G2.3 Produkte von Vektoren

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1 G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen die Areit erechnen unter der Vorussetzung, dss sich ds Fhrzeug nur längs der Schienen ewegen knn. s Fs F In der Physik ist die Areit W ls Produkt us der Krft F s in Wegrichtung und der Weglänge s erklärt: W F s s Wegen Fs F cos F s F cos folgt drus W F s s F cos s F s cos F s cos F ; s : F s Mit dieser Festlegung ist ein Produkt von zwei Vektoren vereinrt worden, dessen Wert er kein Vektor, sondern ein Sklr ist! Definition: Unter dem Sklrprodukt zweier Vektoren und versteht mn ds Produkt us, und cos ;. Dei soll ; der Winkel sein, um den mn zu erhlten: mthemtisch positiv drehen muss, um die Richtung von cos ;. Eigenschften, Rechengesetze, Sonderfälle. Vorzeichen: Für gilt 0, sonst 0. G-- g- erstellt m

2 G Grundlgen der Vektorrechnung cos Es genügt, Winkel zu etrchten, d cos(80 0 ) cos(80 0 ) 4. cos , weil cos cos(60 0 ) ist (Kommuttivgesetz!) 6. cos c c Ds Assozitivgesetz gilt im Allgemeinen nicht! 8. ohne Beweis: k k 9. c c c (Distriutivgesetz) 0. cos cos (mehr dzu weiter unten! Ds Sklrprodukt im orthonormierten Koordintensystem Skizze: x P(,) Q(,) e e x Der Vektor 0A e und e drstellen: lässt sich mit Hilfe der entsprechenden Einheitsvektoren G-- g- erstellt m

3 G Grundlgen der Vektorrechnung e e Dei gilt e e e e, e e e e 0 und sowie cos und sin Für ds Sklrprodukt zweier Vektoren Anwendung der Rechenregeln für Vektoren und gilt dnn unter e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e, lso Beispiel: In einem krtesischen Koordintensystem sind die Vektoren gegeen. Berechnen Sie. und 4 4 ( 4) 0. Anmerkung: Wegen cos edeutet ds negtive Ergenis des Produkts, dss cos 0 ist, dss lso ein stumpfer Winkel ist. Längenerechnungen Im Folgenden eschränken wir uns uf die Koordintendrstellung von Vektoren in orthonormierten Koordintensystemen. Dnn gilt (vgl. letzter Aschnitt): Definition: Unter dem Betrg des Vektors versteht mn die reelle Zhl zw.. Folgerungen: G-- g- erstellt m

4 G Grundlgen der Vektorrechnung Im krtesischen Koordintensystem gilt z. B. 5 ( ) 5 0. Definition: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrg. Ein derrtiger Vektor lässt sich leicht so erzeugen: 0 e e Beispiel: ( ) Winkelerechnungen Die Definition des Sklrprodukts erlut eine einfche Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren: cos cos Anmerkung: Für 0 oder 0 wird kein Winkel zwischen und erklärt! Beispiel:, 0 4 cos ; ( ) (0) drus folgt (eindeutig!) ; rc cos 5 4, 8 0. G--4 g- erstellt m

5 G Grundlgen der Vektorrechnung Folgerungen, Anmerkungen. 0. Als Anwendungseispiele des Sklrprodukts ieten sich zum Beispiel Nchweise elementrgeometrischer Sätze wie etw des Stzes von Thles n: C c A -r M r B Vorussetzung: 0 Behuptung: C liegt uf dem Thleskreis üer AB, d. h. r c Beweis: r c, r c r c r c c r c r 0 r c Mit Hilfe des Sklrprodukts lässt sich leicht ein Vektor x gegeenen Vektor senkrecht steht (Normlenvektor). erstellen, der uf einem Beispiel: Es soll ein Normlenvektor zu gefunden werden. Lösung: x 0 x x x =0 x x 0 x x x x Diese Gleichung ist nicht eindeutig lösr, d. h. es git unendlich viele Normlenvektoren zu dem vorgegeenen Vektor ; es ist er leicht zu sehen, dss zum Beispiel G--5 g- erstellt m

