Kugelsymmetrischer Gravitationskollaps in der Einstein-Maxwell-Theorie

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1 Friedrich-Schiller-Universität Jena Physikalisch-Astronomische Fakultät Theoretisch-Physikalisches Institut Kugelsymmetrischer Gravitationskollaps in der Einstein-Maxwell-Theorie Masterarbeit zur Erlangung des akademischen Grades eines Master of Science (M.Sc.) im Studiengang Physik vorgelegt von Andreas Uwe Sven Schoepe geboren am 23. März 1990 in Ilmenau

2 1. Gutachter: Prof. Dr. Reinhard Meinel (Friedrich-Schiller-Universität Jena) 2. Gutachter: Dr. Andreas Kleinwächter (Friedrich-Schiller-Universität Jena) eingereicht am 18. März 2015 Tag der Verleihung: 26. März 2015

3 Es handelt sich um eine nachträglich verbesserte Fassung. Wesentliche Inhalte wurden nicht verändert. Sollten durch den Leser Fehler gefunden werden, wäre ich über eine an mit einem Hinweis auf die entsprechende Stelle sehr dankbar!

4 Abstract In dieser Arbeit wird der kugelsymmetrische Gravitationskollaps von Staub sowohl in der Newtonschen Gravitationstheorie als auch in der Einstein-Maxwell- Theorie untersucht. Es wird in der Newtonschen Theorie gezeigt, dass eine marginal gebundene, ungeladene Kugelschale aus Staub im inneren und äußeren Gravitationsfeld einer kugelsymmetrischen Verteilung aus extremal geladenem Staub (ECD-Stern) als erstes vollständig kollabiert ist. Außerdem wird gezeigt, dass sich infinitesimale Schalen des kollabierenden ECD-Sterns im marginal gebundenen Fall nicht überholen. Im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wird die Weltlinie einer marginal gebundenen, ungeladenen Kugelschale aus Staub hergeleitet, berechnet und dargestellt. Weiterhin wird die Bewegung einer marginal gebundenen, ungeladenen Kugelschale aus Staub im äußeren Gravitationsfeld eines sphärischen Bonnor-Sterns im Rahmen der Einstein-Maxwell-Theorie berechnet.

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 8 2 Kugelsymmetrischer Kollaps in der Newtonschen Theorie der Gravitation Extremal geladener Staub in der Newtonschen Theorie Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum Herleitung der Bewegungsgleichung Lösung der Bewegungsgleichung Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Bewegung der Schale im Außenraum des Sterns Bewegung der Schale im Inneren des Sterns Kollaps des Sterns Überholvorgänge innerhalb eines homogenen sphärischen Sterns aus extremal geladenem Staub Untersuchung von Überholvorgängen bei beliebigem kugelsymmetrischen Dichteprofil des Sterns Kugelsymmetrischer Kollaps in der Allgemeinen Relativitätstheorie Differentialgeometrische Beschreibung von Hyperflächen in der Raumzeit Grundlagen der Differentialgeometrie Erste und zweite Fundamentalform einer Hyperfläche Die Gauß-Weingarten-Gleichung und die Gleichung von Gauß und Codazzi Israel-Formalismus Oberflächenschichten im Vakuum Oberflächenschichten in Materie Weltlinie einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum Herleitung der Bewegungsgleichung Newtonscher Grenzfall Lösung der Bewegungsgleichung Extremal geladener Staub als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen Herleitung der Vakuum-Lösung Herleitung der Materie-Lösung für extremal geladenen Staub Sphärische Bonnor-Sterne Weltlinie einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im äußeren Gravitationsfeld eines sphärischen Bonnor-Sterns

6 Inhaltsverzeichnis Herleitung der Bewegungsgleichung Newtonscher Grenzfall Lösung der Bewegungsgleichung Zusammenfassung und Ausblick 70 Abbildungsverzeichnis 72 Literatur- und Quellenverzeichnis 73 6

7 Aber die existierenden wissenschaftlichen Begriffe passen jeweils nur zu einem sehr begrenzten Teil der Wirklichkeit, und der andere Teil, der noch nicht verstanden ist, bleibt unendlich. - Werner Heisenberg -

8 1 Einleitung Mit seinem Artikel [1] Zur Elektrodynamik bewegter Körper brachte Einstein 1905 die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) nach Vorarbeiten von Lorentz und Poincaré auf den Weg. Darin wurde einzig die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen sowie die Gültigkeit des Relativitätsprinzips gefordert, welches die Annahme der Unabhängigkeit eines jeden physikalischen Gesetzes vom gewählten Inertialsystem beinhaltet. Nach weiteren elf Jahren veröffentlichte Einstein seine Theorie der Gravitation: Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) [2]. Die ART löste das Problem der Fernwirkung in der Newtonschen Theorie der Gravitation und sicherte insbesondere lokal die Gesetze der SRT. Darüber hinaus ist die ART die bis heute experimentell am besten bestätigte Theorie der Gravitation. Im Grenzfall schwacher und zeitunabhängiger Gravitationsfelder liefert die ART dann wieder das Newtonsche Gravitationspotential als Lösung einer Poisson-Gleichung. Als erste exakte Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen fand Schwarzschild 1916 die nach ihm benannte Schwarzschild-Metrik [3, 4]. Diese Lösung beinhaltet den interessanten Grenzfall eines kompakten Objekts, dessen Ausdehnung so klein gegebenüber seiner Masse M ist, dass das Objekt in eine Kugelschale mit Radius r s passt. Auf der gedachten Kugelschale mit Radius r s entspricht die Fluchtgeschwindigkeit eines Testteilchens gerade der Lichtgeschwindigkeit c. Der assoziierte Schwarzschildradius r s = 2GM/c 2 (G: Newtonsche Gravitationskonstante) gibt dabei den Betrag der Fläche 1 des sogenannten Ereignishorizonts an. Aus dem Inneren des Ereignishorizonts kann selbst Licht nicht mehr entweichen, weshalb das Objekt dann Schwarzes Loch genannt wird. Neben dieser Lösung existieren weitere Lösungen Schwarzer Löcher: Mit elektrischer Ladung - gefunden von Reissner & Nordström 1916, mit Drehimpuls - gefunden von Kerr 1963 sowie mit elektrischer Ladung und vorhandenem Drehimpuls - gefunden von Newman et al Es konnte gezeigt werden, dass Schwarze Löcher vollständig durch ihre Masse, ihre Ladung und ihren Drehimpuls bestimmt sind, weshalb Wheeler das sogenannte No-Hair-Theorem begrifflich prägte. Auch nach fast einhundert Jahren seit der Entwicklung der ART sind längst nicht alle Rätsel gelöst. Vor allem für sehr hohe Teilchenenergien im Bereich der Planck-Skala 2 und in extrem gekrümmten Raumzeitbereichen ist die Unvereinbarkeit von ART und der Quantenfeldtheorie (QFT) ein großes Problem. Dies wirft vor allem die Frage auf, ob innerhalb eines Schwarzen Lochs tatsächlich eine physikalische Singularität 3 vorliegt. Da 1 Der Betrag ergibt sich zu 4πr 2 s. 2 Bei der Planck-Skala liegen Quanteneffekte und Gravitation in derselben Größenordnung. 3 Mit Singularität ist ein Raumzeitbereich gemeint, bei dem die Krümmungsgrößen und physikalischen Parameter nicht definierbar sind. Mathematisch gesehen kommt es zum Beispiel zur Divergenz der Energiedichte, wodurch eine unendliche Krümmung der Raumzeit vorliegt. Kann diese Singularität 8

