Grundbegriffe der Informatik
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- Hans Wilfried Buchholz
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1 Grundbegriffe der Informatik Kapitel 16: Erste Algorithmen in Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 58
2 Überblick Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen 2-Erreichbarkeit an einem Beispiel Matrizenmultiplikation und Matrizenaddition Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen arithmetischer Operationen Schnellere Berechnungen der Wegematrix Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 58
3 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 58
4 Objekte im Rechner Knoten, Kanten und Graphen class Vertex { String name; } «Knoteninhalte» für uns irrelevant class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } mehr als eine Menge mehr als eine Menge GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 58
5 Objekte im Rechner Knoten, Kanten und Graphen class Vertex { String name; } «Knoteninhalte» für uns irrelevant class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } mehr als eine Menge mehr als eine Menge GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 58
6 Objekte im Rechner Knoten, Kanten und Graphen class Vertex { String name; } «Knoteninhalte» für uns irrelevant class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } mehr als eine Menge mehr als eine Menge GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 58
7 Objekte im Rechner Knoten, Kanten und Graphen class Vertex { int id; } Annahme: Wertebereich Z V class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } mehr als eine Menge mehr als eine Menge GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 58
8 Adjazenzlisten eine andere Repräsentation für Graphen class Vertex { int id; Vertex[] neighbors; } Feldlänge = Knotengrad class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 58
9 Inzidenzlisten class Vertex { int id; Edge[] incoming; Edge[] outgoing; } Feldlänge = Eingangsknotengrad Feldlänge = Ausgangsknotengrad class Edge { Vertex start; Vertex end; } class Graph { Vertex[] vertices; Edge[] edges; } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 58
10 Variante von Adjazenzlisten (auf dem Weg zu Matrizen) class Vertex { int id; boolean[] is_connected_to; } Feldlänge = V u.is_connected_to[v.id] = true falls (u,v) E false falls (u,v) E class Graph { Vertex[] vertices; } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 58
11 Variante von Adjazenzlisten für einen Beispielgraph Objekt u für Knoten 0 u.id u.is_connected_to false true false true GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 58
12 Variante von Adjazenzlisten für einen Beispielgraph u.id u.is_connected_to false true false true 1 false false false false 2 false true true true 3 false false true false GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 58
13 Variante von Adjazenzlisten für einen Beispielgraph u.id u.is_connected_to false true false true 1 false false false false 2 false true true true 3 false false true false GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 58
14 Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen G = (V, E) gerichtet mit n Knoten n n-matrix A mit A ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E ungerichtetes U = (V, E) G = (V, E д ) Beispiel GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 58
15 Repräsentation von Relationen durch Matrizen endliche Menge M mit n Elementen binäre Relation R M M repräsentiert durch n n-matrix A(R): (A(R)) ij = 1 falls (i, j) R d. h. also irj 0 falls (i, j) R d. h. also (irj) verschiedene Relationen verschiedene Matrizen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 58
16 Wegematrix eines Graphen Erreichbarkeitsrelation E als Matrix W W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E = 1 falls es in G einen Pfad von i nach j gibt 0 falls es in G keinen Pfad von i nach j gibt algorithmisches Problem: gegebene Probleminstanz: Adjazenzmatrix eines Graphen gesucht: zugehörige Wegematrix des Graphen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 58
17 Wegematrix ein Beispiel W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E A = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 58
18 Wegematrix ein Beispiel W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E A = W = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 58
19 Wegematrix ein Beispiel W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E A = W = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 58
