Exponentialfunktion (1)
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- Jasmin Bärbel Bader
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1 Exponentialfunktion (1) Satz 3.37 Die Potenzreihe n=0 z n n! konvergiert für alle z C absolut (R = ). Beweis. Mit dem Quotienkriterium ergibt sich für alle z C z n+1 (n + 1)! n! z n = z 0. n + 1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
2 Exponentialfunktion (2) Definition 3.38 Die durch exp : K K z exp(z) := definierte Funktion heißt (komplexe oder reelle) Exponentialfunktion. n=0 z n n! Bei Funktionen oder Potenzreihen im Reellen schreiben wir meist x statt z (und x 0 statt z 0 ). Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
3 Exponentialfunktion (3) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
4 Funktionalgleichung der Exponentialfunktion Satz 3.39 Für alle x, y K gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y). Beweis. Wir nutzen das Cauchy-Produkt: x n exp(x) exp(y) = n! y m m! = k n=0 m=0 k=0 j=0 = 1 k ( ) k x j y k j = k! j k=0 j=0 = exp(x + y). x j j! k=0 y k j (k j)! 1 (x + y)k k! Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
5 Eulersche Zahl Definition 3.40 Die Zahl heißt Eulersche Zahl. e := exp(1) = n=0 1 n! Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
6 Eigenschaften der Exponentialfunktion Satz 3.41 Es gilt: (i) exp(0) = 1, (ii) exp(z) 0 für alle z C, (iii) exp( z) = 1 exp(z) für alle z C, (iv) exp(z) = exp(z) für alle z C, (v) exp(x) > 0 für alle x R, (vi) exp(r) = e r für alle r Q. Beweis. (i) Einsetzen: 0 0 = 1, 0! = 1 und 0 n = 0 für n 1. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
7 Fortsetzung Beweis. (ii) Ann.: Es existiert z C mit exp(z) = 0. Dann gilt 1 = exp(0) = exp(z z) = exp(z) exp( z) = 0 exp( z) = 0. Widerspruch! (iii) Folgt aus 1 = exp(0) = exp(z z) = exp(z) exp( z). (iv) Betrachte zunächst die Partialsummen: n k=0 z k n k! = k=0 z k n k! = Weiterhin folgt mit Lemma 2.40: Wenn eine komplexe Folge (z n ) gegen z konvergiert, dann konvergiert die Folge (z n ) gegen z. Damit folgt die Aussage. k=0 z k k! Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
8 Fortsetzung Beweis. (v) Für x 0 gilt exp(x) = 1 + x + n=2 xn n! 1 > 0. Wegen (iii) gilt die Aussage auch für x < 0. (vi) r = 0: (i) r > 0: Dann gilt r = p q mit p, q N und (exp(r)) q = exp(r q) = exp(p) = (exp(1)) p = e p. Also: exp(r) = q e p. r < 0: Mit (iii) und Potenzregeln folgt exp(r) = 1 exp( r) = 1 e r = er. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
9 Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion Satz 3.42 Es sei n N 0. Dann gilt für alle x R mit x 1 + n 2 n exp(x) x k k! 2 x n+1 (n + 1)!. k=0 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
10 Die Eulersche Zahl ist irrational Folgerung 3.43 Die Eulersche Zahl e ist irrational. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
11 Sinus und Kosinus (1) Satz 3.44 Für x R gilt exp(ix) = 1. Beweis. exp(ix) 2 = exp(ix)exp(ix) = exp(ix) exp(ix) = exp(ix) exp( ix) = exp(ix ix) = exp(0) = 1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
12 Sinus und Kosinus (2) Definition 3.45 Für x R definieren wir die Funktionen sin, cos : R R durch sin(x) = Im(exp(ix)) cos(x) = Re(exp(ix)). Für x R gilt also die Eulersche Formel exp(ix) = cos(x) + i sin(x). Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
13 Sinus und Cosinus für x R (1) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
14 Sinus und Cosinus für x R (2) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