6 G Grundlgen der Vektorrechnung x, 5 die Gleichung x 0 erfüllt. Ds Vektorprodukt Auf ds Vektorprodukt soll hier nur gnz kurz eingegngen werden. Beispiel: Ds Prolem, zu zwei Vektoren und einen gemeinsmen Normlen- vektor n zu finden, führt uf ds Gleichungssystem I n 0 II n 0 Dieses System führt zu einem Vektor, der ls sog. Vektorprodukt (Kreuzprodukt) geschrieen werden knn: n x mit n sin ; Ds Vektorprodukt ist so definiert: Definiton: Zwei Vektoren und ist genu ein Vektor x zugeordnet, so dss. x senkrecht uf und,.,, x ein Rechtssystem ilden,. x sin ;, woei 0 ist. Skizze: x In krtesischen Koordinten lässt sich (ohne Beweis) ds Vektorprodukt so schreien: G--6 g- erstellt m

7 G Grundlgen der Vektorrechnung x Anwendungen Die Vektoren und spnnen ein Prllelogrmm uf (vgl. Skizzen), ds wegen h sin( ) h sin( ) sin( ) den Flächeninhlt A Prlle log rmm h sin x ht. Ds von und ufgespnnte Dreieck ht den hlen Flächeninhlt des von und ufgespnnten Prllelogrmms. Für seinen Flächeninhlt gilt dmit A Dreieck h sin x. h h Für den Flächeninhlt eines Dreiecks ABC gilt in einem orthogonlen Koordintensystem im R : A ( ) ( c c ) (c c ) im R : A ABxAC Für den Flächeninhlt eines Prllelogrmms, ufgespnnt von den Vektoren im R, gilt und A G--7 g- erstellt m

8 G Grundlgen der Vektorrechnung Ein gerdes Prism, dessen Grundfläche ein Prllelogrmm ist und von den Vektoren, und c h ufgespnnt wird, ht die Grundfläche A x, die Höhe h h und dmit ds Volumen V h x. Steht der Vektor c nicht senkrecht uf der durch und ufgespnnten Grundfläche, dnn entsteht ein schiefes Prism mit der Höhe h c cos( ) h c cos( ) Für ds Sptvolumen gilt dnn V x h x c cos( ) x c. Die Verknüpfung, die den Vektoren Sptprodukt., und c eine reelle Zhl zuordnet, heißt Ds Prism in A. / knn durch einen Schnitt in zwei gleich große dreiseitige Prismen zerlegt werden. D jedes derrtige dreiseitige Prism in drei volumengleiche Pyrmiden zerlegt werden knn, folgt für die von den Vektoren, und c ufgespnnte Pyrmide V Pyrmide 6 x c G--8 g- erstellt m

9 G Grundlgen der Vektorrechnung Skizzen dzu: c c Zusmmenfssende Eigenschften des Vektorprodukts, Anwendungen: v x ist ein Vektor, der sowohl uf ls uch uf senkrecht steht. v Die Vektoren, und x ilden ein Rechtssystem (wie Dumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hnd). v Ds Vektorprodukt ist ntikommuttiv: x x. v Schließen die Vektoren und den Winkel ein, so gilt: x sin( ). v Für den Flächeninhlt A eines von den Vektoren und ufgespnnten Prl- lelogrmms gilt A Prlle log rmm x. v Für den Flächeninhlt A eines von den Vektoren und ufgespnnten Dreiecks gilt A Dreieck x. v Für ds Volumen V eines von den Vektoren flchs gilt V x c., und c ufgespnnten Prllel- v Für ds Volumen einer von den Vektoren gen Pyrmide giltv 6 x c ufgespnnten dreiseiti, und c G--9 g- erstellt m

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