Die Spezielle Relativitätstheorie

Transkript

1 Die Spezielle Relativitätstheorie

2 Helmut Günther Die Spezielle Relativitätstheorie Einsteins Welt in einer neuen Axiomatik Mit 80 Abbildungen und 48 vollständig durchgerechneten Übungsaufgaben

3 Helmut Günther Berlin, Deutschland Mit 12 Porträts von Christina Günther (Berlin) , Mischtechnik. ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Meiner Mutter gewidmet

5 Vorwort Kann man die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) ebenso begreifen, wie wir das Funktionieren eines Fahrrades oder Autos verstehen? Die Relativitätstheorie wird immer wieder als ein wissenschaftliches Terrain deklariert, auf dem sich im Grunde nur wenige auserwählte Denker zurechtfinden. Dies mag wohl so sein, wenn man versucht, dem Geniestreich Albert Einsteins aus dem Jahr 1905 zu folgen, mit dem er diese Theorie hervorgebracht hat. In den traditionellen Darstellungen der SRT wird auf diesem Wege dem unvorbereiteten Leser zuerst das unglaubliche Postulat von der universellen Konstanz der Lichtgeschwindigkeit vorgesetzt, das Einsteinsche Relativitätsprinzip, um ihn dann mit den nicht minder unglaublichen Konsequenzen über das Verhalten von bewegten Maßstäben und Uhren mit einem endlosen Grübeln allein zu lassen. Mit dieser Tradition wollen soll hier gebrochen werden. Der vorliegende Text ist aus einer ausführlichen Neubearbeitung von Spezielle Relativitätstheorie - Ein neuer Einstieg in Einsteins Welt einschließlich der dazu im Internet publizierten Ergänzungen entstanden. Das Buch wendet sich zunächst an den Einsteiger in diese Materie. Zu Beginn wird hier das Ziel verfolgt, ein wirkliches Verstehen der Speziellen Relativitätstheorie zu ermöglichen, ohne gleich das ganze Instrumentarium der theoretischen Physik auf den Plan zu rufen. Dem Studenten der Physik, der sich i. Allg. bereits ganz am Anfang seiner Ausbildung mit dieser Theorie auseinandersetzen muss, soll hier eine Brücke gebaut werden. Und auch derjenige Leser, der nicht unbedingt theoretischer Physiker werden will, soll mit einer unabhängigen Kompetenz zu den Fragen der Speziellen Relativitätstheorie ausgestattet werden, indem die komplette Grundidee der Speziellen Relativitätstheorie auf den ersten siebzig Seiten dieses Buches ausführlich dargestellt wird. Dazu werden in Kap. 16 die wichtigsten Testexperimente zur Speziellen Relativitätstheorie besprochen. Zur Längenkontraktion behandelt dieses Buch ausführlich den Michelson- Versuch und zur Zeitdilatation das Experiment von Champeney, Isaak und Khan. In Abschnitt V kannn dann die ganze Theorie auf einer einzigen Seite zusammengefasst werden. Für ein solches Programm wird in diesem Buch ein neuer Zugang zur SRT entwickelt, der weniger abstrakt ist als der Einsteinsche, ohne deswegen weniger exakt zu sein. Das auf R. Feynman zurückgehende, einfache Gedankenexperiment mit der sog. Lichtuhr wird dabei eine wertvolle Hilfe sein. Die Elektrodynamik kann man zunächst ganz ausklammern. Auf das Licht kommt man hier nur deswegen immer wieder zurück, weil man damit am genauesten messen kann. Die universelle Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgt am Ende als ein Ergebnis der neuen Axiomatik, die damit der Einsteinschen vollständig äquivalent ist. Das Relativitätsprinzip besprechen wird ausführlich in Abschnitt II besprochen. In den Abschnitten III und IV wird die klassische bzw. relativistische Raum-Zeit dargestellt. Im Rahmen dieser elementaren Einführung wird ferner in den Abschnitten VI und VII die Mechanik und Einsteins Energie - Masse - Äquivalenz behandelt. Die Abhängigkeit der Masse von ihrer Geschwindigkeit, der Schlüssel zu E = m c 2, folgt dabei aus dem Tolmanschen Gedankenexperiment, das ausführlich dargestellt wird.

