschleunigung des Teilchens zu einem gegebenen Zeitpunkt ist gegeben durch a(t) = dv dt = 12(m/s3 )t 2 Somit ist die Beschleunigung des Teilchens bei t= 2 s a(2) = 24m/s 2. 2 Momentane Bewegung II Die Position eines Teilchens auf der x-achse ist gegeben durch x = 10(m/s 2 )t 2 3(m/s 3 )t 3, wobei x in Metern und t in Sekunden angeben wird. (a) Die Position des Teilchens bei t= 2 s erhält man, indem man t= 2 s in der oberen Gleichung einsetzt. Also x(2)= 16 m. Die Geschwindigkeit des Teilchens zu einem gegebenen Zeitpunkt ist gegeben durch v(t) = dx dt = 20(m/s2 )t 9(m/s 3 )t 2 Durch einfaches einsetzten erhält man dann, dass die Geschwindigkeit bei t= 2 s v(2)= 4 m/ s ist. Die Beschleunigung zu einem gegebenen Zeitpunkt berechnet sich ähnlich: a(t) = dv dt = 20(m/s2 ) 18(m/s 3 )t Daher ist die Beschleunigung des Teilchen zum Zeitpunkt t= 2 s a(2) = 16m/s 2. 1 / 5

2 (b) Die Zeit t max, bei der das Teilchen die größte Entfernung zum Ursprung hat ist definiert durch Bildet man die Ableitung, erhält man dx = 0 dt tmax 20(m/s 2 )t max 9(m/s 3 )t 2 max = 0 Die Werte für t max, die die obige Gleichung erfüllen sind t max =0 s und t max =2.22 s. Durch einsetzen von t=2.22 s und t=0 s in die Gleichung für x(t) erhält man, dass die Maximale Entfernung des Teilchen m ist. (c) Wir haben schon bestimmt, dass die Geschwindigkeit des Teilchens zu einem gegebenen Zeitpunkt definiert ist durch v(t) = 20(m/s 2 )t 9(m/s 3 )t 2 Sie wird maximal für den Wert von t max, für den gilt Dies endet in dv = 0 dt tmax 20(m/s 2 ) 18(m/s 3 )t max = 0 Da der Wert von t max, der die obige Gleichung erfüllt bei t max =1.11 s ist, setzten wir diesen in die Gleichung für die Geschwindigkeit ein und erhalten eine maximale Geschwindigkeit von 11.11m/s. (d) Das Teilchen befindet sich für das t in Ruhe, bei dem v(t = t rest ) = 20(m/s 2 )t 9(m/s 3 )t 2 = 0 Das ist der Fall für t=0 s oder wenn t=2.22 s. Daher ist abgesehen von t=0 s die Beschleunigung des Teilchens, wenn es sich in Ruhe befindet gegeben durch einsetzen von t=2.22 s die die Formel für a(t). Also ist die Beschleunigung des Teilchens, wenn es ruht 20m/s 2. 3 Zeit und Beschleunigung Ein Auto verringert seine Geschwindigkeit von v 0 = 100km/ h zu v f = 40km/ h. Dies geschieht auf einer Strecke von s= 50 m= 0.05km und mit einer konstanten Beschleunigung a 2 / 5

3 (a) Man kann die Beschleunigung des Autos in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und Entfernung schreiben als a = v2 f v2 0 2 s Durch einsetzen der entsprechenden Werte erhält man die Beschleunigung des Autos von 6.5m/s 2. (b) Mit der Definition der Beschleunigung des Systems kann man die benötigte Zeit berechnen, die das Auto benötigt um die Endgeschwindigkeit zu erreichen. Stellt man diese um erhält man t = v f v 0 a Durch einsetzen der Anfangs- und Endgeschwindigkeit, sowie die Beschleunigung des Autos erhält man eine benötigte Zeit von t= 2.57 s. 4 Durchschnittsgeschwindigkeit und Effektivgeschwindigkeit Ein Auto fährt entlang einer geraden Straße, sagen wir entlang der x-achse, für s 1 =8km mit v 1 =8km/ h. Dann fährt es in die andere Richtung (negative x-achse) für weitere s 2 = 6km mit v 2 =12km/ h. Die benötigte Zeit um diese Strecken s 1 und s 2 zu fahren erhält man aus folgender Gleichung t = Entfernung Effektivgeschwindigkeit Demzufolge braucht das Auto t 1 = 1 hum Strecke s 1 zurückzulegen und t 2 = 0.5 h um Strecke s 2 entlang der negativen x-richtung zurückzulegen. Aus der Definition der gesamten Entfernung und Verschiebung findet man, dass das Auto eine gesamte Entfernung von s=14km und eine Verschiebung von s=2km zurückgelegt hat. (a) Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos auf dem ganzen Trip ist definiert durch v av = s t Da die Verschiebung zu s= 2km berechnet wurde, und die ganze verstrichene Zeit t= 1.5 h ist, ist die durchschnittliche Geschwindigkeit v av =1.33km/ h. (b) Die effektive Geschwindigkeit des Autos auf dem ganzen Trip ist definiert durch v eff = s t 3 / 5

