Computergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2!

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1 Computergrafik Inhalt Achtung! Kapitel ist relevant für CG-2! Historie, Überblick, Beispiele Begriffe und Grundlagen Objekttransformationen Objektrepräsentation und -Modellierung Sichttransformationen Kurven und Flächen Rendering und Visibilität Radiosity Mapping-Techniken Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.

2 5.2. Motivation Approximation Daten oft mit Toleranzen versehen Bei Modellierung großer Datenmengen, z.b. im Reverse Engineering durch Laserabtastung dreidimensionaler Objekte, liefert eine Interpolation zu komplexe Flächendarstellungen Approximation der Daten, basierend auf einer kleineren Menge von Basisfunktionen. Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.2

3 Gegeben: Punktmenge mit Stützstellen (p j, t j ), j =,,m Basisfunktionen φ i =,,n, für die Darstellung einer approximierenden Kurve oder Fläche. Gesucht: Approximierende Kurve f(t) (oder Fläche f(u,v)) n = i= f ( t) c ϕ ( t) i i Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.3

4 Der Fall m = n Die Koeffizienten c i können über das lineare Gleichungssystem der Interpolationsbedingungen bestimmt werden: n i= cϕ ( t ) = p i i j j j =,,m Kurz: Ac = p mit a ji = φ i (t i ) (3) Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.4

5 Der Fall m > n System (3) ist überbestimmt (mehr Bedingungen als Freiheitsgrade) Aus dem Interpolationsproblem wird daher ein Approximationsproblem, basierend auf der Minimierung eines Residuums: m r = f ( t j ) p j= 2 j (4) Das Residuum r hängt von den Koeffizienten c i ab: r 0 i =,..., n c i (5) r = c i 0 Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.5

6 Fortsetzung Daraus ergibt sich wiederum ein Gleichungssystem: Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.6

7 Fortsetzung Kurz: (Normalengleichung) A T Ac = A T p (6) Das System (6) hat für x, y und z je eine Komponente, die getrennt voneinander gelöst werden können, da auch das Residuum in drei Komponenten zerfällt: r = r + r + r x y z m = [( f ( t ) p ) + ( f ( t ) p ) + ( f ( t ) p ) ] j= x j xj y j yj z j zj Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.7

8 Fortsetzung Ist das System (6) regulär, so erfüllt die Lösung die Minimierungseigenschaft (4). Lösung des Systems (6) durch Gauß-Elimination? Die Matrix A T A ist quadratisch, symmetrisch und positiv-semidefinit. Das System kann singulär werden: z.b. wenn im Träger einer Basisfunktion φ i keine Stützstelle liegt. Verkleinerung der Basis liefert dann Abhilfe. Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.8

9 Lösung der Normalengleichung Sei M = A T A. Normalengleichung: Mc = A T p Lösung: c = M + (A T p) M + : Pseudoinverse (bzw. Inverse, wenn M regulär) Vorteil: kann numerisch stabil durch Singulärwertzerlegung (SVD) berechnet werden Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.9

10 Singulärwertzerlegung (SVD) M = UΣV T mit: r := Rang von M σ σ r >0 Singulärwerte Für Matrizen mit vollem Rang identisch zur Eigenwertzerlegung Pseudoinverse: + + M = VΣ U + ( Σ ) ij T σ falls i = j r i = 0 sonst Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.0

11 Der Fall m < n System (3) ist unterbestimmt (mehr Freiheitsgrade als Bedingungen) Für rank(a) = rank(a p) gibt es evtl. einen mehrdimensionalen Lösungsraum. Gesucht: Lösung c von (3), die zu gegebenem Vektor d (der (3) nicht erfüllt) minimalen Abstand hat: c d 2 min T Satz: c d 2 ist minimal für c = d + A t,wobei t Lösung von AA T t = p A t ist. Lösung: Singulärwertzerlegung Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.

12 5.2.3 Die Ausgleichsebene Ausgleichs- oder Regressionsebene Gegeben: Punkte p i = (x i,y i,z i ), i =,,m. Gesucht: Ebene E, die minimalen Abstanden zu den Punkten p i hat. Lösungen:. Regressionsebene (funktional): E ist gegeben durch z(x,y) = ax+by+c. Minimiere m 2 ( x j jb c z j ) min j= r = a x + mit der Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares Fit). Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.2

13 5.2.3 Die Ausgleichsebene Lösungen 2. Regressionsebene (orthogonaler Abstand) E ist gegeben in Hesse-Normalform: Dabei ist n = ( a, b, c) T / a + b + c die normierte Normale und d der Abstand von E zum Ursprung Orthogonaler Abstand d i von p i zu E: d = n p + d Minimiere: r = m j= ( ax + by + cz + d) j j j ( a + b + c ) 2 min i i Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.3

14 5.2.3 Die Ausgleichsebene Lösungen 2. Regressionsebene (orthogonaler Abstand), Fortsetzung: r = 0 liefert: d m d = ( ax + by + cz ) mit x = x j, y, z analog Minimiere: r m = j= m j = ( a( x x) + b( y y) + c( z z )) j j j ( a + b + c ) 2 min Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.4

15 5.2.3 Die Ausgleichsebene Lösungen 2. Regressionsebene (orthogonaler Abstand), Fortsetzung r in Matrixform: r wird minimal für den Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert von A = M T M. Lösung über Singulärwertzerlegung von M und A. Achtung! Kapitel ist relevant für Computergrafik 2! CG 5.2.5