6 VIII Vorwort Der Abschnitt VIII ist ausführlich den relativistischen Phänomenen und Paradoxa gewidmet. Dem allgemeinen Interesse geschuldet, wird das Zwillingsparadoxon unter allen, auch weniger verbreiteten Gesichtspunkten dargestellt. Der Generalschlüssel zum Verständnis der relativistischen Paradoxa ist immer wieder der exakte Umgang mit der Definition der Gleichzeitigkeit. Mit der begrifflichen Stellung der Gleichzeitigkeit im Gebäude der SRT setzt sich dieses Buch von Anfang an besonders gründlich auseinander, um Fehlschlüsse aus der Speziellen Relativitätstheorie möglichst sicher zu vermeiden. Es wird immer wieder darauf hingewiesen, dass es für das Verständnis der Speziellen Relativitätstheorie ganz wesentlich ist, den definitorischen Charakter bei der Festlegung der Gleichzeitigkeit zu begreifen. Die Analyse dieses Sachverhaltes ist mit ganz großen Namen verknüpft und beginnt noch vor Einsteins Spezieller Relativitätstheorie mit H. Poincaré, wird dann ausführlich von H. Reichenbach analysiert und schließlich von W. Thirring in Transformationsformeln formuliert, die unabhängig davon von mir als Reichenbach-Transformation eingeführt worden war. Zu dieser Reichenbach-Transformation, die im Rahmen der SRT eine Kuriosität darstellt, werden hier die Aufgaben 43-45, S. 423 ff. gerechnet. Der angehende theoretische Physiker kommt aber nicht umhin, die ursprüngliche Einstein-Minkowskische Axiomatik gründlich zu studieren, weil damit nicht nur das Relativitätsproblem brillant gelöst, sondern auch große Theorie gemacht wurde. Und hier geht es auch um Elektrodynamik, um die Maxwellsche Theorie, die von Grund auf behandelt wird. Dazu wird in Abschnitt IX der mathematische Formalismus der SRT mit der Lorentz-Gruppe entwickelt und mit den vierdimensionalen, tensoriellen Darstellungen der Mechanik und Elektrodynamik das Relativitätsprinzip im Minkowski-Raum erfüllt. Die Anwendung des Instrumentariums der Gruppentheorie auf die Lorentz-Gruppe führt uns in Abschnitt X zwangsläufig auf die Spinoren, die Weyl-Gleichung, die Dirac- Gleichung, die Schrödinger-Gleichung und die Pauli-Gleichung mit dem physikalischen Hintergrund der Quantentheorie. Zur theoretischen Ausstattung des angehenden Physikers wird in Abschnitt XI den äußeren Differentialkalkül dargestellt, um in diesem Formalismus die Maxwellschen Gleichungen zu formulieren, zunächst für das Vakuum und dann für Minkowskis Gleichungen bewegter Medien. In Abschnitt XII befasst sich dieses Buch mit einer physikalischen Besonderheit, mit einem Gittermodell der Speziellen Relativitätstheorie, das uns eine Denkmöglichkeit anbietet, die SRT und ihre Effekte auf einer elementaren Stufe im Sinne der klassischen Physik anschaulich zu begreifen. In den Gitterstrukturen, wie sie in der Natur der kristallinen Festkörper vorkommen, wird ein Modell aufsgespürt, das die Effekte der Längenkontraktion und der Zeitdilatation auf ein zugrundeliegendes Kristallgitter zurückführt. Als Modellkonstruktion für der physikalischen Raum-Zeit muss man sich dabei aber grundsätzlich klarmachen, dass dann die entsprechenden Gitterpunkte als reine Symmetriepunkte des physikalischen Vakuums aufzufassen wären und keineswegs mit irgendwelchen Massen besetzt sein könnten - denn dann wäre es eben kein Vakuum mehr. In diesem Zusammenhang wird ein bisher noch nicht bekanntes Uhrenparadoxon aus meiner Monographie Grenzgeschwindigkeiten und ihre Paradoxa - Gitter Äther Relativität formuliert. Die Auflösung dieses wenig bekannten Paradoxons folgt in Aufg. 47. Hier soll auch der wissenschaftstheoretisch interessierte Leser angesprochen werden. Bald nach Erscheinen seiner Speziellen Relativitätstheorie hat Einstein gezeigt, dass die Gravitation prinzipiell über den Rahmen seiner SRT hinausgeht. Die universelle Gravitation, die im Unterschied zu allen anderen Wechselwirkungen grundsätzlich nicht