9 die physikalische Singularität bei Schwarzen Löchern hinter einem Ereignishorizont verborgen ist, können Effekte einer Quanten-Gravitation nicht beobachtet werden. Jedoch gibt es Lösungen der Einsteingleichungen, bei denen solche physikalischen Singularitäten auch ohne einen umgebenden Ereignishorizont vorliegen können. Dies ist zum Beispiel bei der Reisner-Nordström-Lösung möglich, falls der Betrag der Ladung die Masse des Schwarzen Lochs 4 übersteigt. Eine solche unverhüllte physikalische Singularität wird als Nackte Singularität bezeichnet. Astronomische Beobachtungen bestätigen aktuell jedoch nur, das extrem massereiche Objekte existieren, wie zum Beispiel im Zentrum unserer Milchstraße. Penrose schlug 1969 seine Hypothese eines kosmischen Zensors vor, welcher das Entstehen einer Nackten Singularität verbietet. Dennoch wurde durch viele Arbeiten 5 gezeigt, dass auch für physikalisch sinnvolle Bedingungen Nackte Singularitäten beim Kollaps extrem massereicher Sterne entstehen können. Um Kollapsvorgänge analytisch zu berechnen, bedarf es aufgrund der Form der Einsteingleichungen meist hohe Symmetrieannahmen. So zeigten Oppenheimer & Snyder 1939 [6], dass eine kugelsymmetrische Massenverteilung aus Staub 6 stets zu einem Schwarzen Loch kollabiert. Aufgrund des Birkhoffschen Theorems folgt dann, dass die Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen im Außenbereich einer kollabierenden kugelsymmetrischen Massenverteilung statisch ist 7 und daher insbesondere keine Gravitationswellen abgestrahlt werden. Analog gilt diese Aussage auch für die Lösung der Einstein-Maxwell- Gleichungen 8 im Außenbereich einer kollabierenden kugelsymmetrischen Materieverteilung mit kugelsymmetrischer Ladungsdichte. 9 Eine besondere Lösungsklasse der Einsteinschen Feldgleichungen entdeckten unabhängig voneinander Majumdar [7] und Papapetrou [8] im Jahr Diese Lösungsklasse beschreibt statische, beliebig geformte Materieverteilungen aus extremal geladenem Staub. Diese hoch-künstliche Materie hat die Eigenschaft, dass sich für jedes extremal geladene Staubteilchen die Gravitationskraft und elektromagnetische Abstoßung neutralisieren. Es lassen sich dadurch Materieverteilungen konstruieren, welche ihrem Schwarzschildradius beliebig nahe kommen können und damit insbesondere als Analogie zu extremal rotierenden Systemen interessant 10 sind: Bardeen & Wagoner [9] zeigten 1971, dass eine unendlich dünne, im stationären Gleichdurch die geschickte Wahl von Koordinaten behoben werden, wird von einer Koordinatensingularität gesprochen. Tritt die Divergenz einer skalaren und damit koordinatenunabhängigen Krümmungsgröße auf, so wird von einer physikalischen Singularität gesprochen. 4 Diese Aussage gilt für die Wahl von geometrischen Einheiten g = c = 1 sowie cgs-einheiten 4πɛ 0 = 1 (ɛ 0: Elektrische Feldkonstante). 5 Zum Beispiel von Joshi et al. Ausführliche Literaturhinweise sind in [5] enthalten. 6 Mit Staub wird in der SRT und ART Materie bezeichnet, welche keinen Druck und keine inneren Spannungen aufweist (ideale Flüssigkeit mit verschwindendem Druck). 7 Es ergibt sich daraus für den Außenbereich die äußere Schwarzschildlösung. 8 Werden Gravitation und elektromagnetische Kräfte gleichzeitig betrachtet, so wird das entstehende Differentialgleichungssystem als Einstein-Maxwell-Gleichungen bezeichnet. 9 Es ergibt sich für den Außenbereich die äußere Reissner-Nordström-Lösung. 10 Astrophysiker gehen davon aus, dass die Ladung eines Schwarzen Lochs durch Akkretionsflüsse neutralisiert wird. Gleichzeitig sind im sichtbaren Universum eine Vielzahl rotierender Objekte bekannt. Deshalb bietet es sich an, zunächst den einfacheren kugelsymmetrischen Fall für geladene Materie zu untersuchen und später auf rotierende Objekte zu übertragen. 9

10 gewicht rotierende Staubscheibe ebenfalls ihrem eigenen Ereignishorizont beliebig nahe kommen kann. Dies wurde durch die exakte Lösung einer rotierenden Staubscheibe durch Neugebauer & Meinel 1995 [10] bestätigt. Um das Entstehen von Nackten Singularitäten und Schwarzen Löchern besser zu verstehen, ist es ratsam, zunächst den kugelsymmetrischen Kollaps von Materie zu studieren. Dazu bietet sich die Majumdar-Papapetrou-Lösung für eine kugelsymmetrische Verteilung aus extremal geladenem Staub an. Wird diese Verteilung durch die Gravitationswirkung zusätzlicher ungeladener Massen gestört, kommt es zum Kollaps der Verteilung. Eine besonders interessante Situation liegt jedoch vor, falls die Verteilung innerhalb einer Kugelschale konstanter Oberflächendichte betrachtet wird. Dann bleibt die extremal geladene Verteilung bis zum Auftreffen der Kugelschale stabil. Zunächst soll im zweiten Kapitel der kugelsymmetrische Gravitaionskollaps in der Newtonschen Theorie betrachtet werden. Dazu wird das Konzept des extremal geladenen Staubs in der Newtonschen Theorie vorgestellt und die gravitative Bindungsenergie für eine unendlich dünne Kugelschale aus Staub berechnet. Anschließend wird sich dem Kollaps einer Staubschale gewidmet. Zuerst wird der Kollaps der Schale unter der Eigengravitation untersucht und anschließend auf den Kollaps im Außen- und Innenraum einer kugelsymmetrischen Verteilung aus extremal geladenen Staub verallgemeinert. Dabei soll vor allem die Gültigkeit der Differentialgleichungen in Form von Überholvorgängen überprüft werden. Die Lösungen dienen außerdem zum Vergleich mit dem Newtonschen Grenzfall. Im dritten Kapitel wird der kugelsymmetrische Kollaps in der Allgemeinen Relativitätstheorie formuliert. Dazu werden in einem einleitenden Abschnitt die verwendete Notation und grundlegende Formeln der Differentialgeometrie erläutert. Außerdem werden grundlegende Größen und Gleichungen zur Beschreibung einer Hyperfläche in der Raumzeit definiert und hergeleitet. Anschließend wird mit dem Israel-Formalismus die Beschreibung von Weltlinien von Oberflächenschichten eingeführt. Mit Hilfe der gewonnenen Resultate wird dann die Weltlinie einer Oberflächenschicht im Vakuum hergeleitet und insbesondere mit den Ergebnissen der Newtonschen Theorie verglichen. Zuletzt wird die Majumdar-Papapetrou-Lösungsklasse vorgestellt sowie die Lösung einer extremal geladenen kugelsymmetrischen Staubverteilung erläutert. Darauf aufbauend wird der Kollaps einer Kugelschale aus Staub im äußeren Gravitationsfeld dieser kugelsymmetrischen Staubverteilung formuliert, bis die Kugelschale auf den Rand der Materie trifft. 10

