Differenzialrechnung Einführung 1

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1 Änderungstendenz einer Funktion Differenzialrechnung Einführung Eines der wichtigsten Merkmale einer Funktion ist die Änderungstendenz, womit angegeben wird, wie stark die Funktionswerte f() zu- oder abnehmen, wenn die -Werte zu- oder abnehmen. Das geometrische Erscheinungsbild der Änderungstendenz einer Funktion ist die Steilheit von Anstieg und Gefälle des zugehörigen Graphen. Intervall Steigung f (,5 )- f ( ) 0,9- -,,6, 5-0,5 f ( ) - f (,5 )-,- -,5, -,5 0,5 f (,5 )- f ( 0 ) -,5- - 0,,5-0,5 f ( -,5 -) f ( 0-,5 ) -,5-0,9 -, -,5- -(,5 ) Y 0,*X^- y Intervall Intervall Intervall Intervall Wertetabelle zur Funktionsgleichung f()0,^- -,0 -,5 -,0 -,5 -,0 0,0,0,5,0,5,0 f() 5, 0,9 -, -,5 -,9 -,0 -,9 -,5 -, 0,9 5, Änderungsverhalten Intervall Kommentar Änderungsverhalten positiv steigend Änderungsverhalten negativ fallend Änderungsverhalten positiv steigend / /6 Sekante eines Graphenabschnittes Sekantensteigung / Differenzquotient Untersucht man die Änderungstendenz der nebenstehenden Funktion, so erkennt man, dass sich der Funktionswert von P bis P von -0/9 um mehr als zwei Maßeinheiten auf 9/8 ändert. Allerdings ist diese Annäherung sehr grob. Um das Verhalten des Funktionsgraphen besser zu beschreiben, eignet sich ein dichterer Abstand, z. B. zwischen den Punkten P und P wesentlich besser. Y -0,*X^ +X y P (- -0/9) P (/ 9/8) Eine Gerade, die innerhalb eines begrenzten Kurvenbereichs den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet, wird (Kurven-)Sekante genannt. P /6 Der Zuwachs Df() eines Funktionswertes bezogen auf einen Schritt D ist geometrisch gedeutet die Steigung der entsprechenden Sekante. Ein Maß für die Sekantensteigung ist also der aus der Differenzbeträgen Df() f() f() und D gebildete Quotient Df( ) D wenn a der Winkel zwischen der Sekante und der positiven -Achse ist. Für den entsprechenden Kurvenabschnitt selbst ist der Wert Df( ) nur ein D Steigungsmittelwert (mittlere Steigung) a y y y P a D P Df() Der Differenzquotient ist ein Maß für die genaue Steigung der Sekante und für die mittlere Steigung des davon abgeschnittenen Graphen /6

2 Beispiel Sekantenanstieg Beispiel Sekantenanstieg / /6 Tangente als Grenzlage der Sekante Differenzialquotient als Grenzwert Wenn die durch die Punkte P 0 und P verlaufende Sekante im Punkt P 0 gedreht wird, entstehen die Schnittpunkte P, P P n. Diese rücken dabei immer näher an den Drehpunkt P 0 heran. Das dadurch von der Sekante immer kürzer abgeschnittene Stück des Graphen schmiegt sich dabei immer mehr an die Sekante an. Im Grenzfall fällt der Punkt P n mit dem Drehpunkt P 0 zusammen. Da statt zweier Schnittpunkte nur noch ein Berührungspunkt übrig bleibt, gibt es auch keine Sekante und keine mittlere Steigung mehr. y P 0 Annäherung P n P P P Die Sekante eines Graphen wird in Grenzlage, bei der beide Schnittpunkte in einem Berührungspunkt zusammenfallen, zur Tangente. Diese gibt die genaue Steigung des Graphen in dem Punkt P( p f( p ) an der Stelle p an. Da die Tangentensteigung nur für einen Punkt (den Berührungspunkt) des Graphen gilt, kann nicht mehr von einem Änderungsbetrag Df() des Funktionswertes für einen bestimmten Schritt D gesprochen werden. Stattdessen handelt es sich um ein Änderungsbestreben in einem Punkt: die Änderungstendenz. Der genaue Wert der Änderungstendenz einer Funktion für einen bestimmten Wert muss rechnerisch bestimmt werden. Dazu wird die Überführung der Sekante in die Tangente rechnerisch vorgenommen. Y (/ )*X^ f( n ) f( p ) -0.5 Wenn die Parabel mit der dargestellten Funktionsgleichung die Tangentensteigung (als Maß der Änderungstendenz der Funktion im Punkt P( p f( p )/) gesucht ist, ermittelt man die Steigung einer durch P laufenden Sekante (siehe Abbildung). Der zweite Schnittpunkt sei ein beliebiger Punkt P n (( n f( n )), dessen Koordinaten n ( p + D) + D) und f( n ) f( p + D) f( + D) sind. Dann gilt für die Sekantensteigung: y P f ( ) D p D f( ) f( )- f( ) n p f ( p+d) - f( p) f ( +D) - f () D D D D P n Dy n / /6

