Meyers Handbuch über die Mathematik

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Hedwig Dunkle
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1 Meyers Handbuch über die Mathematik Herausgegeben von Herbert Meschkowski in Zusammenarbeit mit Detlef Laugwitz 2. erweiterte Auflage BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT MANNHEIM/WIEN/ZÜRICH LEXIKONVEK.1AG

INHALT A. GRUNDLAGEN /. Elemente der modernen Mathematik 1. Die Sprache des Mathematikers 13 2. Mengen 20 3. Relationen 25 4. Funktionen 29 5. Elementare Mengenalgebra 33 6. Äquivalenzklassen 39 //.

2 INHALT A. GRUNDLAGEN /. Elemente der modernen Mathematik 1. Die Sprache des Mathematikers Mengen Relationen Funktionen Elementare Mengenalgebra Äquivalenzklassen 39 //. Kationale Zahlen 1. Axiome Die vollständige Induktion Einführung negativer Zahlen Einführung rationaler Zahlen 57 ///. Strukturen 1. Axiome der Mengenlehre Gruppen 68 2 a) Definition der Gruppe 68 2b) Beispiele 70 2 c) Elementare Sätze 79 2d) Untergruppen Halbordnungen und Verbände 91 3 a) Ein elektrotechnisches Problem 91 3b) Halbordnungen 93 3c) Verbände 97 3d) Zusammenhang zwischen Verband und Halbordnung Ringe und Körper 106 4a) Definitionen und Beispiele 106 4b) Das Rechnen mit Kongruenzen 109 4c) Beispiele für Körper 113 4d) Formale Systeme 115 IV. Reelle und komplexe Zahlen 1. Vollständigkeit halbgeordneter Mengen Das Rechnen mit reellen Zahlen Potenzen und Wurzeln Darstellung reeller Zahlen Komplexe Zahlen Elementare Funktionen mit reellem Argument Funktionen mit komplexem Argument Die Riemannsche Zahlenkugel 150 B. EINFÜHRENDE DARSTELLUNGEN V. Elemente der euklidischen Geometrie 1. Metrische Räume Das Werk Euklids Verknüpfung und Anordnung Gebiete 169 4a) Polygone 169 4b) Polyeder Kongruenz 180 5a) Die Axiome b) Kongruenz von Winkeln und Dreiecken 182

10 6. Stetigkeit 187 6 a) Die Meßbarkeit von Strecken 187 6b) Das Winkelmaß 192 6c) Der Kreis 193 7. Das Parallelenaxiom 194 7 a) Elementare Sätze 194 7b) Der Flächeninhalt 197 7c) Ähnlichkeit 202 8.

3 10 6. Stetigkeit a) Die Meßbarkeit von Strecken 187 6b) Das Winkelmaß 192 6c) Der Kreis Das Parallelenaxiom a) Elementare Sätze 194 7b) Der Flächeninhalt 197 7c) Ähnlichkeit Bewegungen a) Spiegelungen 206 8b) Freie Vektoren, Translationen c) Drehungen 212 8d) Das Rechnen mit Spiegelungen 214 8e) Der Satz von den drei Spiegelungen Das Volumen der Polyeder 222 VI. Analytische Geometrie und lineare Algebra 1. Koordinaten und geometrische Örter in der Ebene und im Raum Anschauliche Vektorrechnung Vektorräume Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Matrizen Projektive Geometrie 286 6a) Punkträume 286 6b) Die projektive Ebene 291 6c) Projektive Räume 297 6d) Klassifikation der Geometrien Konvexität Praktische lineare Algebra a) Numerische Fragen der linearen Algebra b) Ausgleichsrechnung c) Lineare Optimierung, Operations-research, Theorie der Spiele 312 VII. Differential- und Integralrechnung 1. Einleitung Grenzwerte bei reellen Zahlfolgen a) Konvergenz von Zahlfolgen 321 2b) Unendliche Reihen c) Unendliche Produkte 332 2d) Begriffliche Vertiefung Grenzwerte bei Funktionen a) Funktionen (spezielle Klassen) 337 3b) Stetigkeit Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen a) Differentiation und Integration 357 4b) Reihen von Funktionen c) Praktische Analysis Differential- und Integralrechnung mehrerer Veränderlicher 390 5a) Differentiation b) Integration Weiterer Ausbau der Begriffe a) Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) b) Maß und Integral 422

