8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker

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Rudolf Müller
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1 Fachbereich Mathematik PD Dr. P. Ne WS 007/ Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Zur Erinnerung, die Formel für die Taylorreihe um die Stelle x 0 lautet f(x) n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Gruppenübung Aufgabe G1 () Betrachten Sie die Sinusfunktion f(x) sin(x). (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach n, daÿ gilt. f (n) (x) sin(x + n π ) (b) Zeigen Sie, daÿ f (k) (0) 0 und f (k+1) (0) ( 1) k für jede natürliche Zahl k N gilt. (c) Berechnen Sie die Taylorreihe von der Sinusfunktion f(x) sin(x) an der Stelle x 0 0. Lösung: (a): Induktionsanfang: Induktionsannahme: Wir nehmen an, daÿ bereits gezeigt wurde. Induktionsschluÿ: Wir müssen f (0) (x) sin(x + 0 π ) sin(x) f(x) f (n) (x) sin(x + n π ) f (n+1) (x) sin(x + (n + 1) π ) zeigen: f (n+1) (x) (f (n) (x)) (sin(x + n π )) cos(x + n π ) sin(x + n π + π ) sin(x + (n + 1) π )

2 (b): Es gilt Wir haben f (k) (0) sin(0 + k π ) sin(kπ) 0. f (k+1) (0) sin(0 + (k + 1) π ). Wir machen eine Fallunterscheidung: Betrachten wir den Fall, daÿ k gerade ist. Dann haben wir f (k+1) (0) sin(0 + (k + 1) π ) sin(π + kπ) sin(π ) cos kπ + cos(π ) sin kπ sin( π ) cos kπ 1 ( 1)k. Betrachten wir den Fall, daÿ k ungerade ist. Dann haben wir f (k+1) (0) sin(0 + (k + 1) π ) sin(π + kπ) sin(π ) cos kπ + cos(π ) sin kπ sin( π ) cos kπ 1 ( 1)k. (c): Nur ungerade Ordnungen liefern Beiträge. Somit haben wir f(x) n0 k0 k0 f (n) (0) x n f (k+1) (0) (k + 1)! xk+1 ( 1) k (k + 1)! xk+1 x 1 3! x ! x5. Aufgabe G () Berechnen Sie die Taylorreihe von um die Stelle x 0 0 bis zur dritten Ordnung. Lösung: f(x) e sin x f(0) e sin(0) e 0 1 f (x) cos x e sin x f (0) cos 0 e sin 0 1 e sin(0) 1 f (x) (cos x) e sin x + cos x (e sin x ) sin x e sin x + (cos x) e sin x

3 f (0) sin 0 e sin 0 + (cos 0) e sin e sin 0 1 f (x) (sin x) e sin x sin x (e sin x ) + ((cos x) ) e sin x + (cos x) (e sin x ) cos x e sin x sin x cos x e sin x + cos x( sin x) e sin x + (cos x) 3 e sin x cos x e sin x 3 sin x cos x e sin x + (cos x) 3 e sin x Fassen wir zusammen: f (0) cos 0 e sin 0 3 sin 0 cos 0 e sin 0 + (cos 0) 3 e sin 0 0 f(x) f(0) + f (0)x + f (0)! 1 + x + 1 x + O(x 4 ) x + f (0) x 3 + O(x 4 ) 3! Aufgabe G3 () Berechnen Sie die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus um die Stelle x 0 1 bis zur zweiten Ordnung. f(x) ln(x) Lösung: Wir berechnen die ersten beiden Ableitungen f (x) 1 x und f (x) 1 x. Wir haben f(x) n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n und mit x 0 1 erhalten wir f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 f (x 0 )(x x 0 ) + O(x 3 ), ln(x) ln(1) + ln (1)(x 1) + 1 ln (1)(x 1) + O(x 3 ) (x 1) 1 (x 1) + O(x 3 ). 3