7 Vorwort IX abgeschirmt werden kann, wird in der SRT einfach weggelassen. Unter Laborbedingungen ist das dadurch gerechtfertigt, dass die Gravitationskraft, verglichen mit allen anderen Wechselwirkungskräften, extrem klein ist, so dass man sie mit gutem Gewissen erst einmal außer Acht lassen kann. Beispielsweise ist im Grundzustand des Wasserstoffatoms die elektrische Anziehungskraft F e zwischen dem Elektron und dem Proton ungefähr um den Faktor mal größer als die gravitative Anziehungskraft F g zwischen diesen beiden Elementarteilchen, also F e F g. Um eine grobe Vorstellung von dieser Zahl zu geben: Ungefähr in diesem Verhältnis steht die Entfernung der Erde zum Andromedanebel zu der Entfernung von einem Kilometer. Zur Einordnung in das Gebäude der Physik gibt dieses Buch dem theoretisch interessierten Leser in Abschnitt XIII auch einen knappen Einblick in Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie. Am Ende von Kap. 42 wird eine Einordnung der Thesen von I. Kant zu Raum und Zeit in die hier dargestellten Begriffsbildungen gegeben. Es hat über hundert Jahre gedauert, bis nach endlosen kontroversen Diskussionen auch die Thermodynamik in das theoretische Konzept der Speziellen Relativitätstheorie eingebettet werden konnte, nämlich durch eine Arbeit der Physiker J. Dunkel, P. Hängi und S. Hilbert in Nature Physics, Die relativistische Thermodynamik wird in diesem Buch nicht behandelt. Dazu sei der interessierte Leser auf die Literatur verwiesen. Durch zahlreiche Abbildungen und Übungsaufgaben, die alle vollständig durchgerechnet werden, soll der Text noch transparenter gemacht werden. Ferner sind, um den Text nicht zu sehr auseinanderzureißen, einige Probleme ganz in Übungsaufgaben verlagert, z. B. Fragen der Kontinuumsmechanik in Aufg. 38. In Gestalt der Aufgaben 7, 8 und 9 werden auch die physikalischen Konsequenzen einer hypothetischen Existenz von Überlichtteilchen, den sog. Tachyonen, S. 338 ff. diskutiert Zusätzliche Literaturhinweise sollen zur Vertiefung des Stoffes anregen. Einige mathematische Hilfsmittel werden im Anhang bereitgestellt. Eine Darstellung der hier entwickelten neuen Axiomatik der Speziellen Relativitätstheorie, ohne Elektrodynamik, ohne die Diskussion der Lorentz-Gruppe mit ihren tensoriellen und spinoriellen Darstellungen, ohne den äußeren Kalkül und ohne das Gittermodell der relativistischen Raum-Zeit, findet der Leser in der Starthilfe Relativitätstheorie, die 2010 bei Vieweg+Teubner in der vierten Auflage erschienen ist. Meiner Frau Christina Günther möchte ich für ihre Porträts herausragender Gelehrter, mit denen der Text ergänzt und lebendiger gemacht wurde, herzlich danken und nicht minder für ihre unermüdlichen Korrekturen an dem Manuskript. Frau Dr. Angelika Schulz hat den Text akribisch lektoriert. Dabei wurden noch einmal etliche Druckfehler beseitigt, und das ganze Manuskript hat seine endgültuge Form erhalten. Dafür möchte ich hier meinen ganz besonderen Dank aussprechen. Für sorgfältigen Korrekturen möchte ich auch Frau Barbara Hottmann Dank sagen. Die zahlreichen Anregungen, die ich im Rahmen meiner Seminare auf den Sommeruniversitäten 2005 und 2012 der Studienstiftung des deutschen Volkes in La Villa erhalten habe, sollen hier dankbar erwähnt werden. Für hilfreiche Anmerkungen und Diskussionen zu der vorliegenden Bearbeitung der Speziellen Relativitätstheorie danke ich den Herren Professoren W. Beiglböck, J. Ehlers, W. Gerling, M. Karger, D.-E. Liebscher, C. Schröder und H.-J. Treder. Helmut Günther

8 Inhalt I Raum Zeit Bewegung Maßstäbe und Uhren Inertialsysteme Koordinaten und Geschwindigkeiten Ein Inertialsystem Ortskoordinaten Das Problem der Zeitmessung Die Relativgeschwindigkeit Zwei Inertialsysteme Koordinaten-Transformationen Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten Die speziellen Koordinaten-Transformationen Die Definition der Gleichzeitigkeit Die linearen Transformationsformeln Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten Bewegte Maßstäbe und Uhren Bewegte und ruhende Maßstäbe Bewegte und ruhende Uhren...18 II Das Relativitätsprinzip Einsteins Relativitätsprinzip...21 Porträt Albert Einstein Elementare Relativität Ein metrisches Relativitätsprinzip...28 III Elementarer Aufbau der klassischen Raum-Zeit Die physikalischen Postulate der klassischen Raum-Zeit Elementare Relativität - Die Galilei-Transformation IV ElementarerAufbau der relativistischen Raum-Zeit Der bewegte Stab ist verkürzt - Das Michelson-Experiment...39 Porträt Albert Abraham Michelson...40 Porträt Hendrik Antoon Lorentz Die bewegte Uhr geht nach - Einsteins experimentum crucis der Speziellen Relativitätstheorie Die Lichtuhr...46 Porträt Emmy Noether Das allgemeine Gesetz der Zeitdilatation Die physikalischen Postulate der relativistischen Raum-Zeit Elementare Relativität - Die Lorentz-Transformation... 56

