Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten

Transkript

1 Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten Übung 5: statistische Auswertung gleichgenauer Messungen Milo Hirsch Hendrik Hellmers Florian Schill Institut für Geodäsie Fachbereich 3

2 Inhaltsverzeichnis Einführung Aufgabenbeschreibung statistische Auswertung von Messungen Erwartungswert und Varianz arithmetisches Mittel einer Stichprobe Standardabweichung einer Stichprobe Varianzfortpflanzung Theorie Erste Anwendungen Übungsaufgaben Varianzfortpflanzung spezieller Funktionen Varianzfortpflanzung allgemeiner Funktionen Einführung Trotz größter Sorgfalt kann der wahre Wert (=gesuchter Wert) einer gemessenen Größe nie bestimmt werden. Jedes Messergebnis wird verfälscht durch Ungenauigkeiten der Messgeräte und des Messverfahrens, sowie durch Umwelteinflüsse, wie z.b. Temperatur, Luftdruck etc., oder durch persönliche, von den Eigenschaften des Beobachters abhängige Einflüsse, wie z.b. Aufmerksamkeit, Übung, Sehschärfe, Schätzvermögen. Eine einzelne Messung bietet deshalb keinerlei Sicherheit gegen Irrtümer und keine Möglichkeit der Genauigkeitsabschätzung. Die Grundlage der Genauigkeitsabschätzung sind Messungswiederholungen, Gegenüberstellung vergleichbarer Messungen und die Berücksichtigung mathematischer Bedingungen. Zur Begriffsvereinheitlichung wurde mit der DIN 8709 (Teil 4) bzw. der DIN 870- die Anpassung des geodätischen Sprachgebrauchs an die Begriffswelt anderer Wissenschaftsdisziplinen vorgenommen. Ein Ergebnis dessen ist die Ablösung des geodätischen Begriffs Fehler durch den Begriff Messabweichung bzw. Abweichung. Im praktischen Sprachgebrauch wird jedoch auch weiterhin oft der Begriff Fehler gebraucht. Im Folgenden werden daher neben den aus der DIN 8709 bzw. DIN 870 stammenden Begriffen auch die im geodätischen Sprachgebrauch (noch) verwendeten Begriffe angegeben.

3 Grundsätzlich wird in der Geodäsie zwischen drei Arten von Messabweichungen (Fehlern) unterschieden: Grobe Messabweichungen (auch: Grobe Fehler) entstehen durch regelrechte Irrtümer, etwa durch Punktverwechslungen, Ablesefehler, Zahlendreher. Grobe Messabweichungen sind nicht Gegenstand dieser Betrachtungen, sondern müssen durch Kontrollmessungen sowie -rechnungen aufgedeckt und eliminiert werden. Systematische Messabweichungen (auch: Systematische Fehler) ergeben sich, wenn physikalische oder mechanische Gesetzmäßigkeiten nicht beachtet werden. Auch die Gruppe der systematischen Messabweichungen ist nicht Gegenstand dieser Betrachtungen, sondern müssen durch Anbringung entsprechender Korrekturen, z.b. aus Kalibrierungsmessungen, berücksichtigt werden. Zufällige Messabweichungen (auch: Zufällige Fehler) Hat man eine Messung mehrfach wiederholt, so ergeben sich trotz sorgfältigster Messungen immer gewisse Streuungen in den Ergebnissen. Diese zufälligen, unregelmäßigen Abweichungen werden zufällige Messabweichungen genannt. Sie schwanken sowohl in ihrer Größe als auch in ihrem Vorzeichen scheinbar unregelmäßig, d.h. sie sind im Einzelnen nicht erfassbar. Es zeigt sich jedoch, dass sie trotz ihrer scheinbaren Unregelmäßigkeit den Gesetzen des Zufalls gehorchen und mit steigender Anzahl an Wiederholungsmessungen immer zuverlässiger abgeschätzt werden können. Diese zufälligen Messabweichungen sollen im Folgenden Gegenstand der statistischen Auswertung von Messungen sein. 2 Aufgabenbeschreibung Da aus den oben genannten Gründen der wahre Wert einer gemessenen Größe nicht bestimmt werden kann, lässt sich für eine Messgröße nur ein möglichst plausibler Wert aus den Messungen ableiten. Zusammen mit einer Genauigkeitsschätzung für die Messungen bildet er das eigentliche Messergebnis. Wir wollen statistische Methoden zur Auswertung von Messungen kennenlernen und anwenden, mit denen sich primär folgende zwei Ziele erreichen lassen:. Ableitung eines plausiblen Wertes für eine (mehrfach) gemessene Größe. 2. Bestimmung von Genauigkeiten für a) die durchgeführten Messungen und b) den abgeleiteten plausiblen Wert. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 2