3 Definition Differenzialquotient Ableitungsfunktion Dem gesuchten Tangentenanstieg nähert man sich durch Drehung der Sekante um den Punkt P. Dabei werden D und Df() immer kleiner und streben beiden gegen den Wert 0. Wollte man für die Steigung der Tangente als Grenzlage einer Sekante schreiben Df()/D 0/0, so wäre dies zwar nicht ganz falsch, liefert aber kein Ergebnis, sondern einen unbestimmten Ausdruck, denn trotz aller erkennbarer verschiedener Steigungswerte müsste für alle Grenzlagen 0/0 gelten. Aus diesen Gründen muss der Übergang zum Grenzfall ( Grenzübergang ) näher betrachtet und der Grenzfall selbst anders bezeichnet werden. Y (/ )*X^ f( p ) y f ( ) P p Der Grenzwert des Differenzenquotienten Df()/D für ein gegen 0 strebendes D (und damit auch für ein gegen 0 streben- Df() des Df() ist das Maß der lim D 0 Tangentensteigung und wird mit bezeich- D net. Der Grenzwert des Differenzenquotienten wird mit Df ( ) df( ) bezeichnet und heißt Differenzialquotient! lim D 0 D d d dy Der Steigungswert in einem Kurvenpunkt P mit den Koordinaten p und f( p ) heißt Ableitung der Funktion an der Stelle p und wird bezeichnet mit: Ableitungsfunktion f ( p ) Durch Grenzübergang des Differenzenquotienten entsteht der Differnzialquotient bzw. die Ableitung. Der dafür aus dem Funktionswert f( p ) abgeleitete Rechenwert f ( p ) enthält den Koordinatenwert p des Kurvenpunktes P, für den die Tangentensteigung gilt. Wenn man den Zahlenwert der Abszisse für p einsetzt, erhält man den Zahlenwert der Steigung. Vom Koordinatenwert f(( p ) ¼ p des Punktes P wurde die für diesen Punkt gültige Steigung f ( p ) / p abgeleitet worden, die mit p den Steigungswert ½ annahm / /6 Ableitungsfunktion Die Ableitung oder der Differenzialquotient f () df() / d einer Funktion f() ist ebenfalls eine Funktion von, nämlich die abgeleitete Funktion oder Ableitungsfunktion. Statt der Begriffe ableiten und Ableitung verwendet man auch die Bezeichnungen differenzieren und Differenziation, was an die Differenzbildung in Zähler und Nenner des Differenzialquotienten erinnert, die der Ableitung des Grenzwertes zugrunde gelegt wird. Konstantenregel k' 0; kî Derjenige Bereich der Mathematik, der sich mit dem Differenzieren befasst, heißt Differenzialrechnung. Die Gleichung einer Funktion bestimmt für jeden aus dem Definitionsbereich D eingesetzten -Wert dessen Funktionswert f() (Ordinalwert). Die Gleichung der Ableitungsfunktion bestimmt für jeden aus dem Definitionsbereich D eingesetzten -Wert die Änderungstendenz f () (Steigungswert) der Ursprungsfunktion / /6

4 Konstantenregel Beispiele Potenzregel n n- ( ) ' n ; ( nî ) f f ' 0 f 5 f ' / /6 Potenzregel Beispiele f f ' 5 5 Summenregel ( f + g) ' f ' + g' a ' f f a a- a+ * ; ' ( ) f aî f a+ b ; ' ( ) f bî f b- - * b- a / /6

5 Summenregel Beispiele Faktorregel ( c g) ' c g' / /6 Faktorregel Beispiele f f ' Ableitung der Wurzelfunktion ( ) ; ' > 0 f k f ' 0 0 k k f ( ) f '( ) k k k k k - k / /6 5

6 Ableitung Eins durch æ ö ç ' - ; 0 ¹ è ø Potenzregel für nega- -n n- tive Eponenten ' -n ; nî, ¹ 0 æ ö n ç n ' - è ø n / /6 Potenzregel für negative Eponenten Beispiele Produktregel Sind y f() und y g() differenzierbar, so ist es auch das Produkt yf(). g() und es gilt: ( f ( ) g( ) ) ' f '( ) g( ) + f ( ) g' ( ) / /6 6