11 2 Kugelsymmetrischer Kollaps in der Newtonschen Theorie der Gravitation Auf großen Längenskalen ist die Gravitation die dominierende Wechselwirkung zwischen baryonischer Materie. Dabei besteht immer eine attraktive Kraft zwischen den Konstituenten. Wird eine ausgedehnte Materieverteilung betrachtet, folgt unweigerlich die Verdichtung dieser Verteilung, bis andere Kräfte auf kürzeren Längenskalen der Gravitation entgegenwirken. Schließt man innere Spannungen und Drücke sowie Quanteneffekte (schwache und starke Wechselwirkung, Pauli-Prinzip) aus, verbleiben ausschließlich Scheinkräfte und die elektromagnetische Wechselwirkung, um einen Kollaps zu verhindern. Scheinkräfte durch Rotationsbewegung der Materie würden unweigerlich zu einem Bruch der Kugelsymmetrie führen und sollen daher ausgeschlossen werden. Als einzige stabilisierende Kraft verbleibt daher die elektrische Abstoßung der Materie. Aufgrund der gleichen Abstandsabhängigkeit der Potentiale können statische Materiekonfigurationen konstruiert werden, sodass an jedem Punkt die Gravitationskraft durch die elektromagnetische Abstoßung neutralisiert wird. Diese Materie wird extremal geladener Staub (electrically counterpoised dust - ECD) genannt. In diesem Kapitel wird zunächst das Konzept des ECD erläutert und anschließend der kugelsymmetrische Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub betrachtet. Kollabiert die Schale im Inneren einer kugelsymmetrischen ECD-Verteilung (ECD-Stern), kommt es zum Kollaps des Sterns. Dieser Kollaps des Sterns soll ebenfalls untersucht werden, wobei die Gültigkeit der beschreibenden Differentialgleichungen, aufgrund von etwaigen Überholvorgängen im Stern, geprüft werden muss. Es sei darauf hingewiesen, dass in diesem Kapitel Vektoren fett gedruckt sind. 2.1 Extremal geladener Staub in der Newtonschen Theorie Sowohl in der Newtonschen Theorie der Gravitation als auch in der Elektrodynamik genügen die Potentiale U und φ einer Poisson-Gleichung. Das Gravitationspotential U kann damit aus der vorhandenen (lokalisierten 1 ) Massenverteilung ρ m (r) und entsprechenden Randbedingungen (eindeutig) über die Gleichung U(r) = 4πGρ m (r) (2.1.1) 1 Mit lokalisiert wird eine Massen-/Ladungsdichte spezifiziert, welche außerhalb einer Kugelschale mit endlichem Radius verschwindet oder außerhalb dieser Schale schneller als r n, n > 3 abfällt, sodass die Gesamtmasse/-ladung der Verteilung endlich bleibt. Dann ist die Eindeutigkeit der Potentiale unter Vorgabe von Randbedingungen gewährleistet. Wird im Folgenden von einer Dichte gesprochen, setzen wir stillschweigend voraus, dass es sich um eine lokalisierte Dichte handelt. 11

12 2.1 Extremal geladener Staub in der Newtonschen Theorie mit dem Laplace-Operator und der Newtonschen Gravitationskonstante 2 G berechnet werden. Mit dem Gauß schen Integralsatz lässt sich leicht zeigen, dass kugelsymmetrische Massenverteilungen im Außenbereich das gleiche Gravitationsfeld aufweisen, wie es eine Punktmasse gleicher Masse im Schwerpunkt der Verteilung erzeugt. Weiterhin kann gezeigt werden, dass im Inneren einer kugelsymmetrischen, schalenförmigen Massenverteilung, zum Beispiel einer Hohlkugel, die Gravitationskraft verschwindet. Damit ergibt sich, dass im Inneren einer kugelsymmetrischen Massenverteilung, für einen gegebenen Abstand r 0 zum Mittelpunkt, nur die Masse innerhalb einer gedachten Kugelschale mit Radius r 0 zur Gravitation beiträgt. Analoge Betrachtungen gelten für das elektrische Potential φ für eine vorhandene (lokalisierte) Ladungsverteilung ρ el. Das elektrische Potential genügt der Poisson-Gleichung φ(r) = ρ el(r) ɛ 0 (2.1.2) und kann bei gegebenen Randbedingungen (eindeutig) bestimmt werden. Mit ɛ 0 wird die elektrische Feldkonstante 3 bezeichnet. Für eine gegebene statische Ladungs- und Materieverteilung befindet sich ein Testteilchen mit Ladung q und Masse m am Ort r 0 in Ruhe, falls die Gesamtkraft an diesem Ort verschwindet: (m U(r) + q φ(r)) r=r0 = 0. Durch die Bildung der Divergenz mit und der Verwendung der Poisson-Gleichungen folgt die notwendige Bedingung 4 ρ el (r) ρ m (r) = 4πGɛ m 0 = const, (2.1.3) q für einen Testkörper, der an jedem Ort r gegenüber der statischen Verteilung ruht. Aufgrund der Eindeutigkeit der Potentiale ist diese Bedingung äquivalent zum Verschwinden der potentiellen Energie an jedem Raumpunkt r: m U(r) + q φ(r) = 0, r R 3. (2.1.4) Für den Fall ρ el (r) ρ m (r) = q m (2.1.5) kann eine beliebige Ladungsverteilung aus einzelnen Punktteilchen aufgebaut werden, welche sich immer im statischen Gleichgewicht bezüglich gravitativer Anziehung und 2 G = 6,67384(80) m 3 kg 1 s 2 Quelle: Stand: ɛ 0 = 8, As V 1 m 1 Quelle: Stand: Gleichung soll auch für ρ el 0 die Aussage ρ m 0 beinhalten 12

13 2.1 Extremal geladener Staub in der Newtonschen Theorie elektrostatischer Abstoßung befindet. Werden weitere Kräfte wie innere Spannungen und Drücke vernachlässigt, nennen wir diese Materie extremal geladenen Staub. Für das Verhältnis der Dichten ergibt sich der konstante Wert unter Nutzung der Gleichungen und zu ( ) ρel = ± 4πGɛ 0. (2.1.6) ρ m ECD Es sei betont, dass dieses Verhältnis an jedem Raumpunkt exakt gelten muss, damit die Materiekonfiguration im statischen Gleichgewicht bleibt. Außerdem sei erwähnt, dass die Konstruktion von ECD gerade die Voraussetzung benötigt, dass Gravitation und elektrostatische Abstoßung die gleiche Abstandsabhängigkeit besitzen. Eine Verallgemeinerung auf die Einstein-Maxwell-Theorie ist daher aufgrund der Form der Feldgleichungen und dem elektrostatischen Beitrag zum Energie-Impuls-Tensor nicht-trivial und ist in Abschnitt 3.4 beschrieben. 13