20 Wegematrix ein Beispiel W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E A = W = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 58
21 Wegematrix ein Beispiel W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E A = W = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 58
22 Wegematrix ein Beispiel W ij = 1 falls (i, j) E 0 falls (i, j) E A = W = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 58
23 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Repräsentation von Relationen als Matrizen z. B. Kantenrelation eines Graphen: Adjazenzmatrix Das sollten Sie üben: zu gegebenem Graphen die Adjazenzmatrix hinschreiben zu gegebener Adjazenzmatrix den Graphen hinmalen z. B. für irgendwelche speziellen Graphen und Matrizen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 58
24 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen 2-Erreichbarkeit an einem Beispiel Matrizenmultiplikation und Matrizenaddition Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 58
25 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen 2-Erreichbarkeit an einem Beispiel Matrizenmultiplikation und Matrizenaddition Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 58
26 2-Erreichbarkeit an einem Beispiel gesucht: Pfade der Länge 2 von Knoten 2 zu Knoten 4 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 58
27 2-Erreichbarkeit an einem Beispiel gesucht: Pfade der Länge 2 von Knoten 2 zu Knoten 4 hinsehen: (2, 1, 4) und (2, 6, 4) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 58
28 Systematische Suche nach Pfaden im Beispiel alle Pfade? prüfe für alle Knoten k V : Ist (2, k, 4) ein Pfad? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 58
29 Systematische Suche nach Pfaden im Beispiel alle Pfade? prüfe für alle Knoten k V : Ist (2, k, 4) ein Pfad? Ist (2, k) E und (k, 4) E? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 58
30 Systematische Suche nach Pfaden im Beispiel alle Pfade? prüfe für alle Knoten k V : Ist (2, k, 4) ein Pfad? Ist (2, k) E und (k, 4) E? Ist A 2k = 1 und A k4 = 1? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 58
31 Systematische Suche nach Pfaden im Beispiel alle Pfade? prüfe für alle Knoten k V : Ist (2, k, 4) ein Pfad? Ist (2, k) E und (k, 4) E? Ist A 2k = 1 und A k4 = 1? Ist A 2k A k4 = 1? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 58
32 Systematische Suche nach Pfaden im Beispiel alle Pfade? prüfe für alle Knoten k V : Ist (2, k, 4) ein Pfad? Ist (2, k) E und (k, 4) E? Ist A 2k = 1 und A k4 = 1? Ist A 2k A k4 = 1? durchlaufe sequenziell für alle k gleichzeitig alle A 2k und alle A k4, d. h. Zeile für Knoten 2 und Spalte für Knoten 4 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 58
33 Systematische Suche nach Pfaden A: A: GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 58
34 Zählen der Pfade im Beispiel GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 21 / 58
35 Zählen der Pfade im Beispiel (2) P 24 = 6 k=0 A 2k A k GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 22 / 58
36 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen 2-Erreichbarkeit an einem Beispiel Matrizenmultiplikation und Matrizenaddition Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 58
37 Matrizenmultiplikation es sei A eine l n-matrix B eine n m-matrix Prukt C = A B die l m-matrix mit n 1 C ij = A ik B k j k=0 im Allgemeinen A B B A falls überhaupt beides definiert, also l = m GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 58
38 Algorithmus für Matrizenmultiplikation zunächst die naheliegende Möglichkeit demnächst: es geht auch anders! l Zeilen m Spalten n 1 C ij = A ik B k j k=0 for i 0 to l 1 do for j 0 to m 1 do C ij 0 for k 0 to n 1 do C ij C ij + A ik B k j GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 58
39 Einheitsmatrizen Einheitsmatrix I quadratische Matrix mit I ij = 1 falls i = j 0 falls i j für jede m n-matrix A gilt I A = A = A I linke Einheitsmatrix m m rechte Einheitsmatrix n n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 26 / 58
40 Potenzen quadratischer Matrizen A 0 = I n N 0 : A n+1 = A n A GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 58
41 Quadrierte Adjazenzmatrix A 2 einer Adjazenzmatrix A n 1 (A 2 ) ij = A ik A k j k=0 A ik A k j = 1 A ik = A k j = 1 Kanten von i nach k und von k nach j existieren (i, k, j) ein Pfad der Länge 2 von i nach j ist. und 0 sonst. für k 1 k 2 sind (i, k 1, j) und (i, k 2, j) verschieden (A 2 ) ij ist Anzahl der Pfade der Länge 2 von i nach j GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 58
