DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ

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1 DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ Für ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlänge a, b und der Hypotenusenlänge c gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: c 2 = a 2 + b 2 oder c = a 2 + b 2 1) Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man den Flächeninhalt A = 96 cm 2 und die Kathetenlänge a = 16 cm. Berechne den Umfang u des Dreiecks! 2) Alex geht auf seinem Weg zur Schule (S) von seiner Wohnung (W) aus 45 m nach Süden und danach 108 m nach Osten durch einen Park. Wie viel Meter spart Alex, wenn er die Abkürzung durch den Park nimmt? Stelle die Aufgabe zeichnerisch dar! 3) Forme die gegebene Gleichung nach der gesuchten Größe um! a) a 2 + b 2 = c 2 c = b) e 2 = f 2 + g 2 f = c) x 2 + y 2 = z 2 y = 4) Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man die Länge einer Kathete und die Hypotenusenlänge c. Berechne die Länge der anderen Kathete! (Runde auf eine Nachkommastelle!) b = 10,5 cm, c = 16,5 cm 5) Das Verkehrszeichen 23% Gefälle weist darauf hin, dass eine Straße auf einer waagrechten Entfernung von 100 m um 23 m abfällt. a) Stelle den Sachverhalt durch eine aussagekräftige Zeichnung grafisch dar! b) Wie lang ist eine Straße, die auf 100 m um 23 m abfällt! Hinweis: Steigung bzw. Gefälle = h w = senkrechter Höhenunterschied waagrechte Entfernung

2 6) Besteht zwischen drei ganzen Zahlen a, b, c der Zusammenhang a 2 + b 2 = c 2, so spricht man von einem pythagoräischen Zahlentripel. Ermittle das zu x,y gehörige Zahlentripel! x = 5, y = 3 7) Eine Leiter ist genauso lang, wie eine Mauer hoch ist. Lehnt man sie so gegen die Mauer, dass sie am Boden 70 cm von der Mauer entfernt ist, so reicht sie bis 10 cm unter den oberen Mauerrand. Stelle die Aufgabe durch eine sinnvoll beschriftete Zeichnung dar und berechne die Länge der Leiter! Kathetensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b, der Hypotenusenlänge c und den beiden Hypotenusenabschnitten p und q (mit p + q = c) hat das Quadrat über einer Kathete stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus Hypotenuse und zugehörigem Hypotenusenabschnitt: a 2 = c p bzw. b 2 = c q 8) Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC (γ = 90 ) kennt man die Länge p und q der beiden Hypotenusenabschnitte. Berechne die Seitenlängen des Dreiecks! p = 25 mm, q = 18 mm 9) Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC (γ = 90 ) kennt man die Länge einer Kathete und die des zugehörigen Hypotenusenabschnitts. Berechne die fehlenden Seitenlängen des Dreiecks! b = 125 mm, q = 73 mm

3 Höhensatz In einem rechtwinkeligen Dreieck mit der Höhe h über der Hypotenuse und den beiden Hypotenusenabschnittslängen p und q hat das Quadrat über der Höhe stets den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten: h 2 = p q 10) Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC (γ = 90 ) kennt man mit p und q die Längen der beiden Hypotenusenabschnitte. Berechne 1) die Höhe h, 2) die Seitenlängen a, b, c, 3) den Flächeninhalt A des Dreiecks! p = 80 mm, q = 45 mm 11) Von einem Rechteck ABCD sind zwei der Größen a, b, d, A und u bekannt. Berechne die Maße der nicht angegebenen Bestimmungsstücke! a) A = 960 cm 2, a = 48 cm b) u = 11,2 m, b = 3,2 m 12) Von einem Quadrat ABCD kennt man die Länge d der Diagonalen, die Seitenlänge a, den Flächeninhalt A oder den Umfang u. Berechne die nicht angegebenen Maße! d = 46 mm

4 13) Im Internet findet Anna zur Berechnung des Flächeninhalts A eines gleichseitigen Dreiecks die Formel A = a2 3. Leite diese Formel her! 4 14) Berechne die fehlenden Größen eines gleichschenkeligen Dreiecks mit der Basislänge c, der Schenkellänge a, der Basishöhe hc und der Höhe ha auf den Schenkel a! Runde gegebenenfalls! c = 6 cm, hc = 8 cm 15) Berechne die fehlenden Größen eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a und der Höhe h! Runde gegebenenfalls! A = 561,2 cm 2 16) Formuliere für alle in der Abbildung vorkommenden rechtwinkeligen Dreiecke den pythagoräischen Lehrsatz!

