Wiederholungsklausur DWT

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Wiederholungsklausur DWT"

Stefan Kerner
vor 6 Jahren
Abrufe

1 LÖSUNG Wiederholungsklausur DWT Sommersemester 2008 Hinweis: Alle Antworten sind zu begründen. Insbesondere sollte bei nicht-trivialen Umformungen kurz angegeben werden, weshalb diese Umformungen erlaubt sind (z.b.: Unabhängigkeit von ZV/Ereignissen, Disjunktheit von Ereignissen, Approximation mittels ZGWS, etc.) Aufgabe P+2P+2P7P Es soll ein Codewort X X 2... X bestehend aus fünf Zeichen X i erzeugt werden, wobei jedes Zeichen X i ein Großbuchstabe ist, und in welchem höchstens zwei onanten bzw. e aufeinanderfolgen. Hierfür bezeichne Σ die Großbuchstaben des deutschen Alphabets ohne Umlaute, also Σ {A, B, C,..., Z}. Weiterhin bezeichne Σ V {A, E, I, O, U} die Menge der e und Σ K Σ \ Σ V die Menge der onanten. Das Codewort wird nun wie folgt erzeugt: Die ersten beiden Zeichen X und X 2 werden zufällig gleichverteilt aus Σ gewählt. Die verbleibenden drei Zeichen werden nacheinander erzeugt. Für i bis gilt dabei: Sind X i 2 und X i e (X i, X i 2 Σ V ), so wird X i zufällig gleichverteilt aus Σ K gewählt. Sind X i 2 und X i onanten (X i, X i 2 Σ K ), so wird X i zufällig gleichverteilt aus Σ V gewählt. Ansonsten wird X i zufällig gleichverteilt aus Σ gewählt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X Σ K, d.h. dass das dritte Zeichen ein onant ist. b) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Codewort, das mit zwei onanten beginnt, auch auf einen onant endet. c) Berechnen Sie die erwartete Anzahl von onanten unter der Bedingung, dass die ersten beiden Zeichen e sind. Hinweis: Es empfiehlt sich, die Bäume zu den mehrstufigen Experimenten aufzuzeichnen. a) Fallunterscheidung, ob man zu Beginn zwei e oder einen und einen onanten erzeugt. ( ) , 288. b) Die gesuchte W keit beträgt +, wie folgendem Entscheidungsbaum zu entnehmen ist: c) Den Entscheidungsbaum zu c) erhält man aus dem Baum zu b) durch Vertauschen der Label und der W keiten:

2 Damit folgt für die erwartete Anzahl von onanten unter der Bedingung, dass X und X 2 e sind: ( ) ( 2 ( ) ) 2 ( ) Aufgabe 2 P+P+P9P Der (relative) Anteil der Frauen unter den Informatik-Studenten der TU München sei p 0. (mit q : p). Nehmen Sie an, dass zufällige Informatik-Studenten den Tag über das Service-Büro betreten. Die Zufallsvariable Y gebe an, wie viele Studenten der Service-Büro-Mitarbeiter abwarten muss, bis zwei Frauen hintereinander das Büro betreten haben. Mit G sei die erzeugende Funktion von Y bezeichnet. a) Es sei M das Ereignis, dass ein männlicher Student als erstes das Büro betritt. Entsprechend bezeichne F M das Ereignis, dass zu Beginn des Experiments eine Studentin gefolgt von einem Studenten das Büro betreten. Das Ereignis F F sei entsprechend definiert. Zeigen Sie unter Verwendung von Pr[Y k + M] Pr[Y k + 2] und Pr[Y k + F M] Pr[Y k + ], dass für alle k N gilt: Pr[Y k + ] Pr[Y k + 2] q + Pr[Y k + ] pq. b) Zeigen Sie, dass G für alle z [0, ] folgende Gleichung erfüllen muss: G(z) p 2 z 2 + qz G(z) + pqz 2 G(z). c) Geben Sie eine geschlossene Form für G(z) (über [0,]) an und bestimmen Sie damit die Varianz von Y. Hinweis: Verwenden Sie G () 2780 direkt. Sie müssen also nicht die zweite Ableitung berechnen. a) Die Ereignisse M, F M, F F bilden eine Partition von Ω. Damit folgt: Pr[Y k + ] Pr[Y k + M] Pr[M] + Pr[Y k + F M] Pr[F M] + Pr[Y k + F F ] Pr[F F ]. Da k 0 und F F Pr[Y 2] gilt: Schließlich gilt: Pr[Y k + F F ] Pr[Y k +, Y 2] Pr[Y 2] Pr[M] p : q und Pr[F ] p. Mit den angegebenen Beziehungen folgt die angegebene Rekursionsgleichung. b) Unter Beachtung von Pr[Y ] 0 und Pr[Y 2] p 2 folgt (mit q : p): 0. G(z) k 0 zk Pr[Y k] z 2 Pr[Y 2] + k 0 zk+ Pr[Y k + ] p 2 z 2 + k 0 zk+ (q Pr[Y k + 2] + pq Pr[Y k + ]) p 2 z 2 + qz k 0 zk+2 Pr[Y k + 2] + pqz 2 k 0 zk+ Pr[Y k + ] p 2 z 2 + qz G(z) + pqz 2 G(z).