7 Produktregel Beispiele Quotientenregel Sind y f() und y g() ¹0 differenzierbar, so ist es auch der Quotient y f()/g() und es gilt: ' f ( ) ' ' ( ) g( ) æ f ö f g - g ç è g ø / /6 Quotientenregel Beispiele Kettenregel Ist die Funktion z g() bei und die Funktion y f(z) bei z g() differenzierbar, so ist auch die mittelbar gegebene Funktion y f(z) f(g()) bei differenzierbar und es gilt: ( ) f ' g f ' g g' Ableitung der Verkettung an der Stelle Ableitung der äußeren Funktion an der Stelle Ableitung der inneren Funktion an der Stelle / /6 7

8 Kettenregel Beispiele Kettenregel Beispiele / /6 Kettenregel Beispiele Gegeben sei die Funktion f ( ). Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme der Ihnen bekannten Regeln die Ableitungsfunktion. f ( ) æ ö f '( ) ç - è ø æ ö f '( ) ç - è ø æ ö - f '( ) ç - è ø f '( ) - f ' ( ) / /6 8

9 / /6 Ableitungsregeln Das Problem Ableitungen werden den meisten im Zusammenhang mit Kurvendiskussionen bekannt sein. Aber auch in anderen Situationen, wie z.b. in der Physik, werden Ableitungen gebraucht. So ist z.b. der Weg abgeleitet nach der Zeit die Geschwindigkeit. Den meisten wird wohl klar sein, wie man eine relativ einfache Funktion wie z.b. f() ableitet. Hier ist die Ableitung f '(). Schwieriger wird es jedoch bei komplizierteren Funktionen. Wie differenziert man etwa Funktionen wie f()( -5) 8 oder f()e sin + 7? / /6 9

10 Die Lösung Bei den oben genannten Aufgaben handelt es sich um Funktionen, die man in wieder einzelne Funktionen zerlegen kann. Um diese Funktionen nun zu differenzieren muss man beachten, wie sie zusammengesetzt sind. Dann kann man eine der folgenden Regeln anwenden: Wenn die Funktion aus der Addition von zwei oder mehreren Funktionen hervorgeht, d.h. von der Form f() + g() ist (wie z.b. + ), dann folgt: (f + g)'() f '() + g'() Also im Beispiel: (f + g)'() +. Wenn die Funktion mit einem Skalar multipliziert ist, d.h. von der Form a * f() ist, dann gilt für die Ableitung: (a * f)'() a * f '(). Als Beispiel betrachte man 5 6. Hier lautet die Ableitung 5 * / /6 Produktregel: Wenn eine Funktion von der Form f()*g(), wie etwa 5 * ist, dann benutzt man zum Differenzieren die folgende Formel: (f * g)'() f '() * g() + f() * g'(). Im Beispiel: (f * g)'() 0 * + 5 * Quotientenregel: Wenn eine Funktion von der Form f() / g(), wie etwa ( 5 ) / ( ) ist, dann benutzt man zum Differenzieren die Formel: (f / g)'() (f '() * g() - f() * g'()) / (g ()). Im Beispiel: (f/g)'() (0 * - 5 * 6) / 9 ( 6-6 ) / / / /6 0

11 Kettenregel: Wenn die Funktion von der Form g(f()), wie z.b. ( +) ist, muss man wie folgt ableiten: Im Beispiel: (g (f()))'g'(f()) * f '(). (g(f())) ( +) * 8 * ( +) Zudem kommen bei komplizierten Aufgaben auch spezielle Funktionen, wie z.b. der die Eponentialfunktion und der Sinus vor. Für diese speziellen Funktionen gibt es eigene Ableitungsregeln, die man einfach lernen muss. Zum Beispiel: Sinus: sin'() cos() Cosinus: cos'() -sin() Eponentialfunktion: (e )' e Logarithmusfunktion: (log )' / / /6 ( -5) 8 : Hier ist die Kettenregel anzuwenden. Zunächst müssen wir die einzelnen Funktionen identifizieren: f() -5; g() 8. Nun können wir diese einzeln ableiten und es gilt somit: f '() ; g'() 8 7. Folglich erhalten wir als Ergebnis aufgrund der Kettenregel: (g(f()))' (g'(f())* f '() 8( -5) 7 *. e sin + 7 : Hier ist mehr zu beachten, und zwar haben wir hier neben Punkt, und der Kettenregel auch zu berücksichtigen, dass wir zum Teil spezielle Funktionen verwenden. Um die Kettenregel wie zuvor anzuwenden, müssen wir erneut die einzelnen Funktionen dafür identifizieren: f()sin; g()e. Somit gilt für die Ableitungen: f '() cos; g'() e. Somit erhalten wir dafür insgesamt (e sin )' cos * e sin. Wenn wir nun noch Punkt und beachten, erhalten wir insgesamt: (e sin + 7 )' cos * e sin / /6