14 2.2 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum 2.2 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum In diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, wie eine ungeladene Kugelschale aus Staub im Vakuum unter ihrer Eigengravitation kollabiert. Zunächst sollen an dieser Stelle die Grundannahmen zur Beschreibung der Schale erläutert werden. Wir betrachten dazu die zweidimensionale Kugelschale 5 Σ = S 2 R als Hyperfläche 6 des dreidimensionalen, euklidischen Raumes 7 V = R 3 mit S 2 R = {r V : r 2 = R}. Auf diese gedachte Kugelschale sollen nun Testteilchen gleicher Masse m gesetzt werden, die ausschließlich gravitativ miteinander wechselwirken, sodass insbesondere der Druck verschwindet. Wird die Kugelschale mit N dieser Testteilchen besetzt, ergibt sich die Gesamtmasse der Schale zu M = N m. Durch den Grenzübergang N, m 0, unter Wahrung der Gesamtmasse M, kann zu einer makroskopischen Beschreibung übergegangen werden. Dann lässt sich die Schale über die Oberflächenmassendichte σ quantifizieren. Fordert man eine Gleichverteilung der Staubteilchen auf der Kugelschale, ergibt sich die Oberflächenmassendichte bei vorgegebenem Radius R zu σ = M 4πR 2. (2.2.1) Wir fordern weiterhin, dass sich die Staubteilchen auf der Kugelschale in Ruhe befinden. Damit ergibt sich insbesondere ein verschwindender Gesamtdrehimpuls für die Kugelschale. 8 Da die Schale als unendlich dünn 9 bezüglich ihrer radialen Ausdehnung angesehen wird, kann die Dichte im dreidimensionalen Raum durch eine Delta-Distribution gemäß ρ(r) = σδ(r R) (2.2.2) geschrieben werden. Da die Staubteilchen ungeladen sind, auf der Kugelschale ruhen und sich die Kugelschale im Vakuum befindet, wirkt ausschließlich die gravitative Anziehung der Staubteilchen untereinander und bestimmt die Bewegung von Σ im dreidimensionalen Raum V. Aufgrund des verschwindenden Drehimpulses wirken keine Scheinkräfte durch Rotation und die Schale muss unweigerlich kollabieren. Wegen der Kugelsymmetrie 5 Es eignet sich als beschreibende Koordinaten den Azimutalwinkel ϕ [0; 2π) und den Polarwinkel θ [0; π) zu wählen. 6 Die Formulierung wird auf diese Weise eingeführt, um später die Analogie zur differentialgeometrischen Beschreibung verständlicher zu machen. 7 Die Beschreibung kann über Kugelkoordinaten r, ϕ, θ mit Identifizierung ϕ = ϕ, θ = θ erfolgen. 8 Wäre ein Drehimpuls vorhanden, so würde sich eine Scheibe bilden, deren Drehachse senkrecht auf der Scheibenfläche steht, wodurch die geforderte Kugelsymmetrie bricht. Würde ein statistisches Geschwindigkeitsfeld vorliegen, so würde die Schale mit der Zeit verschmieren, weshalb wir die Staubteilchen als auf der Schale ruhend betrachten. 9 Wir gehen in dieser Arbeit immer von unendlich dünnen Schalen aus, da sonst Gezeitenkräfte beachtet werden müssen. 14

15 2.2 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum reduziert sich die Beschreibung des Kollaps auf eine Differentialgleichung für den Schalenradius R(t). Die Hyperfläche schrumpft also unter Wahrung ihrer Form bis zum Radius R = 0 zusammen. Aus Gleichung folgt sofort, dass die Oberflächendichte singulär wird. Daher sei an dieser Stelle vereinbart, dass die Staubteilchen völlig inelastisch verklumpen und der Druck weiterhin null ist. Physikalisch gesehen ist dies natürlich falsch, da ab einer gewissen Dichte der über eine Zustandsgleichung verknüpfte Druck nicht mehr vernachlässigbar ist. Die unphysikalische Annahme des verschwindenden Drucks für beliebig hohe Dichten erlaubt es jedoch, den Kollaps bis zu R = 0 einfach beschreiben zu können. Dies soll vor allem dem Vergleich mit der Verallgemeinerung auf die ART im späteren Verlauf dieser Arbeit dienen Herleitung der Bewegungsgleichung Wir wollen nun die Differentialgleichung für den Kugelschalenradius R herleiten und lösen, um die Bewegung der Schale unter ihrer Eigengravitation zu bestimmen. Die Formulierung bezieht sich nun immer auf den dreidimensionalen Raum. Um die Bewegungsgleichung der Schale zu bestimmen, bieten sich mehrere intuitive Möglichkeiten an. Zum einen kann die Kraft df auf ein Staubteilchen dm berechnet werden. Da die Kugelschale im Vakuum betrachtet wird, setzt sich die Kraft df ausschließlich aus den infinitesimalen Beiträgen der gravitativen Anziehungskräfte, verursacht durch alle anderen Staubteilchen dm in der Schale, zusammen: df = dm Σ G (r r) r r 3 dm dm. (2.2.3) Wir legen das Koordinatensystem so, dass sich das betrachtete Staubteilchen dm bei r = (0, 0, R) T befindet. Dann können durch Übergang zu Kugelkoordinaten der Azimutalwinkel ϕ [0; 2π) und der Polarwinkel θ [0; π) eingeführt werden, sodass r = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ ) T, r r = 2R 1 cos(θ ), dm = M 4πR 2 df, df = R 2 sinθ dθ dϕ gilt. Hier wurde ausgenutzt, dass eine konstante Oberflächendichte vorliegt. Wie man schnell sieht, heben sich die symmetrischen Anteile durch die Integration über ϕ auf, wodurch eine Kraft resultiert, welche zum Mittelpunkt der Kugel weist. Durch Ausführen der Integration über die z-komponente ergibt sich für die Kraftdichte am Ort z = R df df = GM 2 z=r 8πR 4 e z. (2.2.4) Aufgrund der vorliegenden Kugelsymmetrie muss dann auf jedes Staubteilchen, mit Ortskoordinate r auf der Kugelschale, die (betragsmäßig konstante) Kraftdichte df 2 df = GM 8πR 4 e r (2.2.5) 15

16 2.2 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum wirken. Durch Integration über die gesamte Oberfläche lässt sich die Gesamtkraft F auf die Schale berechnen und es folgt die Bewegungsgleichung für die ungeladene Staubschale mit Radius R im Vakuum: F = M R e r = GM 2 2R 2 e r. (2.2.6) Mit der Relation F = E Bind folgt für die Bindungsenergie der Ausdruck E Bind = GM 2 2R. (2.2.7) Wird Gleichung mit Ṙ multipliziert und anschließend nach der Zeit integriert, folgt die Energieerhaltung für die Schale M 2 Ṙ2 GM 2 2R = E =: M A, (2.2.8) 2 mit der Gesamtenergie E =: M 2 A als Integrationskonstante. E ist zusammengesetzt aus der kinetischen Energie der Schale und ihrer gravitativen Bindungsenergie. Eine zweite Möglichkeit die Bewegungsgleichung herzuleiten besteht darin, direkt die Energieerhaltung E kin + E Bind = const zu fordern. Wir bemerken zunächst, dass das Gravitationspotential der Kugelschale durch das Lösen der Poisson-Gleichung gegeben ist. Mit den Forderungen von Regularität von U bei r = 0 und dem Randwert U(r ) = 0 folgt { GM U(r) = R, r < R(t); GM r, r R(t). (2.2.9) Die Bindungsenergie kann analog zur Elektrodynamik hergeleitet werden. Dabei wird die Massenwolke aus einzelnen Punktmassen aufgebaut. Der Übergang zur kontinuierlichen Beschreibung führt dann zu der Formel E Bind = G 2 V V ρ(r)ρ(r ) r r d3 rd 3 r = 1 2 V ρ(r)u(r)d 3 r. (2.2.10) Einsetzen der Dichte und des Gravitationspotentials in Gleichung liefert E Bind = GM 2 (2.2.11) 2R und es folgt die zuvor aus der Gesamtkraft hergeleitete Gleichung für die Energieerhaltung Eine dritte intuitive Möglichkeit, die Gesamtkraft auf die Schale zu bestimmen, ergibt sich wieder aus der Analogie des Gravitationspotentials zum elektrostatischen Potential. Die Kraft kann als Integral eines Spannungstensors über die Oberfläche geschrieben werden. Dies soll hier jedoch nicht weiter ausgeführt werden. 16

