8 Reelle Funktionen. 16. Januar

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1 6. Januar Reelle Funktionen 8. Reelle Funktion: Eine reelle Funktion f : D f R ordnet jedem Element x D f der Menge D f R eine reelle Zahl y R zu, und man schreibt y = f(x), x D. Die Menge D f heißt Definitionsbereich von f. x heißt Urbild von y, und y heißt Bild von x. Die Bildmenge von f ist die Menge aller Bilder, 8. Eigenschaften: Die Funktion f heißt B f := {y = f(x) : x D f }. injektiv, wenn f(x ) f(x ) für alle x,x D f mit x x. monoton wachsend/fallend, wenn f(x ) f(x ) bzw. f(x ) f(x ) für alle x,x D f mit x < x. streng monoton wachsend/fallend, wenn f(x ) < f(x ) bzw. f(x ) > f(x ) für alle x,x D f mit x < x. beschränkt, wenn es eine Zahl c R gibt, sodass f(x) c für alle x D f. gerade/ungerade, wenn f(x) = f( x) bzw. f(x) = f( x) für alle x D f. 8.3 Beispiel: Sei f(x) := /( + x ), x D f. Für D f = R ist f injektiv und B f = (, ]. Für D f = [, ) ist f nicht injektiv und B f = (/5, ]. 8.4 Beispiel: Sei f(x) := x + x, x D f. Für D f = R ist f monoton wachsend und unbeschränkt. Für D f = [, 3] ist f streng monoton wachsend und beschränkt. 8.5 Beispiel: Das Monom x n ist eine gerade Funktion, wenn n gerade ist und eine ungerade Funktion, wenn n ungerade ist. Die Funktionen cosx und sind gerade. Die Funktionen sinx und sind ungerade. cosh x := ex + e x sinh x := ex e x

2 6. Januar Regeln: Aus strenger Monotonie folgt Injektivität. Summe und Produkt zweier gerader Funktionen sind gerade. Die Summe zweier ungerader Funktionen ist ungerade, aber ihr Produkt ist gerade. 8.7 Verkettung: Seien f := D f R und g : D g R zwei reelle Funktionen. Wenn B g D f, dann ist die verkettete Funktion h := f g : D g R (lies f nach g ) definiert durch h(x) := f(g(x)), x D g. 8.8 Beispiel: Sei f(x) := ln( x), D f := (, ) und g(x) := cosx. Für D g = R ist B g = [, ] D f. Die Verkettung f g ist also nicht definiert. Für D g = (, 6) ist B g = [, ) D f und damit 8.9 Regeln: h(x) = f(g(x)) = ln( cos x), x (, 6). Die Verkettung zweier monoton wachsender Funktionen ist monoton wachsend. Die Verkettung zweier monoton fallender Funktionen ist monoton wachsend. Die Verkettung zweier injektiver Funktionen ist injektiv. Die Verkettung zweier gerader Funktionen ist gerade. Die Verkettung zweier ungerader Funktionen ist ungerade. 8. Umkehrfunktion: Sei f : D f R injektiv, dann gibt es zu jedem Bild y B f ein eindeutig bestimmtes Urbild x. Die Funktion, die jedem Bild das zugehörige Urbild zuordnet, wird Umkehrfunktion genannt und mit f bezeichnet, Es gilt f : B f R, f (y) = x für dasjenige x D f mit f(x) = y. D f = B f und B f = D f. f (f(x)) = x für alle x D f. f(f (y)) = y für alle y B f. (f g) = g f. Das Schaubild von f erhält man aus dem Schaubild von f durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.

3 6. Januar Beispiel: Die Funktion f(x) = sin(x), D f = [ π/,π/] ist injektiv und es gilt B f = [, ]. Die Umkehrfunktion f hat also das Definitionsgebiet D f = B f = [, ] und die Bildmenge B f = D f = [ π/,π/]. Die so definierte Umkehrfunktion wird als Arcussinus bezeichent und man schreibt dafür arcsin : [, ] [ π/,π/]. Der Arcussinus ordnet also jeder Zahl zwischen und einen Winkel aus dem Intervall [ π/, π/] zu, dessen Sinus dem gegebenen Argument entspricht. Es gilt beispielsweise arcsin() =, arcsin(/) = π/6, arcsin() = π/, sin() =, sin(π/6) = /, sin( π/) =. Die Funktion f(x) = cos(x), D f = [,π] ist injektiv und es gilt B f = [, ]. Die Umkehrfunktion f hat also das Definitionsgebiet D f = B f = [, ] und die Bildmenge B f = D f = [,π]. Die so definierte Umkehrfunktion wird als Arcuscosinus bezeichent und man schreibt dafür Es gilt beispielsweise arccos : [, ] [,π]. arccos() =, arccos(/) = π/3, arccos() = π, cos() =, cos(π/3) = /, cos(π) =. Die Funktion f(x) = tan(x), D f = ( π/,π/) ist injektiv und es gilt B f = R. Die Umkehrfunktion f hat also das Definitionsgebiet D f = B f = R und die Bildmenge B f = D f = ( π/,π/). Die so definierte Umkehrfunktion wird als Arcustangens bezeichent und man schreibt dafür Es gilt beispielsweise arctan : R ( π/,π/). arctan() =, arctan() = π/4, arctan( 3) = π/3, tan() =, tan(π/4) =, tan( π/3) = 3.