5 17) Für einen Rhombus mit den Diagonallängen e und f gilt für die Seitenlänge a: a 2 = ( e 2 )2 + ( f 2 )2 oder a = ( e 2 )2 + ( f 2 )2 Für den Flächeninhalt A gilt: A = a h = e f 2 18) Von einem Parallelogramm ABCD (mit α < 90 ) sind die Längen einer Seite, einer Diagonalen und einer Höhe gegeben. Stelle die Aufgabe durch eine vollständig beschriftete Skizze zeichnerisch dar und berechne 1) die Länge der fehlenden Diagonale, 2) den Flächeninhalt A, 3) den Umfang u! b = 6 cm, ha = 5,2 cm, e = 12,6 cm 19) Von einem Rhombus ABCD kennt man die Längen e und f der beiden Diagonalen. Berechne 1) die Seitenlänge a, 2) den Flächeninhalt A, 3) die Höhe h des Rhombus! e = 60 mm, f = 32 mm 20) Leite mithilfe der Abbildung Formeln zur Berechnung der Diagonallängen e und f in einem Parallelogramm ABCD (mit α > 90 ) her! a) Dreieck EAD: x = b) Dreieck AFC: e = c) Dreieck EBD: f =

6 21) Berechne für das Trapez ABCD (α, β < 90 ) mit a = 40 mm, b = 30 mm, d = 26 mm, h = 24 mm 1) den Flächeninhalt A, 2) die Längen e und f der Diagonalen! 22) Von einem gleichschenkeligen Trapez ABCD (α, β < 90, b = d) sind drei Bestimmungstücke bekannt. Berechne 1) die Längen der übrigen Bestimmmungsstücke, 2) den Flächeninhalt A! a = 50 mm, b = 25 mm, h = 24 mm 23) Drücke für das gleichschenkelige Trapez ABCD a) die Diagonalenlänge b) den Flächeninhalt c) den Umfang u durch a aus! 24) Sind e und f die Längen der Diagonalen eines Deltoids mit e = x + y, dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz für die Seitenlänge a und b: a = x 2 + ( f 2 ) 2 und b = y 2 + ( f 2 ) 2 Für den Flächeninhalt A gilt: A = e f 2

7 25) Von einem Deltoid ABCD sind drei der Größen a, b, e, f, A und u gegeben. 1) Berechne die Längen der nicht gegebenen Bestimmungsstücke! Runde auf eine Nachkommastelle! 2) Überprüfe deine Rechenergebnisse durch eine Konstruktion! a) a = 8 cm, b = 12 cm, f = 10 cm b) A = 1679 mm 2, b = 51 mm, f = 46 mm Die pythagoräische Satzgruppe in Körpern Sind a, b und h die Kantenlängen eines Quaders, dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz für die Längen der Flächendiagonalen d1, d2 und d3 und der Raumdiagonalen d: d 1 = a 2 + b 2 bzw. d 2 = a 2 + h 2 bzw. d 3 = b 2 + h 2 d = a 2 + b 2 + h 2 Für einen Würfel mit der Kantenlänge a gilt: d 1 = d 2 = d 3 = a 2 und d = a 3 Für den Oberflächeninhalt O, das Volumen V und die Masse m eines Prismas, Quaders, Würfels gilt: O = 2 G + M und V = G h und m = V ρ

8 26) Von einem Quader kennt man die Kantenlängen a, b, h. Berechne 1) die Längen d1, d2, d3 der Flächendiagonalen, 2) die Länge d der Raumdiagonalen, 3) den Oberflächeninhalt O, 4) das Volumen V des Quaders! a) a = 8 cm, b = 6 cm, h = 12 cm b) c = 1,7 m, b = 0,9 m, h = 2,6 m 27) Von einem Würfel kennt man die Kantenlänge a. Berechne 1) die Länge d der Flächendiagonalen, 2) die Länge d der Raumdiagonalen, 3) den Oberflächeninhalt O, 4) das Volumen V des Würfels! Runde sinnvoll! a = 25 mm 28) Von einem Würfel kennt man den Oberflächeninhalt O. Berechne 1) die Kantenlänge a, 2) die Länge d1 der Flächendiagonalen, 3) die Länge d der Raumdiagonalen! O = 7776 mm 2

9 Für eine regelmäßige vierseitige Pyramide mit der Basiskantenlänge a, der Seitenkantenlänge s, der Körperhöhe h, der Seitenflächenhöhe ha und der Grundflächendiagonalen d gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: durch Diagonalschnitt durch Mittelschnitt anhand einer Seitenfläche s = h 2 + ( d 2 ) 2 = h 2 + a2 2 h a = h 2 + ( a 2 )2 s = h a 2 + ( a 2 )2 Für n-seitige Pyramiden kann der pythagoräische Lehrsatz angewendet werden, wenn in Körperschnitten rechtwinkelige Dreiecke als Teilfiguren vorkommen. Es sei G der Grundflächeninhalt, M der Mantelflächeninhalt und ρ die Dichte des Körpers. Für den Oberflächeninhalt O, das Volumen V und die Masse m jeder Pyramide gilt: O = G + M und V = G h 3 und m = V ρ 29) Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide sind die Basiskante a und die Körperhöhe h gegeben. Berechne 1) die Länge s der Seitenkante, 2) den Oberflächeninhalt O, 3) das Volumen! a = 4 cm, h = 6 cm 30) Von einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide kennt man zwei der Bestimmungstücke a, h, s, ha, O und V. Berechne die nicht gegebenen Maße! h = 5 m, V = 7,35 m 3