Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen

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1 Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto, Logarthmus, Sus ud Cosus cht zu erhalte. Potezrehe erlaube ee relatv efache Zugag zu dese für de Aweduge wchtge Fuktoe. Wr gehe aus vo Polyome us sbesodere für de Rge,, M ( ), M ( ) dee wr e Polyom zu eer uedlche Rehe a mt Koeffzete eem Rg R. Wr teressere kk kk, wel des Baachräume sd, a erweter köe. Ee solche Rehe heßt Potezrehe ud kovergete Potezrehe defere offebar eue Abblduge der Form a. Epoetalrehe Das wchtgste Bespel für ee Potezrehe st de sogeate Epoetalrehe.! Dese Rehe köe wr für jede der obe aufgeführte Rge R hschrebe, ud se st für jedes R absolut koverget. Mt Hlfe des Quotetkrterum seht ma ämlch sofort, daß de Majorate für alle R kovergert:! + ( + )! lm lm <. +! ep Wr setze ep( ) : ud ee de Abbldug R R Epoetalabbldug,! m Falle R bzw. auch reelle bzw. komplee Epoetalabbldug. De Epoetalabbldug st eer der wchtgste mathematsche Gegestäde, sowohl theoretsch we sehr vele Awedugsgebete der Mathematk. Geometrsche Rehe Dese Rehe st us berets bekat (Sehe Kaptel Rehe). Se st absolut koverget für <, ud für dese glt ( ). Dabe st m Falle R M kk ( ), M kk ( ) de kk-ehetsmatr, ud de Iverterug gescheht m Matrzerg.

2 Kovergezkres, Kovergeztervall, Kovergezradus Be de folgede Überleguge beschräke wr us der Efachhet halber auf relle ud komplee Potezrehe. Ma stellt mt Hlfe des Quotetekrterums fest, daß es zu eer Potezrehe chtegatve Zahl R gbt, so daß für a ee < R de Rehe absolut kovergert ud für > R de Rehe dvergert. Dabe lasse wr de Soderfälle R ud R zu: Im erste Fall kovergert de Rehe e, m zwete für alle. Geometrsch bedeutet des, daß de Rehe erhalb ees Kreses um mt Radus R absolut kovergert ud außerhalb dvergert. Dese Kres et ma de Kovergezkres der Potezrehe. Auf dem Rad des Kovergezkreses trfft ma kee Aussage; ma ka ledglch sage, daß dort mdestes eem Pukt de Rehe dvergert. Be relle Potezrehe habe wr es statt mt eem Kres mt eem Itervall der Läge R zu tu mt der Null der Mtte, dem Kovergeztervall. Verehetlched redet ma auch vom Kovergezberech der Potezrehe. Ist R, so umfaßt der Kovergezberech gaz bzw.. Mt Hlfe des Quotekrterums ka ma de Kovergezradus der Potezrehe ausreche, am efachste mt der Formel Grezwert estert. + a a R lm, de atürlch voraussetzt, daß deser a Satz: Ierhalb des Kovergezberechs st de durch de Potezrehe dargestellte Fukto stetg!! Damt sd bespelswese de relle ud de komplee Epoetalabbldug als Abblduge bzw. stetg. Sus ud Cosus Se m folgede reell oder komple. Es glt ep( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + +!! ( )! ( )! + ( )! ( + )! + + Z.B. für!

3 Setzt ma ( ) ( ) cos( ) :, s( ) :!! +, ( ) ( + ) so ergbt sch de Glechug ep( ) cos( ) + s( ) ud damt auch ep( ) ep( ) ep( ) ep( ) cos( ), s( ) + De Potezrehe für Sus ud Cosus erwese sch mttels Quotetkrterum als absolut koverget für alle. Setzt ma reelle Argumete dese Rehe e, erhält ma auch reelle Werte. Offebar glt: cos(), cos( ) cos( ), s(), s( ) s( ). Der Cosus st damt ee sogeate gerade Fukto, der Sus ee ugerade. De Fuktoalglechug ep(+y)ep()ep(y) ud Folgeruge See, y. Es glt ep( + y) j! j j j ( + y) y y y y!!!! j!! j!!! + j + j + j j ep ( ) ep( y) Hter de Umformuge stecke ur bekate Formel für Bomalkoeffzete ud der aus dem Kaptel Rehe bekate Satz über Multplkato absolut kovergeter Rehe. Offebar st da ep() ep( ) ep( )ep( ), also ep( ) ep( ) Offebar st für : ep( ), > ep( ) >. Aus obger Glechug folgt umttelbar, daß für < ep( ) <. Außerdem st de reelle Epoetalfukto streg moto steged ud damt auch jektv: ep( y) < y > ep( y ) ep( y)ep( ) ep( ) < ep( y) ep( ) Setze wr : { > + }. + st ee Gruppe bezüglch der Multplkato mt als eutralem Elemet. De reelle Epoetalfukto st bjektv als Abbldug +. De Fuktoalglechug ud de Glechug ep() zusamme bedeute gerade, daß de Epoetalabbldug e Gruppehomomorphsmus der addtve Gruppe (,+) de multplkatve Gruppe (, + ) st.

