Deterministische und nichtdeterministische Turing-Maschinen, Typ1- und Typ0-Sprachen

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1 Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL vom und Deterministische und nichtdeterministische Turing-Maschinen, Typ1- und Typ0-Sprachen Für reguläre und kontextfreie Sprachen haben wir endliche Automaten und Kellermaschinen kennengelernt. Auch für kontextsensitive und allgemeine Sprachen gibt es Maschinentypen, mit denen sie erkannt werden können. In Tabelle?? werden die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Sprachklassen und Maschinentypen dargestellt. Maschinentyp Sprachklasse Äquivalenz NEA reguläre Sprachen ja DEA reguläre Sprachen ja Kellerautomat kontextfreie Sprachen nein deterministischer Kellerautomat deterministisch kontextfreie Sprachen nein linear beschränkte NTM kontextsensitive Sprachen??? linear beschränkte DTM?????? NTM allgemeine Sprachen ja DTM allgemeine Sprachen ja Tabelle 1: Zusammenhang zwischen Maschinentyp und erkannter Sprachklasse. Die Äquivalenzspalte zeigt, ob die deterministische und die nichtdeterministische Variante eines Maschinentyps gleich mächtig sind. Für Typ-1- und Typ-0-Sprachen wird also ein neuer Maschinentyp benötigt: Die Turingmaschine. Man kann sich eine Turingmaschine vorstellen als einen endlichen Automaten, dessen Eingabewort auf ein unendlich langes Arbeitsband geschrieben wird und der durch einen Schreib-Lesekopf beliebig auf dem Band lesen und schreiben kann. Dieser Schreib-Lesekopf kann in jedem Schritt um ein Zeichen nach rechts oder nach links laufen, oder stehen bleiben. Denition 1 (Turingmaschine) Ein Tupel M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) mit der Zustandsmenge Z 1

2 dem Eingabealphabet Σ dem Arbeitsalphabet Γ mit Σ Γ der Zustandsüberführungsfunktion δ dem Startzustand z 0 Z der Blank-Symbol Γ \ Σ und der Menge der akzeptierenden Zustände E Z nennt man deterministische Turingmaschine (DTM), wenn δ : Z Γ Z Γ {L, N, R} und nichtdeterministische Turingmaschine (NTM), wenn δ : Z Γ P (Z Γ {L, N, R}). Denition 2 (Konguration) Für eine TM M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) nennt man ein Wort w Γ Z Γ Γ eine Konguration von M. Dabei bedeutet die Konguration uzav mit u, v Γ, a Γ, z Z, dass das Wort uav aktuell auf dem Band geschrieben steht, der Schreib- Lesekopf auf dem Zeichen a steht und sich die Maschine im Zustand z bendet. Denition 3 (Übergangsrelation) Für eine TM M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) ist die Übergangsrelation : Γ Z Γ Γ Γ Z Γ Γ ist deniert durch a 1... a m zb 1... b n a 1... a m z cb 2... b n falls (z, c, N) (=)δ(z, b 1 ) a 1... a m zb 1... b n a 1... a m 1 z a m cb 2... b n falls (z, c, L) (=)δ(z, b 1 ), m > 1 a 1... a m zb 1... b n a 1... a m cz b 2... b n falls (z, c, R) (=)δ(z, b 1 ), n > 1 azb 1... b n z acb 2... b n falls (z, c, L) (=)δ(z, b 1 ) a 1... a m zb a 1... a m cz falls (z, c, R) (=)δ(z, b). Die letzten beiden Zeilen behandeln die Sonderfälle, dass der Schreib-Lesekopf über die bisher verwendeten Zeichen hinausbewegt. In diesen Fällen wird vorn / hinten ein angefügt. Die Unterscheidung zwischen = und in bezieht sich auf die deterministische bzw. nichtdeterministische Variante der Turingmaschine. Die Relation bezeichnet den reexiven, und transitiven Abschluss von, also ein Übergang über mehrere Kongurationsschritte. Beispiel: M = ({z 0, z 1, z 2, z e }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, z 0,, {z e }) (siehe??). Der Zweck von M ist die Erhöhung der eingegebenen Binärzahl um 1. In Zustand z 0 verbleibt die Maschine solange, bis alle Zeichen des Eingabewortes gelesen wurden. Sobald gelesen wird, springt die Maschine in den Zustand z 1 und beginnt das 2