17 2.2 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Vakuum Lösung der Bewegungsgleichung Es muss also die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung GM Ṙ = R + A (2.2.12) in Abhängigkeit von A gelöst werden. 10 Die konstante Größe A spezifiziert, bei welchem (Anfangs-)Radius die Schale ruht, also wann der kinetische Anteil der Gesamtenergie verschwindet. Für A < 0 kann die Schale einen maximalen Radius von R = R max < haben, wir bezeichnen die Schale als gebunden. Bei A = 0 verschwindet die Geschwindigkeit der Schale im Unendlichen und wir sprechen dann von einer marginal gebundenen Schale. Liegt ein positives A vor, dann besitzt die Kugelschale eine nicht verschwindende Geschwindigkeit im Unendlichen, die Schale wird als ungebunden bezeichnet. In dieser Arbeit werden jedoch nur Werte A 0 betrachtet, sodass nie eine ungebundene Schale vorliegt. Gebundene Schale (A < 0) Im Fall einer gebundenen Schale folgt mit der Energieerhaltung der Wert A = GM/R max, mit dem Anfangsradius R max, bei dem die Geschwindigkeit der Kugelschale Ṙ verschwindet. Substituieren von x = 1/R, Ṙ = ẋ/x 2 in Gleichung liefert die Differentialgleichung ẋ = x 2 GMx GMa, a := 1 R max. (2.2.13) Mit der Anfangsbedingung R(t 0 ) = R max R 0 ergibt sich die Lösung von zu t(r) = R 0 3 GM [ arctan ] R0 R 1 R 1 + RR0 + t 0. (2.2.14) R 0 Marginal gebundene Schale (A = 0) Wird eine marginal gebundene Schale betrachtet, vereinfacht sich Gleichung wesentlich und es ergibt sich mit der Anfangsbedingung R(t 0 ) = R 0 die Lösung t(r) = 2 R 3/2 0 R 3/2 + t 0, (2.2.15) 3 GM ( R(t) = R 3/ /3 GM(t t0 )). (2.2.16) 2 10 Die positive Lösung für Ṙ entfällt, da der Kollaps der Kugelschale betrachtet wird. 17

18 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Statt die Staubschale im Vakuum zu betrachten, soll sich nun im Inneren der Schale eine Kugel aus ECD mit kugelsymmetrischen Dichteprofil befinden. Dabei sollen die Symmetriezentren der Schale und der ECD-Kugel übereinstimmen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird so eine kugelsymmetrische Konstellation aus ECD als Bonnor- Stern bezeichnet. Die Parameter im Bezug auf den Stern aus ECD werden mit einem Index S gekennzeichnet. Da der Kollaps einer elektrisch neutralen Schale betrachtet wird, werden Parameter der Schale mit einem Index n versehen. Aufgrund der Kugelsymmetrie der Schale folgt, dass der Stern zunächst stabil ist und seine statische Kugelform mit Radius R S beibehält. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels wird die Newtonsche Gravitationskonstante G = 1 gesetzt. Die neutrale Schale soll nur eine kleine Störung gegenüber dem ECD-Stern darstellen. Wir fordern also die Bedingung M n M S. (2.3.1) Zusätzlich zur Eigengravitation der Schale kommt nun noch ein Gravitationsbeitrag durch den Stern hinzu. Wir gehen zunächst von einem homogenen Stern aus, welcher eine konstante Dichte ρ S = 3M S /4πR 3 S aufweist. Lösen der Poisson-Gleichung ergibt dann das Gravitationspotential des Sterns { M S U(r) = r, r > R S ; M S r 2 2R S M S R S, 0 r R S, (2.3.2) wobei Regularität von U im Nullpunkt, Stetigkeit von U und Verschwinden im Unendlichen gefordert wurden. Aufgrund der Superponierbarkeit von Gravitationsfeldern in der Newtonschen Theorie ergibt sich nur ein additiver Term zur vorhandenen Kraft in Gleichung beziehungsweise zur vorhandenen Energie in Gleichung Bewegung der Schale im Außenraum des Sterns Für Bereiche außerhalb des Sterns folgt die Bewegungsgleichung der Schale M n Rn = M n 2 sowie durch Integration die Energieerhaltung M n 2 Ṙ 2 n M nm S R n 2R n 2 M nm S R n 2, (2.3.3) M 2 n = E =: M n 2R n 2 A. (2.3.4) 18

19 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Damit muss die Differentialgleichung R 2MS + M n n = + A (2.3.5) R n unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen gelöst werden. Gebundene Schale (A < 0) Für A < 0 existiert ein maximaler Radius R max, bei dem die Geschwindigkeit der Schale Ṙ verschwindet. Da sich die Schale nicht plötzlich innerhalb des Sterns befinden kann, ohne dass dieser kollabiert, fordern wir R max R S. Mit der Gleichung für die Energieerhaltung kann die Konstante A über den Maximalradius ausgedrückt werden: A = 2M S + M n R max. Als Lösung der Differentialgleichung folgt für die Anfangsbedingung R n (t 0 ) = R max R 0 [ ] 3 R 0 R0 Rn t(r n ) = arctan R n + t 0. (2.3.6) 2M S + M n R n R 0 R 0 Die Zeitdifferenz zum Erreichen der Oberfläche des Sterns beträgt [ ] 3 R 0 R0 RS T = t(r S ) t(r 0 ) = arctan R S, A < 0. 2M S + M n R S R 0 R 0 (2.3.7) Marginal gebundene Schale (A = 0) Für den Fall einer Kugelschale mit verschwindender Gesamtenergie folgt unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung R(t 0 ) = R 0 die Lösung der Differentialgleichung t(r n ) = 2 3 R n (t) = R 0 3/2 R 3/2 n 2MS + M n + t 0, (2.3.8) ( R 0 3/ MS + M n (t t 0 )) 2/3. (2.3.9) Es zeigt sich, dass die Lösungen äquivalent zum Vakuum-Fall mit der Ersatzmasse M = 2M S + M n sind. An dieser Stelle sei noch vermerkt, dass die Zeitdifferenz bis zum Erreichen der Oberfläche des Sterns beträgt. T = t(r S ) t(r 0 ) = 2 R 3/2 3/2 0 R S, A = 0 (2.3.10) 3 2MS + M n 19