42 Matrizenaddition ( ) ( ) ( ) = A und B zwei m n-matrizen Summe C = A + B ist m n-matrix mit stets A + B = B + A C ij = A ij + B ij neutrales Element: Nullmatrix 0, überall Nullen algorithmisch: for i 0 to m 1 do for j 0 to n 1 do C ij A ij + B ij GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 58
43 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen arithmetischer Operationen Schnellere Berechnungen der Wegematrix Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 58
44 Berechnung von E die naheliegende Idee Benutze E = i N 0 E i um die Wegematrix zu berechnen. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 58
45 Berechnung von E die naheliegende Idee Benutze E = i N 0 E i um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Was kann man gegen das unendlich tun? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 58
46 Berechnung von E die naheliegende Idee Benutze E = i N 0 E i um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Was kann man gegen das unendlich tun? Woher kommen die Matrizen für die Relationen E i? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 58
47 Berechnung von E die naheliegende Idee Benutze E = i N 0 E i um die Wegematrix zu berechnen. Probleme: Was kann man gegen das unendlich tun? Woher kommen die Matrizen für die Relationen E i? Welcher Matrizen-Operation entspricht die Vereinigung? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 58
48 Beseitigung der unendlichen Vereinigung Existiert Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n nur endlich viele Knoten p = (i 0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 58
49 Beseitigung der unendlichen Vereinigung Existiert Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n nur endlich viele Knoten p = (i 0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. wenn k n, dann enthält p Zyklus von x nach x Weglassen ergibt kürzeren Pfad von i nach j GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 58
50 Beseitigung der unendlichen Vereinigung Existiert Pfad in G von Knoten i nach Knoten j? Sei G = (V, E) mit V = n nur endlich viele Knoten p = (i 0, i 1,..., i k ) ein Pfad mit i 0 = i und i k = j. wenn k n, dann enthält p Zyklus von x nach x Weglassen ergibt kürzeren Pfad von i nach j wiederhole, solange Pfadlänge n Ergebnis: Pfad mit Länge n 1 von i nach j GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 58
51 Beseitigung der unendlichen Vereinigung (2) eben begründet Lemma Für jeden gerichteten Graphen G = (V, E) mit n Knoten gilt: E = i Z n E i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 58
52 Beseitigung der unendlichen Vereinigung (2) eben begründet Lemma Für jeden gerichteten Graphen G = (V, E) mit n Knoten gilt: E = i Z n E i längere Pfade schaden nicht Lemma Für jeden gerichteten Graphen G = (V, E) mit n Knoten gilt: k n 1 : E = i Z k E i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 58
53 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen arithmetischer Operationen Schnellere Berechnungen der Wegematrix Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 58
54 Potenzen der Adjazenzmatrix haben eine Bedeutung Lemma Es sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Für alle k N 0 gilt: (A k ) ij ist die Anzahl der Pfade der Länge k in G von i nach j. Beweis durch vollständige Induktion. Induktionsschritt fast wie im Fall k = 2. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 58
55 Signum-Funktion 1 falls x > 0 sgn : R R : sgn(x) = 0 falls x = 0 1 falls x < 0 bei Matrizen komponentenweise sgn : R m n R m n mit (sgn(m)) ij = sgn(m ij ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 58
56 Matrizendarstellung für E k sgn(a k ) tut es Korollar Es sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Für alle k N 0 gilt: 1. 1 falls in G ein Pfad der Länge k sgn((a k ) ij ) = von i nach j existiert 0 falls in G kein Pfad der Länge k von i nach j existiert 2. Matrix sgn(a k ) repräsentiert die Relation E k. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 58
57 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen arithmetischer Operationen Schnellere Berechnungen der Wegematrix Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 58
58 Vereinigung von Relationen Relationen R M M und R M M repräsentiert durch Matrizen A und A. dann: (i, j) R R (i, j) R (i, j) R A ij = 1 A ij = 1 A ij + A ij 1 (A + A ) ij 1 sgn(a + A ) ij = 1 R R wird durch sgn(a + A ) repräsentiert GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 39 / 58