11 VIII. Differentialgeometrie 1. Kurven im euklidischen Raum 432 2. Flächen im euklidischen Raum 439 3.

4 11 VIII. Differentialgeometrie 1. Kurven im euklidischen Raum Flächen im euklidischen Raum Spezielles über Flächen, Anwendungen a) Spezielle Flächenkurven b) Spezielle Flächenklassen c) Mathematische Grundlagen der Kartographie Riemannsche Geometrie a) Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 458 4b) Riemannsche Metrik 460 4c) Gekrümmte Flächen in der Physik 464 IX. Praktische Mathematik 1. Prinzipien der numerischen Mathematik Statistik a) Die statistische Denkweise 474 2b) Deskriptive Statistik c) Analytische Statistik 508 2d) Zufällige Funktionen Rechenanlagen a) Historische Entwicklung der Rechenmaschinen b) Information c) Digitale Rechenanlagen 563 3d) Programmierung elektronischer Rechenanlagen. 632 C. ÜBERBLICK ÜBER EINZELNE SPEZIALGEBIETE X. Zahlentheorie 1. Verteilung der Primzahlen Diophantische Gleichungen Zahlentheoretische Funktionen Über Kongruenzen Ungelöste Probleme der Zahlentheorie 660 XI. Klassische Algebra 1. Was ist Algebra? Adjunktionen Eigenschaften der Polynome Einheitswurzeln : Auflösung von Gleichungen Zur Theorie der geometrischen Konstruktionen XII. Differentialgleichungen 1. Gewöhnliche Differentialgleichungen a) Spezielle Fragen bei Differentialgleichungen erster Ordnung 681 lb) Integrationsverfahren bei Differentialgleichungen erster Ordnung c) Differentialgleichungen höherer Ordnung d) Lineare Differentialgleichungen Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen a) Existenz- und Eindeutigkeitsfragen b) Lineare Systeme Partielle Differentialgleichungen a) Differentialgleichungen erster Ordnung b) Differentialgleichungen zweiter Ordnung

12 XIII. XIV. XV. 4. Variationsrechnung, 713 5. Numerische Integration von Differentialgleichungen. 716 Funktionentheorie 1. Eigenschaften holomorpher Funktionen 719 2. Integrale im Komplexen 725 3.

5 12 XIII. XIV. XV. 4. Variationsrechnung, Numerische Integration von Differentialgleichungen. 716 Funktionentheorie 1. Eigenschaften holomorpher Funktionen Integrale im Komplexen Singularitäten Das Residuum Meromorphe Funktionen Riemannsche Flächen Konforme Abbildung 743 Topologie 1. Topologische Probleme im euklidischen Raum ; Der topologische Raum Stetigkeit 761 Funktionalanalysis 1. Normierte Räume Iterationsverfahren Hilbert-Räume und Orthogonalentwicklungen Integralgleichungen 777 XVI. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 1. Klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistische Definition Normierte Boolesche Algebren Bedingte Wahrscheinlichkeit Folgen unabhängiger Versuche Erwartungswerte 808 XVII. Informationstheorie 1. Ansatz Einzigkeit des Informationsmaßes Unsicherheit, Überraschungswert und Transinformation Elementare Aussagen der Informationstheorie Spezielle anthropokybernetische Anwendungen Redundanzsparende und störungsgesicherte Codes Ausblick auf die Sätze von McMillan, Feinstein und Shannon 845 XVIII. Operation Research Lineare Optimierung 1. Einführung Was ist lineare Optimierung? Das graphische Lösungsverfahren Das Simplex verfahren Die Dualität 883 XIX. Theorie der transfiniten Mengen 1. Abzählbare Mengen Das Kontinuum Der Teilmengensatz Transfmite Zahlen Das Kontinuumproblem 912 SACHREGISTER 917 D. BEGRIFFSWÖRTERBUCH mit Literaturverzeichnis 925

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