20 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Bewegung der Schale im Inneren des Sterns Für Zeitpunkte t > T +t(r 0 ) dringt die neutrale Schale nun in den ECD-Stern ein. Dabei sollen die neutralen Staubteilchen der Schale nicht mit den geladenen Staubteilchen des Sterns stoßen. 11 Es bleibt also bei einem freien Kollaps der Schale aufgrund der gravitativen Wechselwirkung. Dabei überholt die neutrale Schale kontinuierlich infinitesimal dünne, geladene Schalen des Sterns. Nachdem solch eine geladene Schale überholt wurde, erfährt diese wiederum eine attraktive Kraft durch die neutrale Schale und beginnt zu kollabieren. Aufgrund der Kugelsymmetrie wirkt die neutrale Schale wie eine Punktmasse M n im Symmetriezentrum des Sterns. Zunächst soll ausgeschlossen werden, dass äußere geladene Schalen die neutrale Schale einholen, da dann das Potential seine Gültigkeit verliert. Mit dieser Annahme kollabiert die Schale im statischen Gravitationsfeld gemäß dem Potential für 0 r R S. Die Gesamtkraft auf die Schale ergibt sich dann durch Addition des eigen-gravitativen Anteils der Schale und der Gravitationswirkung der von der neutralen Schale eingeschlossenen 12 Sternmasse. Damit folgen die Bewegungsgleichung und die Energieerhaltung mit 3M nm S 2R S M n Rn = M n 2 + M 2 nm S R n 3 2R S 2R n 2 M nm S R n R S 3 (2.3.11) M 2 n + M n 2R n 2 Ṙ n 2 = E =: M n 2 A (2.3.12) A = 2M S + M n R S + Ṙ 2 n (T ) = 2M S + M n R max, wobei Ṙ n (T ) die Geschwindigkeit der Schale beim Erreichen der Sternoberfläche R S ist. Um die Bewegung der neutralen Schale innerhalb des Sterns zu beschreiben, muss also nun die Differentialgleichung Ṙ n = M n R n M S R S 3 R n 2 + 3M S R S + A (2.3.13) gelöst werden. Als Lösung für t(r n ) ergibt sich ein elliptisches Integral der Form t(r n ) = R S R n dx + T, (2.3.14) C + Mn x Bx2 11 Diese Forderung ist in der Nähe der Oberfläche des Sterns durchaus physikalisch plausibel. Man bedenke, dass es bei Objekten mit kleinen Dichten zu stoßfreien/reibungsfreien Verschmelzungen kommt, wie zum Beispiel bei der Kollision zweier Galaxien. Bei weiterer Verkleinerung der Schalenfläche steigt jedoch die Oberflächendichte σ n an, sodass die Druckvernachlässigung zunehmend unphysikalischer wird. 12 aufgrund des kugelsymmetrischen Dichteprofils 20

21 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns mit den Definitionen B : = M S R S 3, C : = A + 3M S R S. Aufgrund der Parameterabhängigkeit kann das Integral nicht über elliptische Funktionen dargestellt werden, sondern ist nur für konkret vorgegebene Parameterwerte (numerisch) lösbar. In den Abbildungen 2.2 und 2.3 auf Seite 29 ist der Kollaps der neutralen Schale innerhalb des Sterns beispielhaft dargestellt (orange Kurven). Wir betrachten noch den Sonderfall A = 3M S /R S. Es folgt unter Verwendung der Energieerhaltung 2.3.4, dass ( ) 2MS + M n! R 0 = R S > R S = M n > M S 3M S gilt, was einen Widerspruch zu der Forderung darstellt Kollaps des Sterns Wir wollen nun untersuchen, wie die Bewegung einer infinitesimal dünnen Schale des ECD-Sterns mit Anfangsradius r 0 ab dem Zeitpunkt t(r 0 ) verläuft, also ab dem Zeitpunkt, bei dem die neutrale Schale den Radius R n = r 0 besitzt. Da der Stern aus ECD aufgebaut ist, gleichen sich auch nach Deformation seiner Ausgangsform an jedem Punkt die eigene Gravitationskraft und die eigene elektromagnetische Kraft aus, sodass nur externe Kräfte 13 in die Bewegungsgleichung einer unendlich dünnen Schale des Sterns einfließen. Ab jetzt soll eine solche infinitesimal dünne, geladene Schale des ECD-Sterns als ECD-Schale oder auch Stern-Schale bezeichnet werden. Damit folgt die Differentialgleichung für eine ECD-Schale mit Anfangsradius r 0 : Das erste Integral der Bewegung ergibt sich damit zu r = 0, t r0 t(r 0 ); (2.3.15) r = M n r 2, t r 0 > t(r 0 ). (2.3.16) ṙ 2 2 M n r = M n r 0. (2.3.17) Umstellen nach ṙ und anschließende Integration unter Beachtung der Anfangsbedingungen ergibt ( ) r 3 0 r0 r t r0 (r) = arctan 1 2M n r 1 + rr0 + t(r 0 ). (2.3.18) r 0 13 Die externe Kraft ist hier die durch die Schale verursachte Gravitationskraft. 21

22 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Die gefundenen Lösungen für die Bewegung einer marginal gebundenen Schale (A = 0) und der anschließende Kollaps des ECD-Sterns 14 sind in Abbildung 2.1 dargestellt. Die Zeit wurde dabei so verschoben, dass die neutrale Schale bei t = 0 den Radius des Sterns erreicht. t/m S neutrale Schale ECD-Schalen r/m S Abbildung 2.1: Kollaps der neutralen Schale und des ECD-Sterns für die Parameter: M S = 1; R S = 10 2 M S ; M n = 10 1 M S ; R max = ; A = 0. Aufgrund des Kollaps der geladenen Sternmaterie entstehen Ströme, sodass Magnetfelder berücksichtigt werden müssen. Im Außenraum des Sterns liegt immer ein statisches elektrisches Potential vor. Dies ist auch während des Kollaps der Fall, da die kollabierende Materieverteilung immer perfekte Kugelsymmetrie behält. Damit gilt im Außenbereich B 0. Im Inneren der Materie helfen uns die Maxwell-Gleichungen. Aufgrund der Kugelsymmetrie ist das elektrische Feld für jeden Radius nur durch die eingeschlossene Ladung Q(r, t) bestimmt, es gilt E(r, t) = Q(r, t) 4πɛ 0 r 2 e r. (2.3.19) Integration der Kontinuitätsgleichung über eine Kugel mit Radius r ergibt (unter Benutzung des Satzes von Gauß) ( ) ρel (r, t) Q(r, t) 0 = + div j(r, t) dv = + 4πr 2 j(r, t), j(r, t) = j(r, t)e r. t t V (2.3.20) Wird dieser Ausdruck in Gleichung eingesetzt, folgt aus den Maxwell-Gleichungen 0 = ɛ 0 E(r, t) t + j(r, t) = c 2 rot B. (2.3.21) Mit der Forderung des stetigen Übergangs von B an der Sternoberfläche folgt B 0 im Inneren der kollabierenden Sternmaterie. 14 Beispielhaft illustriert an den ECD-Schalen mit Startradius r 0 = R S n/10, n = 1,...,

23 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Überholvorgänge innerhalb eines homogenen sphärischen Sterns aus extremal geladenem Staub Zunächst soll erklärt werden, was unter einem Überholvorgang zu verstehen ist. Zur Zeit t(r 0 ) befindet sich die neutrale Schale beim Radius R n = r 0 innerhalb des Sterns. Auf ECD-Schalen mit Radien r: r 0 < r R S wirkt daher die Gravitationsbeschleunigung gemäß Gleichung Falls so eine Stern-Schale zu einem späteren Zeitpunkt einen kleineren Radius r als die neutrale Schale aufweist, r < R n, hat ein Überholvorgang stattgefunden. Damit verlieren automatisch die hergeleiteten Differentialgleichungen (insbesondere Gleichung ) ihre Gültigkeit. Ein Überholvorgang unter zwei Stern-Schalen findet statt, falls ein Radius r r 0 < r 0 existiert, sodass t r 0 (r) t r 0 (r) > 0 gilt. 15 In diesem Abschnitt soll nun untersucht werden, ob sich einzelne Stern-Schalen nach dem Passieren der neutralen Schale überholen können und ob die neutrale Schale selbst von einer ECD-Schale eingeholt werden kann. Dazu sollen an dieser Stelle noch einmal die eben gefundenen Lösungen aufgelistet werden. Wir definieren die Zeit so, dass für t < 0 die neutrale Schale außerhalb des Sterns ist und bei t = 0 genau den Radius des Sterns R S erreicht, sodass die neutrale Schale für t > 0 innerhalb des Sterns ist, bis sie bei t = T krit den Nullpunkt erreicht. Im Nullpunkt soll die Schale völlig inelastisch zusammenkleben beziehungsweise vollständig verklumpen. Für die Bewegung der neutralen Schale innerhalb des Sterns gilt t(r n ) = R S R n dx, B := C + Mn x Bx2 mit der inversen Geschwindigkeit M S R S R S 3, C := A + 3M S, A = 2M S + M n R max, (2.3.22) dt 1 = dr. (2.3.23) n C + Mn 2 R n BR n Eine infinitesimale ECD-Schale bewegt sich gemäß ( ) r 3 0 r0 r t r0 (r) = arctan 1 2M n r 1 + rr0 + t(r 0 ) (2.3.24) r 0 mit inverser Geschwindigkeit dt r0 dr = 1 2M n ( 1r 1r0 ). (2.3.25) 15 Das bedeutet, dass die äußere Stern-Schale eine geringere Zeit (im Vergleich zu einer weiter innen liegenden Stern-Schale) bis zum Erreichen des Radius r benötigt. 23

