Mathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016

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1 Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen Bruchrechnung Betrag Potenzen Wurzeln Logarithmen 1.3. Intervalle 1.4. Gleichungen 1.5. Ungleichungen 1.6. Summenzeichen und Produktzeichen 1.7. Binomischer Satz II. III. komplexe Zahlen 2.1. algebraische bzw. kartesische Form 2.2. trigonometrische Form 2.3. Exponentialform 2.4. Radizieren Lineare Algebra 3.1. Vektorrechnung Vektoren Rechnen mit Vektoren Lineare Unabhängigkeit Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Produkte von Vektoren Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Geometrische Anwendungen Geraden Ebenen 3.2. Matrizen Grundbegriffe Operationen auf Matrizen Determinante Inverse Matrix 3.3. Lineare Gleichungssysteme (LGS) Algorithmus von Gauß

2 Lösungsfälle eines LGS LGS zum Bestimmen der inversen Matrix 3.4. Eigenwerte und Eigenvektoren IV. Funktionen 4.1. Definitionen 4.2. Darstellungsformen 4.3. Eigenschaften von Funktionen 4.4. Umkehrfunktion 4.5. Wichtige Funktionenklassen Polynome Hyperbelfunktionen V. Differentialrechnung 5.1. Zahlenfolgen Konvergenz Wichtige Grenzwerte Grenzwertsätze 5.2. Grenzwerte von Funktionen 5.3. Stetigkeit 5.4. Der Ableitungsbegriff Differentialquotient Ableitung elementarer Funktionen Ableitungsregeln logarithmische Differentiation Ableitung der Umkehrfunktion Differential Höhere Ableitungen Satz von Taylor L Hospitalsche Regel Untersuchung von Funktionen durch Ableitung 5.5. Kurvendiskussion am Beispiel einer gebrochenrationalen Funktion 5.6. Das Newton-Verfahren VI. Integralrechnung 6.1. unbestimmte Integrale Stammfunktion, unbestimmtes Integral Grundintegrale Technik des Integrierens Grundlegendes Integration durch Substitution Partielle Integration Integration gebrochenrationaler Funktionen

3 6.2. Bestimmte Integrale Definition des bestimmten Integrals Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung Eigenschaften Mittelwertsatz der Integralrechnung Integrationsmethoden Substitution Partielle Integration Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Anwendungen Flächeninhalt Volumen eines Rotationskörpers Mantelfläche eines Rotationskörpers Bogenlänge einer ebenen Kurve Schwerpunkt einer ebenen Fläche Guldinsche Regel Uneigentliche Integrale Numerische Integration VII. Funktionen mehrerer Variablen 7.1. Darstellungsformen einer Funktion Analytische Darstellung Graphische Darstellung Darstellung von z = f(x, y) als Fläche im Raum Höhenliniendiagramme Vektorielle Schreibweise 7.2. Grenzwert von Funktionen 7.3. Stetigkeit von Funktionen 7.4. Differentiation Richtungsableitung partielle Ableitungen partielle Ableitungen höherer Ordnung Der Gradient 7.5. Linearisierung Tangentialebene Parameterdarstellung Hessesche Normalform Analytische Form Approximation durch Tangentialebene Das totale Differential 7.6. Die verallgemeinerte Kettenregel 7.7. Implizite Differentiation 7.8. lokale Extremwerte

4 VIII. Mehrfachintegrale 8.1. Doppelintegrale / Flächenintegrale Definition Eigenschaften Berechnung von Doppelintegralen kartesische Koordinaten Polarkoordinaten beliebige Koordinaten Transformationsformel Anwendungen Flächeninhalt Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche 8.2. Dreifachintegrale / Volumenintegrale Definition Eigenschaften Transformationsformel Berechnung von Dreifachintegralen kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Anwendungen Volumen eines Körpers Masse eines Körpers Schwerpunkt eines Körpers Massenträgheitsmoment eines Körpers IX. Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) 9.1. Grundbegriffe Einführende Beispiele Definition Anfangswert- und Randwertprobleme 9.2. DGL 1. Ordnung geometrische Betrachtungen Lösungsverfahren Trennung der Variablen Substitution lineare DGL y + f(x)y = g(x) 9.3. lineare DGL 2. Ordnung homogene lineare DGL 2. Ordnung lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten homogener Fall inhomogener Fall Anwendungen allgemeine Schwingungsgleichung 9.4. Systeme lineare DGL homogene DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten

5 X. Reihen einführende Beispiele Definitionen Konvergenzkriterien Quotientenkriterium Wurzelkriterium Vergleichskriterien Leibnizkriterium Eigenschaften (absolut) konvergenter Reihen Potenzreihen Fourierreihen XI. Fouriertransformation