3 c) Auflösen der Gleichung aus b) liefert: Es folgt: G (z) G(z) p 2 z 2 qz pqz 2 z z 9z 2. 2z 00 90z 9z 2 z 2 (00 90z 9z 2 ) 2 ( 90 8z) 200z 80z2 8z + 90z 2 + 8z 200z 90z 2 (00 90z 9z 2 ) 2 (00 90z 9z 2 ) 2 Damit: Var[Y ] G () + G () (G ()) Aufgabe 2P+P+P8P Sie haben einen fairen -seitigen Würfel, der die Augenzahlen, 2 und aufweist. Sie würfeln, bis alle drei Augenzahlen einmal gefallen sind. Sei X die Zahl der Würfe, die Sie dafür benötigen. Erinnern Sie sich aus der Vorlesung, dass X X +X 2 +X gilt, wobei die X i unabhängig und geometrisch verteilt sind mit Erfolgsw keiten (p, p 2, p ) (, 2, ). a) Berechnen Sie E[X] und Var[X]. b) Bestimmen Sie mithilfe der Chebyshev-Ungleichung eine möglichst kleine natürliche Zahl n, sodass Pr[X n] 0. gilt. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Sie als erstes genau eine würfeln, dann eine oder mehrere 2, und dann eine. a) Es gilt E[X i ] und Var[X i ] p i p i p 2. i i 2 E[X i ] 2 Var[X i ] Also E[X] E[X ]+E[X 2 ]+E[X ] und wegen Unabhängigkeit Var[X] Var[X ]+Var[X 2 ]+Var[X ] b) Pr[X n] Pr[X E[X] n E[X]] Pr[ X E[X] n E[X]] Var[X] (n E[X]) 2 (Chebyshev-Ungleichung) 27/4 (n.) 2 (mit a))! 0. führt zu (n.) oder n 27 2 c) Ω {aa k b(b a) l c {a, b, c} {, 2, }, k, l N }. Pr[ω] ω Also n 0. Das beschriebene Ereignis ist E {22 l l 0}. Es gilt Pr[E] l N ( ) +l ( ) ( ) 2 8.