59 Eine erste Formel für die Wegematrix es gibt auch noch andere... Lemma Es sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Dann gilt für alle k n 1: Die Matrix sgn( k i=0 A i ) repräsentiert die Relation E. Mit anderen Worten: W = sgn ist die Wegematrix des Graphen G. k i=0 A i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 58
60 Beweis noch zu überlegen n 1 i=0 Ei durch sgn( k i=0 sgn(a i )) repräsentiert leichte Verallgemeinerung des Falles R R innere Anwendungen von sgn dürfen fehlen Wenn alle Matrixeinträge 0 sind, gilt: sgn(sgn(m) + sgn(m )) ij = sgn(m + M ) ij GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 41 / 58
61 Einfachster Algorithmus für die Wegematrix Matrix A sei die Adjazenzmatrix W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 58
62 Einfachster Algorithmus für die Wegematrix Matrix A sei die Adjazenzmatrix W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A { M = A i } W W + M { W = i k=0 Ak } W sgn(w ) { W ist die Wegematrix } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 58
63 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen arithmetischer Operationen Schnellere Berechnungen der Wegematrix Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 43 / 58
64 Was ist der «Aufwand» eines Algorithmus? Anzahl Cezeilen? Entwicklungszeit? Anzahl Schritte? nicht immer gleich benötigter Speicherplatz? nicht immer gleich vorläufig: Anzahl arithmetischer Operationen später anders GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 44 / 58
65 Wieviele elementare Operationen für Matrizenaddition? for i 0 to m 1 do for j 0 to n 1 do C ij A ij + B ij m n Additionen für n n-matrizen: n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 45 / 58
66 Wieviele elementare Operationen für Multiplikation? for i 0 to l 1 do for j 0 to m 1 do C ij 0 for k 0 to n 1 do C ij C ij + A ik B k j l m n Additionen und l m n Multiplikationen für n n-matrizen: 2n 3 kleine Variante: 2n 3 n 2 Achtung: es geht auch mit weniger Operationen! GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 46 / 58
67 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) Aufwand: n 1 i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 i=0 = n n n3 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 58
68 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) Aufwand: n 1 i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 i=0 = n n n3 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 58
69 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) Aufwand: n 1 i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 i=0 = n n n3 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 58
70 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) Aufwand: n 1 i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 i=0 = n n n3 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 58
71 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) Aufwand: n 1 i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 i=0 = n n n3 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 58
72 Wieviele elementare Operationen für Wegematrix? W 0 for i 0 to n 1 do M I for j 1 to i do M M A W W + M W sgn(w ) Aufwand: n 1 i (2n 3 n 2 ) + n n 2 + n 2 i=0 = n n n3 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 58
73 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Potenzen der Adjazenzmatrix Erste Möglichkeit für die Berechnung der Wegematrix Zählen arithmetischer Operationen Schnellere Berechnungen der Wegematrix Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 48 / 58
74 Wiederverwendung auch bei Zwischenergebnissen eine gute Sache W 0 M I for i 0 to n 1 do W W + M M M A W sgn(w ) für A i kann man A i 1 wiederverwenden Aufwand: n (n 2 + (2n 3 n 2 )) + n 2 = 2n 4 + n 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 49 / 58
75 Es geht noch besser erst mehr denken und dann weniger rechnen Schon vergessen? k n 1 : E = Wie kann ein k > n 1 helfen? k i=0 E i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 58
76 Es geht noch besser erst mehr denken und dann weniger rechnen Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Wie kann ein k > n 1 helfen? statt n 1 wähle kleinste Zweierpotenz k = 2 m n also m = log 2 n finde Matrix F mit W = F 2m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 nur noch m = log 2 n Matrizenmultiplikationen E i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 58