12 cos: Hierbei benötigen wir die Produktregel und müssen beachten, dass wir auch eine spezielle Funktion haben und einmal auch Punkt anwenden. Um die Produktregel anzuwenden, identifizieren wir wieder die einzelnen Funktionen: f() ; g() cos. Nun müssen wir diese einzeln ableiten: f '() ; g() -sin. Die Anwendung der Produktregel ergibt insgesamt: (f()*g())' f '() * g() + f() * g'() * cos + * (-sin) * cos - * sin. (sin )/ : Hier muss man die Quotientenregel anwenden. In diesem Fall kann man die einzelnen Funktionen leicht identifizieren: f()sin; g(). Somit gilt für die Ableitungen: f '() cos ; g'(). Wir erhalten insgesamt mit Verwendung der Quotientenregel: (f() / g()) (f '() * g() - f() * g'()) / (g ()) (cos * sin * ) / / /6 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: f ' f ( ) k ( ) 9 k' ( ) 9 8 Übungen zur Potenzregel f ( ) -/ (erste Ableitungen) f' ( ) f'' ( ) K ( ),5 ³ 5 ² (erste Ableitungen) K', K'' 9-0 K''' 9 f f ( ) - - Þ f' / /6

13 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: Geben Sie die ersten beiden Ableitungen der folgenden Stückkostenfunktion an: k ( ), / f ( ) k, Þ k' k'' f f ( ) Þ f' - - f - Þ f '( ) f ( ) f ( ) f ( ) f - Þ f' ( ) 5 f - 5 Þ f' ( ) 5 5 f Þ f' ( ) / /6 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: -5 f f ( ) - ( ) f ' ( ) 5 6 f ( ),5 0,5 f ' ( ),5 f ( ) 0 f ( ) - f ( ) 0 7 æ ö - Þ f' ( ) ç è ø f 5 5 Þ f' ( ) 5 Übungen zur Produktregel / /6

14 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y ( + ) ( - ) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y ( + ) (² - ) / /6 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y (² - 5) (² + ) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y (² + + ) ( - ) / /6

15 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y ( + ) (² ) Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y (³ + - 5) (² - + 6) / /6 Übungen zur Quotientenregel Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y ( - ) / ( + ) ( -) ( + ) u y Þ y v u' v - u v' y v u -Þ u' v + Þ v' ( ) ( ) ( + ) y' ( + ) 5 5 Þ ( + ) / /6 5

16 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y ( + ) / ( - 5) ( + ) ( -5) u y Þ y v u' v - u v' y v u + Þ u' v -5 Þ v' ( ) ( ) ( -5) y' Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y / ( + ) ( + ) Þ u y y + - v y' ( + ) u' v - u v' y v + - u Þ u' + v + Þ v' ( ) / /6 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: y (² - + ) / (6 + 5) - y + Þ y u v ( 6+ 5) u' v - u v' y v u - + Þ u' - v Þ v' 6 y' ( ) ( ) ( ) ( 6 + 5) ( 6+ 5) Übungen zur Kettenregel / /6 6

17 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f ( ) ( ) ( ) - ( ) f u v u u' v v' f ' u' v v' Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f ( ) / (0,5 7) ( ) f u v u( ) u' ( ) v 0,5 7 v' 0,5-0,5 ( 0,5-7) f ' u' v v' - 0,5 7 ( - ) / /6 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f() / ( + ) ( ) f u v u( ) u' ( ) v v' - - ( + ) ( + ) f ' u' v v' Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f ( ) ( ) f u v u + - u' ( ) + + ( ) v v' f' u' v v' + + ( ) / /6 7

18 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f ( ), + e ( ) e e + ( ) f u v u u' v, v', f' u' v v',+ e,,e,+ Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f ( ) e Weitere mögliche Vereinfachungen: - f' ( ) ( e) e e - + ( ) f u v u - u' ( ) e e ( ) v v' f' u' v v' e e / /6 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion: f ( ) e ( ) e e /6 f u v u u' v - v' ( ) ( ) f' u' v v' e e 8