3 Wort von hinten nach vorne zu lesen. Ist das aktuelle Zeichen eine 1, so muss es wegen des Übertrags aus der Addition auf 0 geändert werden und die nächste Stelle um 1 erhöht werden. Sobald der Schreiblesekopf auf eine 0 trit, wird diese auf 1 geändert und die Addition ist vollbracht. Dies wird durch Zustand z 2 symbolisiert. In z 2 wird der Schreib-Lesekopf an den Anfang des Wortes geschoben und dann in den akzeptierenden Zustand gewechselt. Für den Fall, dass das Eingabewort nur aus 1en bestand, geht die Maschine nicht in den Zustand z 2 über, sondern hängt an den Anfang des Wortes eine 1 an und akzeptiert danach sofort. 0, 0, R 1, 1, R 1, 0, L 0, 0, L 1, 1, L,, L 0, 1, L z 0 z 1 z 2, 1, N,, R z e Abbildung 1: Die DTM M erkennt {0, 1}, aber führt dabei eine binäre Addition des Eingabewortes um den Wert 1 durch. Berechnung von M bei Eingabe des Wortes 101: z z z z 0 10z 1 1 1z 1 00 z z z Denition 4 (Akzeptierte Sprache einer TM) Sei M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) eine Turingmaschine und die dazu passende Übergangsrelation. Die von M akzeptierte Sprache L(M) ist deniert durch L(M) = { w Σ z 0 w αzβ mit α, β Γ, z E }. Eine Turingmaschine akzeptiert also alle Worte für die es eine Ableitung in einen Endzustand gibt. Es ist dabei unwichtig, ob das Wort vollständig gelesen wird. Denition 5 (linear beschränkte Turingmaschine) Sei M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) eine Turingmaschine, so dass für jede Eingabe w Σ und für alle Ableitungen z 0 w αzβ mit w = a 1... a n, α = b 1... b m, β = c 1... c k gilt n m + k, dann nennt man M eine linear beschränkte Turingmaschine (LBA für linear bounded automata). 3

4 Satz 6 Für jede kontextsensitive Grammatik G = (V, Σ, P, S) gibt es einen LBA M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) mit L(G) = L(M). Beweis: (Beweisidee) M arbeitet mit einem speziellen Eingabealphabet und einem Arbeitsalphabet Σ = Σ { â a Σ } Γ = (Σ (Σ V { })) { }. Auf dem Band der Maschine stehen also Tupel (a, z), wobei a ein Zeichen des Eingabewortes ist und z eine Hilfsvariable darstellt. Für die Eingabe w = a 1... a n hat die Maschine dann folgende initiale Konguration: z 0 (a 1, S)(a 2, ),..., ( aˆ n, ). Auf diese Weise wird ein zweites Band simuliert, auf dem man Hilfsberechnungen machen kann. a b c d ê S Abbildung 2: Beispielstartkonguration für das Eingabewort abcde. Das letzte Zeichen e wurde durch ê ersetzt um das Ende des Eingabewortes zu markieren. Unter dem ersten Zeichen wurde auÿerdem das Startsymbol der Grammatik geschrieben. In jedem Schritt wählt die Maschine jetzt nichtdeterministisch eine Regel u v aus der Grammatik und sucht dann nichtdeterministisch das Teilwort u auf Hilfsband. Wird kein Teilwort u gefunden, terminiert der Berechnungspfad. Wird ein Teilwort u gefunden, so wird zuerst geprüft, ob es durch v ersetzt werden kann, ohne die Längenbeschränkung zu verletzen. Ist dies nicht möglich, so terminiert der Berechnungspfad ebenfalls. Andernfalls wird u durch v ersetzt. Sind noch Variablen auf dem Hilfsband geschrieben, so wird der nächste Berechnungsschritt der Grammatik simuliert. Sobald auf dem Hilfsband keine Variablen mehr stehen, wird das Wort auf dem Eingabeband mit dem Wort auf dem Hilfsband verglichen. Sind beide gleich, so akzeptiert die Maschine, ansonsten verwirft sie. Wenn das Eingabewort aus G ableitbar war, dann gibt es auch einen nichtdeterministischen Pfad, der eine entsprechende Ableitung simuliert. Analog kann der Zusammenhang zwischen allgemeiner Grammatik und NTM bewiesen werden. Der Beweis muss nur so modiziert werden, dass die Längenbeschränkung keine Rolle mehr spielt. 4

5 Satz 7 Für jeden LBA M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) gibt es eine kontextsensitive Grammatik G = (V, Σ, P, S) mit L(G) = L(M). (Ohne Beweis) Satz 8 Für jeden NTM M = (Z, Σ, Γ, δ, z 0,, E) gibt es eine allgemeine Grammatik G = (V, Σ, P, S) mit L(G) = L(M). (Ohne Beweis) Zusätzlich zu den bisher bekannten Abschlusseigenschaften wurden auch die restlichen Abschlusseigenschaften der Chomski-Hierarchie-Sprachklassen bestimmt. Besonders die Eigenschaften der deterministisch kontextfreien Sprachen sind interessant: Wie schon gezeigt ist der Schnitt aus A = { a m b m c n m, n N } und B = { a n b m c m m, n N } nicht kontextfrei und die kontextfreien Sprachen sind daher nicht abgeschlossen unter Schnitt. Die Sprachen A und B sind allerdings sogar deterministisch kontextfrei. Das heiÿt, auch die deterministisch kontextfreien Sprachen sind nicht unter Schnitt abgeschlossen. Interessanterweise sind deterministisch kontextfreie Sprachen aber (anders als kontextfreie Sprachen) unter Komplement abgeschlossen. Daraus folgt automatisch, dass deterministisch kontextfreie Sprachen ebenfalls nicht unter Vereinigung abgeschlossen sein können. Zusammenfassung aller Abschlusseigenschaften: Vereinigung Konkatenation Kleene-Stern Komplement Schnitt regulär ja ja ja ja ja det. kontextfrei nein nein nein ja nein kontextfrei ja ja ja nein nein kontextsensitiv ja ja ja ja ja allgemein ja ja ja nein ja 5