4 Die gesamte Entfernung wurde zu s= 14km berechnet, und die verstrichene Zeit ist wieder t= 1.5 h. Also ist die effektive Geschwindigkeit des Autos v eff =9.33km/ h. 5 Konstante Beschleunigung I Ein Elektron hat eine konstante Beschleunigung von a = +5(m/s 2 ) e x. Zu einem gewissen Zeitpunkt ist seine Geschwindigkeit v(t) = +10(m/s) e x (a) Die Geschwindigkeit des Elektrons 3 s früher kann berechnet werden, indem man die momentane v(t) und die Endgeschwindigkeit v(t) = +10(m/s) e x berücksichtigt. Benutzt man die Definition einer Konstanten Beschleunigung und a = v f v 0 t v 0 = v f at erhält man, dass die Geschwindigkeit des Elektrons 3 s früher 5m/s ist. (b) Die Geschwindigkeit des Elektrons 3 s erhält man, indem man die gegebene Geschwindigkeit als die Anfangsgeschwindigkeit nimmt, v(0) = +10(m/s) e x, und die Geschwindigkeit v(t) nach 3 s berechnet. Man benutzt hier eine ähnliche Definition der Beschleunigung des Elektrons, findet man v f = v 0 + at Daher ist die Geschwindigkeit nach 3 s 25m/s. 6 Konstante Beschleunigung II Ein Ball wird senkrecht mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 =25 m/ s vom Boden aus in die Luft geworfen. Die Beschleunigung, die auf den Ball wirkt ist die Erdbeschleunigung. Betrachtet man die Richtung der Bewegung als positive Richtung findet man a = g = 10m/s 2 (a) Da die Beschleunigung konstant ist, ist die Zeit die der Ball braucht den Boden wieder zu erreichen zwei mal die Zeit, die er braucht um die maximale Höhe zu erreichen. Bei der maximalen Höhe ist de Geschwindigkeit null ( v f = 0) benutzt man die Definition der Beschleunigung, findet man t = v 0 g 4 / 5

5 Also erreicht der Ball seine maximale Höhe h nach 2.5 s. Der komplette Flug dauert doppelt solange, daher braucht der 5 s um den Boden wieder zu berühren. (b) Oben wurde berechnet, dass der Ball 2.5 s braucht, um die maximale Höhe h zu erreichen. Unter Verwendung folgender Relation h = v gt2 oder h = v2 0 2g findet man, dass die maximale Höhe, die der Ball erreicht m ist. (c) Nehmen wir an, der Ball befindet sich bei seiner maximalen Höhe h, wo seine Geschwindigkeit null ist. Gemäß unseren Berechnungen von oben braucht der Ball 2.5 s um den Boden wieder zu erreichen. Offensichtlich bedeutet dann 1 s bevor er den Boden erreicht 1.5 s nachdem er die maximale Höhe erreicht hat. Benutzt man die Formel für die Höhe h = 1 2 gt2 sieht man, dass die Entfernung, die der Ball 1.5 s nachdem er die maximale Höhe erreicht hat h =11.25 m ist (in der oberen Gleichung ist g positiv, da die Richtung der Bewegung in positive Richtung aufgefasst wird). Daher ist die Höhe des Balls 1 s bevor er den Boden berührt 20 m. Abbildung 1: Skizze der Bewegung des Balls 5 / 5

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