4 6. Januar 9 57 Die Funktion f(x) = e x, D f = R ist injektiv und es gilt B f = R >. Die Umkehrfunktion f hat also das Definitionsgebiet D f = B f = R > und die Bildmenge B f = D f = R. Die so definierte Umkehrfunktion wird als natürlicher Logarithmus bezeichent und man schreibt dafür Es gilt beispielsweise ln : R > R. ln() =, ln(e) =, ln(/e ) =, e =, e = e, e = /e arcsin x sin x.5.5 arccos x cos x tan x arctan x exp x ln x

5 6. Januar Häufungspunkt: x R heißt Häufungspunkt der Menge D f R, wenn es eine Folge (x n ) n gibt mit 8.3 Beispiel: lim x n = x, x n D f, x n x, f.ü.. n x = ist ein Häufungspunkt der Menge (, ). x = ist kein Häufungspunkt der Menge N. x = π ist ein Häufungspunkt der Menge Q der rationalen Zahlen. 8.4 Grenzwert: Sei f : D f R eine reele Funktion. Man sagt, dass f an der Stelle x den Grenzwert f hat, wenn x ein Häugungspunkt von D f ist und wenn für jede gegen x konvergente Folge (x n ) n gemäß 8. gilt Man schreibt dann lim f(x n) = f. n lim f(x) = f. x x Wenn die Folge (f(x n )) n stets bestimmt divergent ist, dann schreibt man lim f(x) = bzw. lim f(x) =. x x x x Wenn lim n f(x n ) = f für jede bestimmt divergente Folge (x n ) n mit lim n x n =, dann schreibt man lim x f(x) = f. Analog sind die Ausdrücke erklärt. 8.5 Beispiel: lim f(x) = f, x lim x sin(/x) =, lim x lim f(x) = ±, x arctan(x) = π/, lim x lim f(x) = ± x ln x =. x Die Funktion f(x) = sin(/x),x R, hat an der Stelle x = keinen Grenzwert. Die Funktion f(x) = x,x N, hat an der Stelle x = keinen Grenzwert, da x = kein Häufungspunkt von N ist [ 8.3]. Die Heaviside-Funktion H : R R ist definiert durch { für x < H(x) = für x. Sie hat an der Stelle x = keinen Grenzwert. Sei f(x) := H(x) + H( x), dann gilt lim f(x) =, x aber f() =.

6 6. Januar Einseitiger Grenzwert: Man sagt, dass f an der Stelle x den rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert f hat, wenn x ein Häugungspunkt von D f ist und wenn für jede Folge (x n ) n gemäß 8. mit der zusätzlichen Eigenschaft x n > x bzw. x n < x, n N, gilt Man schreibt dann lim f(x n) = f. n lim f(x) = f bzw. lim f(x) = f. x x x x 8.7 Beispiel: Für die Heaviside-Funktion [ 8.5] gilt lim H(x) =, x lim H(x) =. x 8.8 Stetigkeit: Eine Funktion f : D f R heißt stetig an der Stelle x D f, wenn lim f(x) = f(x ). x x f heißt stetig, wenn f an allen Stellen x D f stetig ist. 8.9 Regeln: Alle elementaren Funktionen (Polynome, exp, sin, cos, tan und deren Umkehrfunktionen) sowie Betrag-, Potenz- und Wurzelfunktionen sind stetig auf ihrem gesamten Definitionsgebiet. Summe, Differenz, Produkt, Quotient und Verkettung stetiger Funktionen sind stetig auf ihrem gesamten Definitionsgebiet. Die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion ist stetig, sofern das Definitionsgebiet ein Intervall ist. Zwischenwertsatz: Sei f := [a,b] R stetig, dann ist B f ein Intervall. Das heißt insbesondere, dass die Funktion alle Werte zwischen f(a) und f(b) annimmt. Satz von Weierstraß: Sei f : [a,b] R stetig, dann gibt es Stellen x,x [a,b] mit f(x) f(x) f(x), x [a,b]. Eine derartige Aussage gilt in der Regel nicht, wenn das Definitionsgebiet kein abgeschlossenes Intervall ist. 8. Bemerkungen: f ist stetig an der Stelle x genau dann, wenn es für jedes ε > es ein δ > gibt, sodass f(x) f(x ) < ε falls x x < δ. Bei einer stetigen Funktion bewirken kleine Änderungen des Arguments kleine Änderungen des Funktionswerts. Das Schaubild einer stetigen Funktion besitzt keine Sprünge, sofern das Definitionsgebiet ein Intervall ist. Nur die erste Aussage ist streng mathematischer Natur. Die beiden anderen sind unpräzise, aber gelegentlich hilfreich.

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