24 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Diese Gleichungen beschreiben den Kollapsvorgang richtig, solange die Gültigkeit von Gleichung gesichert ist. Anders ausgedrückt bedeutet dies, es wird gefordert, dass für alle r [0, r 0 ) für alle r 0 (0, R S ] gilt: t r0 (r) t(r) > 0. (2.3.26) Wir zeigen nun, dass für eine marginal gebundene Schale (A = 0) und für alle r 0 (0, R S ] gilt: t(r) < t r0 (r) für alle r [0, r 0 ). Zunächst sei der Grenzfall M S M n 0 betrachtet. Dann folgt für Gleichung t(r n ) = R S R n x dx = 2 3/2 R S [1 M n 3 Mn ( Rn R S ) 3/2 ] und für r 0 = R S ergibt Gleichung ( 3 ) R S RS r t RS (r) = arctan 2M n r r. R S R S Da die neutrale Schale eine nicht verschwindende Geschwindigkeit dr n /dt < 0 beim Radius R n = R S besitzt und die äußerste, geladene Schale des Sterns ruht, muss es ein r in der Umgebung von R S geben, sodass t RS ( r) t( r) > 0 gilt. Die Änderung des zeitlichen Abstands über der Radialkoordinate r ergibt 16 d r dr (t rr > 0, r < R S /2; S R S (r) t(r)) = = 0, r = R M n 2M n (R S r) S /2; < 0, r > R S /2. Der zeitliche Abstand vergrößert sich bis zur Radialkoordinate r = R S /2 und verringert sich dann bis zum vollständigen Kollaps bei r = 0. Aufgrund der anfänglich positiven Zeitdifferenz reicht es damit aus, die Differenz bei r = 0 zu betrachten. Die Zeitdifferenz bei r = 0 ergibt sich zu t RS (0) t(0) = R S 3 M n ( π ) > 0. (2.3.27) 3 16 Ein positiver Anstieg bedeutet, dass sich der zeitliche Abstand bei kleiner werdendem r verringert. 24

25 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Die marginal gebundene Kugelschale kann also im Grenzfall M S /M n 0 nie von der äußersten, geladenen Schale mit Anfangsradius r 0 = R S (0 < R S < beliebig) überholt werden. Die Gültigkeit von Gleichung für die Anfangsbedingung r 0 = R S ist in diesem Fall gesichert. Aus dieser Grenzfallbetrachtung können jedoch allgemeinere Aussagen abgeleitet werden: Die Gültigkeit von Gleichung ist für alle r 0 (0, R S ] gesichert. Dies kann leicht klar gemacht werden, wenn wir bedenken, dass die neutrale Schale mit kleiner werdendem r beschleunigt und der Betrag der Geschwindigkeit bei r = R S den kleinsten Wert innerhalb des Sterns hat. 17 Durch Verschieben der Anfangszeit um t(r 0 ) liegen dann die Gleichungen bis analog vor. Dieser Sachverhalt kann auch direkt aus dem Ergebnis abgelesen werden, da die Differenz unabhängig von dem Anfangsradius r 0 = R S größer als null ist. 18 Der analoge Schluss kann auch für alle M S /M n > 0 gemacht werden, da hierdurch der Betrag der Geschwindigkeit der neutralen Schale für jeden Wert von r erhöht wird. Dies kann auch durch Abschätzungen der Integrale gezeigt werden. Damit folgt die Behauptung, dass für A = 0 keine geladene Schale die neutrale Schale überholt und damit Gleichung ihre Gültigkeit behält. Wir wollen nun noch untersuchen, ob Überholvorgänge zwischen den geladenen Schalen auftreten, auch wenn dies keinen Einfluss auf die Gültigkeit 19 der Gleichungen hat. Wir betrachten wieder die Gleichungen bis für den Fall A = 0. Gegeben seien zwei geladene Schalen im Abstand δ mit den Anfangsradien r 0 und r 0, sodass gilt: Die Funktion 0 < r 0 δ = r 0 < r 0 R S, 0 < δ r 0. T (r) = t r 0 (r) t r0 (r), r (0, r 0 ] (2.3.28) misst die Zeitdifferenz zweier Schalen bis zum Erreichen des Radius r. Schnell kann sich von T (r 0 ) > 0 vergewissert werden. Dies ist ersichtlich, da die neutrale Schale nie von einer geladenen Schale eingeholt werden kann und sich zum Zeitpunkt t(r 0 ) bei r 0 befindet. Es wird nun wieder die Ableitung der Zeitdifferenz nach dem Ort betrachtet: ( (1 d T = 1 dr 2Mn r 1 ) 1/2 ( 1 r 0 r 1 ) ) 1/2 r 0 > 0, r 0 > r 0 r > Die Geschwindigkeit Ṙ ist streng monoton steigend bezüglich wachsendem r. 18 Durch Verschieben des Anfangsradius auf r 0 (0, R S) kann die Rechnung analog durchgeführt werden, über Abschätzungen folgt dann die Aussage. 19 aufgrund der speziellen Eigenschaft des ECD 25

26 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Mit diesem Resultat folgt, dass der zeitliche Abstand mit kleiner werdendem r abnimmt und damit die äußere Schale auf die innere aufholt. Es verbleibt damit nur die Zeitdifferenz bei r = 0 zu betrachten. Diese ergibt sich zu 20 T (0) = = ( 3 r 0 3 2M n r 0 3 2M n r 0 3 2M n r 3 0 π r 0 2M n 2 r 0 r 0 3 π 2M n 2 [( δ r 2 δ 0 + O r 0 δ ( r 0 3π ) 2 1 M n 8 > 0. r 3 0 π 2M n 2 δ ) ]) 2 dx C + Mn x δ C + Mn x r 0 M n π 2 2M n δ Bx2 Bx2 r 0 M n x=r 0 Damit folgt, dass für zwei beliebige, im Abstand δ benachbarte, Stern-Schalen 21 des ECD- Sterns kein Überholvorgang stattfindet. Es folgt deshalb, dass auch bei den ECD-Schalen keine Überholvorgänge stattfinden, sofern der Fall A = 0 vorliegt Untersuchung von Überholvorgängen bei beliebigem kugelsymmetrischen Dichteprofil des Sterns Wir geben nun die Konstanz der Dichte ρ S auf. Sei also nun ρ S (r) eine beliebige reguläre, kugelsymmetrische Dichtefunktion. Desweiteren soll die Schale wieder verschwindende Gesamtenergie besitzen, wir betrachten also eine marginal gebundene Schale (A = 0). Wir definieren die Massenfunktion m S (r) gemäß r 4πρ S (x)x 2 dx, 0 r < R S ; m S (r) := 0 M S, r R S. 20 Im ersten Schritt wird das Integral nach oben abgeschätzt, indem stattdessen der größte Wert des Integranden multipliziert mit der Intervall-Länge geschrieben wird. Im zweiten Schritt wird der Integrand nach oben abgeschätzt, indem der für alle r 0 [0, R S] positive Term C Br 02 > 0 vernachlässigt wird (B und C siehe ). Die Taylorentwicklung der Funktion (1 x) 3/2 an der Stelle x = 0 ist gegeben durch: (1 x) 3/2 = 1 3x/2 + 3x 2 /8 + O [ x 3]. Höhere Ordnungen sind positiv für positive x. Dies wurde in Schritt vier benutzt. 21 insbesondere für zwei Stern-Schalen mit infinitesimalen Abstand dr 26

