Algorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 15. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik

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Catharina Bayer
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1 Foliensatz 15 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009 TU Ilmenau Seite 1 / 16 Untere Schranken für das Vergleichsbasierte Sortieren TU Ilmenau Seite 2 / 16

2 Vergleichsbasierte Sortierverfahren Definition (Vergleichsbasierte Sortieralgorithmen) Ein Sortieralgorithmus S für die total geordnete Menge (D, <) heißt vergleichsbasiert, wenn in A auf Schlüsseln x, y D nur die Operationen x < y x y und x = y sowie Verschieben und Kopieren angewandt werden. In vergleichsbasierten Sortierverfahren sind Schlüssel atomar, d.h. werden als unzerlegbare Einheiten betrachtet. Beispiele Mergesort, Quicksort, Heapsort, Straight Insertion-Sort, Bubblesort sind vergleichsbasierte Sortieralgorithmen. TU Ilmenau Seite 3 / 16 Vergleichsbasierte Sortierverfahren Sei im Folgenden A ein beliebiges vergleichsbasiertes Sortierverfahren. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit, können wir Annehmen, dass A Eingaben der Form (a 1, 1), (a 2, 2),...,(a n, n) erhält, wobei die a i die paarweise verschiedenen Schlüssel sind, nach denen sortiert wird. Beispiel Aus der Eingabe (2, 1), (4, 2), (1, 3), (3, 4) wird (1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 2). Die zweite Komponente eines Paares gibt also eine Permutation π an mittels der die Sequenz (a 1, a 2,...,a n ) sortiert werden kann, d.h. Im Beispiel ist π = (3, 1, 4, 2). a π(1) < a π(2) < < a π(n). TU Ilmenau Seite 4 / 16

3 Vergleichsbasierte Sortierverfahren Damit können wir wie bereits früher gezeigt die sortierende Permutation als Ausgabe von A auffassen. Ein (vergleichsbasiertes) Sortierverfahren hat auf n Schlüsseln viele verschiedene Ausgaben. Jeder Vergleich schränkt die Menge der noch möglichen Permutationen ein. Es sei S die Menge der noch möglichen Permutationen (zu Beginn alle). Gilt a i < a j, so muss in der Ergebnispermutation π 1 (i) < π 1 (j) gelten. Damit ergibt sich für den nächsten Vergleich S = {π S π 1 (i) < π 1 (j)} Gilt a i > a j, so muss in der Ergebnispermutation π 1 (i) > π 1 (j) gelten. Damit ergibt sich für den nächsten Vergleich S = {π S π 1 (i) > π 1 (j)} TU Ilmenau Seite 5 / 16 Entscheidungsbäume Damit können wir jedes vergleichsbasierte Sortierverfahren als Entscheidungsbaum beschreiben. Sind noch die Permutationen S möglich und wird der Vergleich a i < a j gemacht, notieren wir das in folgender Form: S a i < a j Ja S i<j a k < a l Nein S j<i a g < a h Wobei S i<j = { π S π 1 (i) < π 1 (j) } und S j<i = { π S π 1 (i) > π 1 (j) }. TU Ilmenau Seite 6 / 16

4 Heapsort mit drei Elementen {(123), (132), (213), (231), (312), (321)} a 2 > a 3 Ja Nein {(132), (312), (321)} a 2 > a 1 a 3 > a 1 {(123), (213), (231)} Ja Ja {(132), (312)} a 1 > a 3 (321) {(123), (213)} a 2 > a 1 (231) (312) (132) (123) (213) TU Ilmenau Seite 7 / 16 Entscheidungsbäume Beobachtung Jeder vergleichsbasierte Sortieralgorithmus A induziert für jede Schlüsselzahl n einen Entscheidungsbaum T A,n. Die Wege in T A,n entsprechen den Berechnungen von A. Da A korrekt ist, muss jeder Weg in einem Blatt enden und jedes Blatt kann nur noch eine Permutation enthalten. Außerdem kann jede Permutation nur in einem Blatt vorkommen. Damit hat T A,n mindestens Blätter. TU Ilmenau Seite 8 / 16

5 Eine Untere Schranke Satz Ist A ein vergleichsbasierter Sortieralgorithmus, dann gibt es für jedes n N eine Eingabe (a 1,..., a n ) auf der A mindestens log() Vergleiche ausführt. Beweis. T A,n hat mindestens externe Knoten. Damit hat er Tiefe log(). Da die Zahl der Vergleiche eine natürliche Zahl ist, erhält man im schlechtewsten Fall mindestens log() Vergleiche. TU Ilmenau Seite 9 / 16 Die Untere Schranke Wir untersuchen log() genauer. und damit e n = i=0 n i i! > nn > nn e n. Weiter gilt ln() = n ln(i) lnn + i=1 n 1 ln xdx = ln n + n ln n n + 1. TU Ilmenau Seite 10 / 16

6 Die Untere Schranke Damit gilt n log n n log e log() = ln() log(e) (n + 1)log n log(e)(n 1) Satz Ist A ein vergleichsbasierter Sortieralgorithmus, dann gibt es für jedes n N eine Eingabe (a 1,..., a n ) auf der A Θ(n log n) Vergleiche ausführt. TU Ilmenau Seite 11 / 16 Der mittlere Fall Satz Ist A ein vergleichsbasierter Sortieralgorithmus, dann gilt für die mittlere Anzahl Vn der benötigten Vergleiche für n Schlüssel: V n log() = Ω(n log n). Beweis. T A,n hat äußere Knoten. Die Mittlere Weglänge zu den äußeren Knoten ist 1 TEPL(T A,n) 1 ()log() = log(). TU Ilmenau Seite 12 / 16

7 Randomisierte Verfahren Satz Ist A ein randomisierter vergleichsbasierter Sortieralgorithmus d.h. er führt Zufallsexperimente aus dann gibt es für jedes n eine Eingabe (a 1,..., a n ), für die die erwartete Anzuahl von Schlüsselvergleichen log() ist. Beweis Die Ergebnisse der vom Algorithmus ausgeführten Zufallsergebnisse können vorab ausgeführt werden. Dadurch erhält man eine zufällige Sequenz α von Resultaten, die als zusätzliche Eingabe für den Algorithmus genutzt werden können. Z.B. bei Quicksort die Sequenz der Positionen für das Pivot-Element. Jede Zufallssequenz α hat eine Wahrscheinlichkeit p α und es gilt α p α = TU Ilmenau Seite 13 / 16 Randomisierte Verfahren Beweis (Fortsetzung) Sei A α der deterministische Algorithmus, der mit den Ergebnissen α der Zufallsexperimente ausgeführt wird. T α (σ) sei die Anzahl der Schlüsselvergleiche auf der Eingabe-Permutation σ. 1 Wie oben beobachtet gilt: T α (σ) log(). Summieren wir über die α s, ergibt sich log() α σ p α 1 T α (σ) 1 p α T α (σ). σ σ α Da es Permutationen gibt, muss es somit ein σ geben mit p α T α (σ) log(). α... TU Ilmenau Seite 14 / 16

8 Randomisierte Verfahren Beweis (Fortsetzung) p α T α (σ) log() ist aber die erwartete Anzahl von α Schlüsselvergleichen bei Eingabe σ, über alle möglichen Zufallssequenzen α. TU Ilmenau Seite 15 / 16

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