77 Es geht noch besser erst mehr denken und dann weniger rechnen Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Wie kann ein k > n 1 helfen? statt n 1 wähle kleinste Zweierpotenz k = 2 m n also m = log 2 n finde Matrix F mit W = F 2m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 nur noch m = log 2 n Matrizenmultiplikationen Preisfrage: Wie sieht F aus? E i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 58
78 Es geht noch besser erst mehr denken und dann weniger rechnen Schon vergessen? k n 1 : E = k i=0 Wie kann ein k > n 1 helfen? statt n 1 wähle kleinste Zweierpotenz k = 2 m n also m = log 2 n finde Matrix F mit W = F 2m = ( ((F 2 ) 2 ) ) 2 nur noch m = log 2 n Matrizenmultiplikationen Preisfrage: Wie sieht F aus? Wähle Matrix F für Relation E 0 E 1 = I V E. E i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 58
79 Es geht noch besser (2) F = E 0 E 1 F 2 = (E 0 E 1 ) (E 0 E 1 ) = E 0 E 1 E 1 E 2 = E 0 E 1 E 2 F 4 = (F 2 ) 2 = (E 0 E 1 E 2 ) (E 0 E 1 E 2 ) =... = E 0 E 1 E 2 E 3 E 4 Induktion: Für alle m N 0 gilt: F 2m = 2 m E i i=0 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 58
80 Es geht noch besser (3) Berechnung von log 2 n aus n benötigt höchstens log 2 n Operationen F I + A m log 2 n for i 1 to m do F F F W sgn(f ) Aufwand: n 2 + log 2 n + log 2 n (2n 3 n 2 ) + n 2 = log 2 n 2n 3 + «besser» als 2n 4 nächstes Kapitel: präzise ungenau sein GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 52 / 58
81 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: die naheliegende Idee nicht immer die beste Denken, Mathematik, Kreativität, Einfach-mal-drüber-schlafen,... Das sollten Sie üben: Aufwandsabschätzungen bei (ineinander geschachtelten) Schleifen auch mal verrückte Ideen ausprobieren GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 58
82 Wo sind wir? Repräsentation von Graphen im Rechner Berechnung der 2-Erreichbarkeitsrelation und Rechnen mit Matrizen Einfache Berechnung der Erreichbarkeitsrelation Algorithmus von Warshall GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 54 / 58
83 Algorithmus von Warshall noch ein bisschen schneller for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W ij 1 falls i = j A ij falls i j for k 0 to n 1 do for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W ij max(w ij, W ik W k j ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 55 / 58
84 Algorithmus von Warshall noch ein bisschen schneller for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [0] ij 1 falls i = j falls i j A ij for k 0 to n 1 do for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [k+1] ij max(w [k] ij, W [k] ik W [k] k j ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 58
85 Algorithmus von Warshall noch ein bisschen schneller for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [0] ij 1 falls i = j falls i j A ij Pfad p = (v 0,v 1,...,v m 1,v m ) der Länge m v 1,..., v m 1 Zwischenknoten m 1: keine Zwischenknoten for k 0 to n 1 do for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [k+1] ij max(w [k] ij, W [k] ik W [k] k j ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 58
86 Algorithmus von Warshall noch ein bisschen schneller for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [0] ij 1 falls i = j falls i j A ij for k 0 to n 1 do for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [k+1] ij max(w [k] ij, W [k] ik W [k] k j ) Pfad p = (v 0,v 1,...,v m 1,v m ) der Länge m v 1,..., v m 1 Zwischenknoten m 1: keine Zwischenknoten W [k] ij = 1 Pfad von i nach j und nur Zwischenknoten mit Nummern x < k benutzt GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 58
87 Algorithmus von Warshall noch ein bisschen schneller for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [0] ij 1 falls i = j falls i j A ij for k 0 to n 1 do for i 0 to n 1 do for j 0 to n 1 do W [k+1] ij max(w [k] ij, W [k] ik W [k] k j ) Pfad p = (v 0,v 1,...,v m 1,v m ) der Länge m v 1,..., v m 1 Zwischenknoten m 1: keine Zwischenknoten W [k] ij = 1 Pfad von i nach j und nur Zwischenknoten mit Nummern x < k benutzt GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 56 / 58
88 Zum Aufwand des Algorithmus von Warshall drei ineinander geschachtelte Schleifen deren jeweiliger Rumpf n-mal durchlaufen wird irgendwie ungefähr n 3 Operationen... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 57 / 58
89 Zusammenfassung Repräsentationen von Graphen im Rechner Berechnung der Wegematrix mit vielen er weniger Operationen Algorithmus von Warshall kommt mit weniger Operationen aus als alle unsere vorherigen Versuche GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 58 / 58
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