27 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Die Funktion m S (r) gibt an, wie viel Masse des Sterns innerhalb einer Kugel mit Radius r eingeschlossen ist. Die Bewegung der neutralen Schale außerhalb des Sterns ist nur von der Gesamtmasse des Sterns (für kugelsymmetrische Dichtefunktionen) abhängig und damit identisch zum Ergebnis einer marginal gebundenen Schale in Unterabschnitt Durch analoge Betrachtungen zu den Unterabschnitten und ergeben sich die Differentialgleichungen R n = M n 2R n 2 m S(R n ) R n 2, R n < R S ; (2.3.29) r = M n r 2, r > R n, (2.3.30) für die Bewegung der neutralen Schale innerhalb des Sterns (2.3.29) und für eine infinitesimal dünne Stern-Schale (2.3.30) mit Anfangsradius r 0 ab dem Zeitpunkt t(r 0 ). Durch Multiplikation von Gleichung mit Ṙn und anschließender Integration für die Anfangsbedingungen Ṙn(t = 0) = (2M S + M n )/R S und R n (t = 0) = R S, folgt als erstes Integral der Bewegung für die neutrale Schale Ṙ 2 n 2 M n 2R n + R n 0 m S (x) x 2 dx = M S + R S R S 0 m S (x) x 2 dx. (2.3.31) Die Lösung für die Bewegung der neutralen Schale innerhalb des Sterns ergibt sich durch Umstellen und Integration zu t(r n ) = R S R n dy D(y) + Mn y (2.3.32) mit D(y) := 2M S R S + 2 R S y m S (x) x 2 dx. Die Bewegung einer Stern-Schale ist durch die Lösung von Gleichung gegeben und ist formal äquivalent zu Gleichung : ( ) r 3 0 r0 r t r0 (r) = arctan 1 2M n r 1 + rr0 + t(r 0 ). (2.3.33) r 0 Es muss jedoch beachtet werden, dass die vom Anfangsradius abhängige Zeitkonstante t(r 0 ) nun über Gleichung gegeben ist. 27

28 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Analog zum homogenen ECD-Stern wird zunächst der Grenzfall M S /M n 0 für A = 0 betrachtet. Dann verschwindet die Funktion D(y) und das Integral ist äquivalent zum Fall homogener Dichte mit der Lösung t(r n ) = R S R n y dy = 2 3/2 R S [1 M n 3 Mn ( Rn R S ) 3/2 ]. (2.3.34) Aufgrund der Äquivalenz der beiden Gleichungen und zum Fall der homogenen Dichte im Grenzfall M S /M n 0, wird die neutrale Schale nicht überholt. Wieder kann dieses Ergebnis allgemeingültiger angegeben werden: Wird der Term D(y) nicht vernachlässigt, so wird die Geschwindigkeit der Schale für alle Radien r durch die zusätzliche attraktive Masse größer. Damit ist auch im Fall eines beliebigen kugelsymmetrischen Dichteprofils ausgeschlossen, dass eine marginal gebundene Schale von einer ECD-Schale überholt werden kann. Es sei bemerkt, dass der Grenzfall M S /M n 0 automatisch beliebige (kugelsymmetrische) Dichte-Verformungen zulässt, da dies keinen Einfluss auf die Bewegung der neutralen Schale hat. Da die Bewegungsgleichung einer infinitesimal dünnen Stern-Schale unabhängig von deren Masse ist, findet sich die Abhängigkeit von der Dichte lediglich in der Anfangszeit t(r 0 ) wieder. Daher muss nur untersucht werden, welches Vorzeichen die Zeitdifferenz T zweier Stern-Schalen r 0 > r 0 im Abstand δ r 0 bei r = 0 besitzt: T (0) = = ( 3 r 0 3 2M n r 0 3 2M n r 0 3 2M n [( δ r 2 δ 0 + O r 0 δ ( r 0 3π ) 2 1 M n 8 > 0. r 3 0 π r 0 2M n 2 dy r 0 D(y) + Mn y r 3 0 π 2M n 2 δ D(y) + Mn y r 3 0 π 2M n 2 δ ) ]) 2 r 0 M n π 2 2M n δ y=r 0 Da die Zeitdifferenz größer als null ist, findet also auch bei beliebiger kugelsymmetischer Dichte im Fall A = 0 kein Überholvorgang statt. r 0 M n 28

29 2.3 Kollaps einer ungeladenen Kugelschale aus Staub im Gravitationsfeld eines extremal geladenen Sterns Für eine gebundene Schale (A < 0) können diese allgemeingültigen Aussagen nicht getroffen werden. Es kann durch die Wahl spezieller Parameterkonstellationen dazu kommen, dass eine Stern-Schale die neutrale Schale überholt. Dies ist in Abbildung 2.2 für eine konstante Dichte des Sterns dargestellt. t/m n t RS (r) t(r) r/m n Abbildung 2.2: Zeitlicher Verlauf des Kollaps der äußersten Stern-Schale (blau) und der neutralen Schale (orange) für die Parameter: M S = 1; R S = 10 4 M S ; R 0 = R max = 1,02 R S ; M n = 10 3 M S ; A = 0, Die neutrale Schale dringt zunächst in den Stern ein und wird bei r 8,4 M n von der äußersten ECD-Schale überholt. Die ECD-Schale braucht weniger Zeit bis zum Erreichen von r = 0. Die Parameter sind so gewählt, dass die Masse der neutralen Schale die Masse des ECD-Sterns um den Faktor 10 3 übersteigt, welches nicht der Forderung M n M S entspricht. Dennoch verlieren die Differentialgleichungen ihre Gültigkeit, weshalb, gerade im Hinblick auf die Formulierung in der Allgemeinen Relativitätstheorie, die Betrachtung einer gebundenen Schale in dieser Arbeit vernachlässigt wird. In Abbildung 2.3 sind zum Vergleich die Bewegungen einer marginal gebundenen Schale und der äußersten Stern-Schale (bei konstantem Dichteprofil) im selben Massenverhältnis dargestellt. Ein Überholvorgang findet nicht statt. t/m n t RS (r) t(r) r/m n Abbildung 2.3: Zeitlicher Verlauf des Kollaps der äußersten Stern-Schale (blau) und der neutralen Schale (orange) für die Parameter: M S = 1; R S = 10 4 M S ; R max = ; M n = 10 3 M S ; A = 0. Es findet kein Überholvorgang statt. 29

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