4 Aufgabe 4 P+4P7P Die Fluggesellschaft EsparzAir bietet regelmäßig einen Flug von Stuttgart nach München an, wobei 96 Sitzplätze zur Verfügung stehen. Auf Grund (älterer) Statistiken vergangener Jahre geht EsparzAir davon aus, dass jeder zehnte Fluggast nicht zu diesem Flug erscheint. Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass sich die Fluggäste unabhängig von einander, aber ansonsten gleich verhalten. a) Wie viele Tickets kann die Fluggesellschaft für einen Flug von Stuttgart nach München mit 96 Plätzen maximal verkaufen, damit mit mindestens 9%-iger Wahrscheinlichkeit genug freie Plätze für alle erschienenen Passagiere zur Verfügung stehen? Verwenden Sie den Zentralen Grenzwertsatz. Hinweis: z und z b) Die Fluggesellschaft will die W keit neu schätzen, dass ein Passagier nicht zum Flug erscheint. Dafür betrachtet sie die letzten vier Flüge Stuttgart-München. Bei den Flügen wurden stets alle 00 Tickets verkauft, wobei jeweils k i viele Passagiere nicht zum Flug erschienen: k 2 k 2 4 k 2 k 4 Die Fluggesellschaft geht davon aus, dass die Anzahl der Personen, die nicht zum Flug erscheinen, Bin(00, p)-verteilt ist, also binomial-verteilt mit Erfolgsw keit p. Bestimmen Sie p (0, ) aus diesen Daten mit Hilfe des Maximum- Likelihood-Prinzips. Hinweis: Das Maximum-Likelihood-Prinzip sollte klar ersichtlich sein. Sie müssen jedoch nicht die zweite Ableitung berechnen. Notation: X i Bin(; 0.9) unabhängig mit X i, falls i-ter Passagier rechtzeitig zum Flug kommt. S n : n i X i mit E[S n ] n 0.9 und Var[S n ] n a) Approximation mit Φ: Pr[S n > 96] Pr[ S n E[S n ] Var[Sn ] > 96 n n ] Φ(960 n n )! 0.0. Mit z folgt Φ( 960 9n 960 9n n ) 0.9 Φ(.6) n.6 9n n n 4.9± n 0.4 b) Es soll p so gewählt werden, dass das Produkt 4 ( ) 00 p ki ( p) 00 ki maximiert wird. Die Binomialkoeffizienten sind dabei offensichtlich irrelevant. Mit k + k 2 + k + k 4 ergibt sich Ableiten nach p führt auf i k i p ( p) 87. p 2 ( p) 87 87p ( p) 86 p 2 ( p) 86 (( p) 87p) p 2 ( p) 7 ( 400p)! 0 bzw. p 400.

5 Aufgabe P+2P+P+2P+P9P Die Adler spielen gegen die Bären Eishockey. Die Adler benötigen für ein Tor im Schnitt 2 Minuten, die Bären nur 0 Minuten. Nehmen Sie an, dass die Adler und die Bären unabhängig voneinander Tore schießen und dass die Wartezeit bis zum nächsten Tor der Adler (bzw. der Bären) exponential-verteilt ist mit Parameter λ A (bzw. λ B ). a) Geben Sie λ A und λ B an. b) Sei T die Wartezeit bis zum nächsten Tor (egal wer es schießt). Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert der Zufallsvariablen T an. c) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Zahl B 40 der Bären-Tore in den ersten 40 Spielminuten. d) Berechnen Sie Pr[B 40 ]. e) Nehmen Sie jetzt an, dass es eine Verlängerung gibt. Sie dauert so lange, bis eine der Mannschaften ein Tor schießt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Tor von den Adlern geschossen wird. Hinweis: Sie benötigen dafür nur Teilaufgabe a). a) λ A 2, λ B 0. b) Seien T A und T B die Wartezeiten bis zum nächsten Adler-Tor und zum nächsten Bären-Tor. Laut Aufgabe sind T A und T B exponential-verteilt mit Parameter λ A bzw. λ B. Es gilt T min{t A, T B }. Laut Vorlesung ist T exponential-verteilt mit Parameter λ λ A + λ B Es gilt E[T ] /λ. c) Laut Vorlesung ist B 40 Poisson-verteilt mit Parameter 40 λ B Also gilt E[B 40] 4. d) ( ) 4 Pr[B 40 ] Pr[B 40 0] + Pr[B 40 ] e 4 0 0! + 4 e 4! e) Seien f A, f B, F A, F B die Dichte- und Verteilungsfunktionen für die Wartezeiten T A und T B. Laut Aufgabenstellung und Teil a) handelt es sich um Exponentialverteilungen mit Parameter λ A bzw. λ B : { { λ A e λ Ax x 0 e λ Ax x 0 f A (x) F A (x) 0 x < 0 0 x < 0 Es gilt: Pr[T A T B ] y y y0 y0 y x ( y f B (y) f B (y)f A (y) dy f A (x)f B (y) dx dy f A (x) dx x ( λb e λ By ( e λ Ax ) ) dy ) dy [ e λ By ] 0 + λ [ ] B e (λ A+λ B )y λ A + λ B 0 λ B λ A + λ B λ A λ A + λ B ( 2 / 2 + )

Ähnliche Dokumente

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.