4 Hausübung Aufgabe H1 (4P) Betrachten Sie die Funktion f(x) ln(1 x). (a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daÿ f (n) (x) 1 1 n (1 x) n für alle natürlichen Zahlen n N mit n 1 gilt. (b) Wie lautet die Taylorreihe von f(x) ln(1 x) um die Stelle x 0 1? (c) Wie lautet die Taylorreihe von f(x) ln(1 x) um die Stelle x 0 0? Lösung: (a): Induktionsanfang für n 1: Induktionsannahme: Wir nehmen an, daÿ bereits gezeigt wurde. Induktionsschluÿ: Wir wollen zeigen: f (1) (x) 1! ( ln(1 x)) (1 x) x f (x) f (n+1) (x) (n + 1)! f (n) (x) 1 1 n (1 x) n 1 1 (n + 1) (1 x) (n+1) f (n+1) (x) (n + 1)! 1 f (n+1) (x) n d f (n) (x) 1 d 1 1 n + 1 dx n + 1 dx n (1 x) n 1 1 d (n + 1) n dx (1 1 1 x)( n) ( n)( 1)(1 x)( n 1) (n + 1) n 1 1 (n + 1) (1 x) (n+1). Zum Beweisprinzip der vollständigen Induktion: Der Beweis der vollständigen Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. Er kann häug bei folgendem Problem angewandt werden. Es sei n 0 eine ganze Zahl und A(n) für jedes n n 0 eine Aussage. Es soll bewiesen werden: A(n) ist richtig für alle n n 0. Die Gültigkeit dieser unendlich vielen Aussagen A(n) kann man nicht für jedes n einzeln nachprüfen. Hier hilft die vollständige Induktion. Beweisprinzip: 4

5 (b): Um die Aussage A(n) für alle n n 0 zu beweisen, genügt es, zu zeigen: Induktionsanfang: A(n 0 ) ist richtig. Induktionsschritt:Für ein beliebiges n n 0 gilt: Falls A(n) richtig ist, ist auch A(n + 1) richtig. Die Wirkungsweise dieses Prinzips ist leicht einzusehen: Nach (Induktionsanfang) ist zunächst A(n 0 ) richtig. Wendet man den Induktionsschritt auf den Fall n n 0 an, so erhält man die Gültigkeit von A(n 0 + 1). Wiederholte Anwendung des Induktionsschrittes liefert dann die Richtigkeit von A(n 0 + ), A(n 0 + 3) usw. f(x) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n f (n) ( 1) (x ( 1)) n 1 1 (x ( 1))n n (1 ( 1)) n 1 1 (x + 1)n n n n0 n0 n0 n0 (c): f(x) n0 n0 n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n f (n) (0) x n 1 n xn Aufgabe H (3P) Berechnen Sie die Taylorreihe von um den Punkt x 0 0 bis zur vierten Ordnung. Lösung: f(x) e x cos(x) f(x) e x cos(x) f(0) 1 5

6 f (x) e x cos(x) e x sin(x) f (0) e 0 cos(0) e 0 sin(0) f (x) 3 e x cos(x) 4 e x sin(x) f (0) 3 e 0 cos(0) 4 e 0 sin(0) 3 f (3) (x) e x cos(x) 11 e x sin(x) f (3) (0) e 0 cos(0) 11 e 0 sin(0) f (4) (x) 7 e x cos(x) 4 e x sin(x) f (4) (0) 7 e 0 cos(0) 4 e 0 sin(0) 7 f(x) f(0) + f (0)x + f (0) x + f (3) (0) x + 3 x + x3 3 7 x4 4 + O(x)5 Aufgabe H3 (3P) Berechnen Sie die Taylorreihe des Tangens um die Stelle x 0 0 bis zur zweiten Ordnung. Lösung: f(x) tan(x) tan(0) 0 x 3 + f (4) (0) x 4 + O(x) 5 4 tan(x) ( ) sin(x) (sin(x) cos 1 (x)) cos(x) cos 1 (x) + sin(x)( 1) cos (x)( sin(x)) cos(x) 1 + sin (x) cos (x) 1 cos (x) tan(0) 1 ( ) 1 1 cos (x) cos 3 (x) (cos(x) ) sin(x) cos 3 (x) tan(0) 0 f(x) f(0) + f (0)x + 1 f (0)x + O(x 3 ) x + O(x 3 ). 6

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