4 Setze wr e : ep(), so erreche wr e,788 Iduktv ergbt sch für : ( ) ep( ) ep + + ep() ep() e mal mal e ep() ep + + ep ep ep, also ep e e. Ählch erhalte wr für ratoale m m ep m e. Daher st es cht abwegg, auch für belebge komplee de Notato ud e ep( ) ezuführe. Damt habe wr auch e e e, e cos + s + y y Se m folgedede weder. Wege ep( ) ( ) ( ) ( ) ep( )!!! ud für reelle erreche wr, also mt Rechug we ebe ep( )ep( ) ep( ) ep( ) ep( + ) ep(). Damt st aber ep( ) Da aber ep( ) cos( ) + s( ), habe wr glechzetg: + : cos ( ) s ( ) : cos( ),s( ) Se S : { z z } der Ehetskres. S st ee Utergruppe der multplkatve Gruppe der komplee Zahle. Durch ep( ) st ee surjektve Abbldug S. Wederum folgt aus ep() ud der Fuktoalglechug, daß es sch um ee Gruppehomomorphsmus der addtve Gruppe der relle Zahle auf de Kresgruppe hadelt. Sd, y, so reche wr: cos( + y) + s( + y) ( )( ) ( ) ep( ( + y)) ep( + y) ep( )ep( y) cos + s cos y + s y cos cos y s s y + cos s y + s cos y

5 Durch Verglech vo Realtel ud Imagärtel obger Glechug ergebe sch de Fuktoalglechuge bzw. Addtosgesetze für Sus ud Cosus : cos( + y) cos cos y s s y s( + y) cos s y + s cos y Schleßlch stelle wr och, zuächst ohe Bewes fest, daß de reelle Cosusfukto ee kleste postve Nullstelle bestzt, de zwsche ud legt. Wr defere π als das π Doppelte deser Nullstelle, also cos. π π π Wege cos + s muß da s ± se. Jedefalls st π π π π cosπ cos + cos s π π π π sπ s + cos s ( ) ( ) cos π cos π + π cos π s π s π s π + π cosπ sπ ( + π ) π π ( + π ) π + π ( π ) π ( π π ) cos cos cos s s cos s s cos cos s s ep + ep( ) ep( ) ep( ) cos + s ep( ) Des st de π - Perodztät deser Fuktoe! π π Es muß och etschede werde, ob u s oder s. Ist < <, so st ( ) + ( ) s( ) + ( )! ( )! Durch Beutzug der Formel ep( ) ep( ) ep( ) ep( ) cos( ), s( ) +, de ja auch für komplee gelte, wäre wr mt etwas umstädlchere Rechuge auch für komplee zu deselbe Addtosformel für Sus ud Cosus gelagt.

6 π π Daraus folgt, daß de Susfukto zuächst postve Werte bestzt. Wel st, 8 π π π π π π also ach obger Rechug s >. Da st aber s s + s cos > π π π π π ud mt demselbe Argumet s s + s cos > π π π Schleßlch habe wr och de Formel s + s cos + cos s cos. Graphsche Darstelluge Zusammefassed habe wr also folgedes Bld für de relle Epoetalfukto: für Cosus

7 ud Sus De Logarthmus Fukto Wel ep : + bjektv st, muß ee bjektve Umkehrfukto + estere. Wr ee se Logarthmusfukto. Für > st also log dejege edeutg bestmmte reelle Zahl y, für de glt: ep( y). Wr ee log auch de atürlche Logarthmus vo. De Fuktoalglechug der Epoetalfukto kehrt sch um zur Fuktoalglechug des Logarthmus:, y > log( y) log( )log( y), log log log y y Damt ergbt sch duktv log( ) log für > ud. Wr werde später mt Hlfsmttel der Dfferetalrechug zege, daß für < glt: log( ). Damt köte wr da Logarthme kokret bereche.