9 XII Inhalt 15 Einsteins Additionstheorem für beliebig gerichtete Geschwindigkeiten Testexperimente zur Speziellen Relativitätstheorie Die lineare Näherung der Speziellen Relativitätstheorie...69 V Die ganze Theorie auf einer Seite Die axiomatische Struktur der Speziellen Relativitätstheorie im Überblick...74 VI Die Newtonsche Mechanik Die Newtonschen Axiome...75 Porträt Isaak Newton Die klassische Mechanik Das Tolmansche Gedankenexperiment - Die relativistische Mechanik Die relativistische Massenformel Die relativistischen Grundgleichungen der Mechanik...85 VII Einsteins Energie-Masse-Äquivalenz Die Trägheit der Energie Einsteins Idee der Energie-Masse-Äquivalenz...95 VIII Relativistische Phänomene und Paradoxa Fresnelscher Mitführungskoeffizient Ein Paradoxon zum Mitführungskoeffizienten Thomas-Präzession Das Maßstabsparadoxon Doppler-Effekt Die klassische Theorie des Doppler-Effektes Longitudinale Beobachtung Transversale Beobachtung Die exakte Theorie des Doppler-Effektes Longitudinale Beobachtung Transversale Beobachtung Aberration Die Aberration im Teilchenbild Die Aberration im Wellenbild Ein Paradoxon zur Aberration von Wellen Das Zwillingsparadoxon Maßstabsparadoxon und Zwillingsparadoxon bei nichtkonventioneller Gleichzeitigkeit Das Maßstabsparadoxon Das Zwillingsparadoxon

10 Inhalt XIII IX Der mathematische Formalismus der Speziellen Relativitätstheorie Die Lorentz-Gruppe Die spezielle Lorentz-Transformation Die allgemeine Lorentz-Transformation Die allgemeine eigentliche Lorentz-Transformation Allgemeine Theorie der Thomas-Präzession Geometrie im Minkowski-Raum Einsteins Relativitätsprinzip im Minkowski-Raum Die kovariante Formulierung der relativistischen Mechanik Die Bewegung eines Teilchens im Minkowski-Raum Die Eigenzeit einer Teilchenbewegung Die Vierervektoren einer Teilchenbewegung Die Dynamik der Teilchen im Minkowski-Raum Elektrodynamik - Kovariante Formulierung Die Maxwellsche Theorie Ladungen und Ströme-DieKontinuitätsgleichung Die Lorentz-Kraft Induktionsfluss und Induktionsgesetz Elektrische Verschiebung und magnetische Erregung Die Maxwellschen Gleichungen - Elektromagnetische Wellen Porträt James Clerk Maxwell Die kovariante Formulierung der Elektrodynamik Die vierdimensionalen Größen der Elektrodynamik Die vierdimensionale Elektrodynamik im Vakuum Die vierdimensionale Elektrodynamik bewegter Medien Porträt Hermann Minkowski Die Elektrodynamik im absoluten Maßsystem Elektrodynamik im Medium Elektrodynamik im Vakuum - Vierdimensionale Formulierung Der Energie-Impuls-Tensor des Maxwellschen Feldes X Die Darstellungen der Lorentz-Gruppe Weyl-Gleichung und Dirac-Gleichung 36 Erinnerung an die Gruppentheorie Die tensoriellen Darstellungen der Lorentz-Gruppe Relativistische Mechanik und Elektrodynamik Die spinoriellen Darstellungen der Lorentz-Gruppe Weyl-Gleichung und Dirac-Gleichung Die Gruppe C Der Zusammenhang von C 2 mit der Lorentz-Gruppe A Spinorrechnung Die kovariante Formulierung des Relativitätsprinzips Weyl-Gleichung und Dirac-Gleichung Die Weyl-Gleichung Die Dirac-Gleichung...247

11 XIV Inhalt 40 Der physikalische Hintergrund der Dirac-Gleichung Erinnerung an die Quantenmechanik Porträt David Hilbert Porträt Werner Karl Heisenberg Der Drehimpuls Porträt Erwin Schrödinger Der Übergang zur Dirac-Gleichung Andere Darstellungen der Dirac-Gleichung Dirac-Gleichung, Schrödinger-Gleichung und Pauli-Gleichung XI Die Elektrodynamik im äußeren Kalkül Das äußere Produkt Differentialformen Die Maxwell-Gleichungen XII Ein Gittermodell der relativistischen Raum-Zeit Das Gittermodell Ein Uhrenparadoxon XIII Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie Die Gravitation bei Newton und Einstein Porträt Georg Friedrich Bernhard Riemann XIV Anhang Aufgaben und Lösungen Mathematische Hilfsmittel Erinnerung an die Tensorrechnung Integralsätze Porträt Carl Friedrich Gauß Die δ-funktion Literatur Register