Tangenten und die erste Ableitung

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Clara Julia Förstner
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1 Universität Heidelberg Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der reellen Analysis Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter Sommersemester 2009,

2 Inhaltsverzeichnis 1 2 3

3 tangere = berühren, aus dem Lateinischen Abbildung: Tangente, Sekante und Passante

4 Denition: Dierenzierbarkeit Eine Funktion f : I R sei deniert auf dem Intervall I. Sie heiÿt dierenzierbar (ableitbar) in x 0, wenn der folgende Grenzwert existiert: f (x) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) x x0 x x 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 h

5 Geometrische Erläuterungen Abbildung: Annäherung der Tangenten durch die Sekante T : y = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) tan(α) = f (x 0 )

6 Voraussetzungen für Tangenten f (x 0 ) = T (x 0 ); f (x 0 ) = T (x 0 )

7 Voraussetzungen für Tangenten f (x 0 ) = T (x 0 ); f (x 0 ) = T (x 0 ) Die Tangente der Funktion f existiert im Punkt P 0 (x 0 f (x 0 )) f an der Stelle x 0 dierenzierbar ist.

8 Denition Tangente und Anmerkungen Sei f eine Funktion in R 2 und P 0 ein Punkt der Funktion. Eine Gerade T, welche f in P 0 berührt, heiÿt Tangente zu f, wenn für ein gegebenes ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, sodass der Winkel θ zwischen PP 0 und T kleiner als ɛ für jeden Punkt P der Funktion f ist. Dabei wird die Distanz zwischen P 0 und P mit δ bezeichnet. Abbildung: Tangente

9 Theorem (i) Wenn die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x = x 0 existiert, dann existiert die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in P (x 0 f (x 0 ))

10 Theorem (i) Wenn die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x = x 0 existiert, dann existiert die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in P (x 0 f (x 0 )) (ii) Wenn nun die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in einem Punkt P (x 0 f (x 0 )) existiert und f zudem stetig in x = x 0 ist, dann existiert die Ableitung der Funktion f in x = x 0

11 Theorem (i) (i) Wenn die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x = x 0 existiert, dann existiert die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in P (x 0 f (x 0 ))

12 Theorem (i) (i) Wenn die Ableitung einer Funktion f in einem Punkt x = x 0 existiert, dann existiert die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in P (x 0 f (x 0 ))

13 Theorem (ii) (ii) Wenn nun die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in einem Punkt P (x 0 f (x 0 )) existiert und f zudem stetig in x = x 0 ist, dann existiert die Ableitung der Funktion f in x = x 0

14 Theorem (ii) (ii) Wenn nun die Tangente zu dem Graphen der Funktion f in einem Punkt P (x 0 f (x 0 )) existiert und f zudem stetig in x = x 0 ist, dann existiert die Ableitung der Funktion f in x = x 0

15 Anwendung der Denition und spezielle Tangenten (i) Waagerechte Tangenten Abbildung: Waagerechte Tangenten

16 Anwendung der Denition und spezielle Tangenten (ii) Senkrechte Tangenten Abbildung: Wurzelfunktion f (x) = x

17 Wendetangenten Abbildung: Wendetangente

18 Halbtangenten Abbildung: f (x) = x

19 Figur 8 Abbildung: Figur 8, in P0 existiert keine Tangente

20 Abbildungsverzeichnis BRÜSTLE; LS 11; Ernst Klett Verlag; Stuttgart; S. 128 RAJWADE; BHANDARI; Surprises and Counterexamples in Real Function Theory. Hindustan Book Agency, S. 114, 115, 116

21 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!

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