15 Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus (1) Lemma 3.46 Die beiden Potenzreihen n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 und konvergieren absolut für alle z C. n=0 ( 1) n (2n)! z2n Beweis. Quotienkriterium für die erste Reihe: Sie z C beliebig, dann gilt ( 1) n+1 z 2(n+1)+1 (2n + 1)! (2(n + 1) + 1)! ( 1) n z 2n+1. = z 2 (2n + 2)(2n + 3) 0 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
16 Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus (2) Lemma 3.47 Für alle x R gilt sin(x) = cos(x) = n=0 n=0 ( 1) n (2n + 1)! x 2n+1 ( 1) n (2n)! x 2n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
17 Beweis. Für gerade n N können wir n = 2m schreiben, für ungerade n = 2m + 1. Wegen der Konvergenz der betreffenden Reihen gilt exp(ix) = = = (ix) n n=0 n! i 2m x 2m (2m)! + m=0 m=0 i 2m x 2m (2m)! + i m=0 m=0 i 2m+1 x 2m+1 (2m + 1)! 2m x 2m+1 i (2m + 1)!. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
18 Fortsetzung Beweis. Wegen i 2m = (i 2 ) m = ( 1) m ergibt sich exp(ix) = ( 1) m x 2m (2m)! + i ( 1) m x 2m+1 (2m + 1)!. m=0 m=0 Also Re(exp(ix)) = Im(exp(ix)) = ( 1) m x 2m (2m)! ( 1) m x 2m+1 (2m + 1)!. m=0 m=0 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
19 Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus (3) Da die Potenzreihen im vorangegangenen Lemma für alle komplexen Zahlen konvergieren, können wir dies nutzen, um die Definitionen von Sinus und Cosinus auf die komplexe Ebene fortzusetzen. Definition 3.48 Für alle z C seien die Funktionen sin, cos : C C definiert durch sin(z) = cos(z) = n=0 n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 ( 1) n (2n)! z2n. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
20 Eulersche Formel Folgerung 3.49 Für alle z C gilt die Eulersche Formel: exp(iz) = cos(z) + i sin(z). Beweis. Analog zum Beweis von Lemma Es ergibt sich dann die Potenzreihendarstellung exp(iz) = ( 1) m z2m (2m)! + i z 2m+1 (2m + 1)!. m=0 m=0 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
21 Eigenschaften von Sinus und Cosinus (1) Satz 3.50 Für alle z, w C gilt (i) cos(0) = 1, sin(0) = 0 (ii) cos(z) = cos( z) sin(z) = sin( z) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
22 Eigenschaften von Sinus und Cosinus (2) Satz 3.51 Für alle z C gilt sin(z) = 1 (exp(iz) exp( iz)) 2i cos(z) = 1 (exp(iz) + exp( iz)) 2 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
23 Additionstheoreme für Sinus und Cosinus Satz 3.52 Für alle z, w C gilt (i) sin 2 (z) + cos 2 (z) = 1 (ii) cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
24 Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus Definition 3.53 Für alle z C seien die Funktionen sinh, cosh : C C definiert durch sinh(z) = 1 (exp(z) exp( z)), 2 cosh(z) = 1 (exp(z) + exp( z)) 2 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
25 Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus in R Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
26 Potenzreihendarstellung des Sinus/Cosinus Hyperbolicus Satz 3.54 Für alle z C gilt sinh(z) = cosh(z) = n=0 n=0 z 2n+1 (2n + 1)! z 2n (2n)!. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
27 Eigenschaften des Sinus/Cosinus Hyperbolicus Satz 3.55 Für alle z, w C und x, y R gilt (i) sinh(z) + cosh(z) = exp(z), (ii) cosh 2 (z) sinh 2 (z) = 1, (iii) cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w), (iv) sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w), (v) cos(x + iy) = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y), (vi) sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y). Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 545
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