4 3 statistische Auswertung von Messungen 3. Erwartungswert und Varianz Basis jeder statistischen Auswertung ist die Auffassung der zu bestimmenden Messgröße als Zufallsgröße. Zur Bestimmung der Messgröße werden Messungen (Zufallsexperimente) durchgeführt. Ordnet man diese (mit zufälligen Abweichungen behafteten) Messungen der Größe nach und stellt sie in einem Häufigkeitsdiagramm dar, erhält man die Dichtefunktion der Zufallsgröße. Wir konzentrieren uns hierbei auf die Dichtefunktion der Normalverteilung. f x f x Σ 2 Π e x Μ 2 2 Σ 2 Σ Μ Σ x Dichtefunktion der Normalverteilung Diese Dichtefunktion lässt sich mathematisch durch die zwei Parameter µ und σ beschreiben. Erwartungswert µ = E {X } = + x f x (x) d x Varianz σ 2 = D 2 {X } = + (x E{X }) 2 f x (x) d x Man erkennt, dass die Bestimmung von µ und σ mit unseren beiden Zielstellungen korrespondiert, denn der Erwartungswert µ ist ein plausibler Wert für die Messgröße und die Varianz σ 2 charakterisiert die Genauigkeit der Messungen. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 3

5 Zur exakten Berechnung von µ und σ müsste aber die Grundgesamtheit bestimmt werden, wozu unendliche viele Messungen durchzuführen wären. Dies ist nicht möglich, deshalb muss man mit einer Stichprobe von n Elementen aus der Grundgesamtheit arbeiten und sich mit Schätzungen für µ und σ begnügen. 3.2 arithmetisches Mittel einer Stichprobe Annahme: alle Messungen sind gleichgenau, das bedeutet f x (x i ) = n µ = x i f x (x i ) µ = x i n µ = n x i x = n x i arithmetisches Mittel x ist Schätzung für µ 3.3 Standardabweichung einer Stichprobe Annahme: alle Messungen sind gleichgenau, das bedeutet f x (x i ) = n σ 2 = (x i µ) 2 f x (x i ) σ 2 = (x i µ) 2 n σ 2 = n (x i µ) 2 = s 2 x s x = n (x i µ) 2 Standardabweichung s x ist Schätzung für σ Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 4

6 In der Regel ist der Erwartungswert µ unbekannt, das heißt man muss eine Schätzung x für µ aus den Messwerten berechnen. man verbraucht dafür bereits eine Messung aus der Stichprobe Freiheitsgrad f = n s x = n (x i x) 2 Standardabweichung s x einer Messung x i Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 5

7 4 Varianzfortpflanzung Wie unter der Zielstellung 2.b) formuliert, muss für die Angabe eines vollständigen Messergebnisses auch die Genauigkeit für den plausiblen Wert bestimmt werden. x = n x i = f (x i ) Frage: Kann man mit Kenntnis der Genauigkeit für x i (Varianz s 2 x ) und dem funktionalen Zusammenhang x = f (x i ) eine Genauigkeit in Form einer Varianz s 2 x ableiten? 4. Theorie Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße (=Messung) x + x auf das Ergebnis y kann mittels einer Taylorreihe abgeschätzt werden: y(x + x) = y(x) + d y! d x x + d 2 y 2! d 2 x ( x)2 + Bei genügend kleinem x kann die Reihenentwicklung nach dem. Glied abgebrochen werden: Damit erhält man folgende Regel: y(x + x) = y(x) +! d y d x x y(x + x) y(x) = y = d y x (= lineare Fortpflanzung)! d x Für die Charakterisierung unserer fehlerbehafteten Messungen haben wir die geschätzte Varianz s 2 x zur Verfügung, was auf folgende Substitution führt: x s 2 x y s 2 y d y 2 s 2 y = d x s x (= quadratische Fortpflanzung = Varianzfortpflanzung) Wenn der funktionale Zusammenhang y = f (x i ) aus mehreren Variablen besteht, müssen entsprechend partielle Ableitungen verwendet werden d y d x y x und es folgt für die Varianzfortpflanzung von Messgrößen, die aus mehreren Größen abgeleitet werden: s 2 y = y 2 s xi x i Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 6

8 4.2 Erste Anwendungen Standardabweichung des arithmetischen Mittels y = f (x i ) = x = n (x i ) = n (x + x x n ), mit x x i = n 2 2 s 2 x = n s x i = n n s x i = s2 x n s x = s x n = n (n ) xi x 2 Standardabweichung des arithmetischen Mittels Standardabweichung einer Doppelmessung Es seien n-paare (x i, x i ) von Doppelmessungen gegeben. Falls die Messungen x i, x i fehlerfrei wären, muss für die Differenz d i der Messungen gelten: d i = x i x i Das heißt der Erwartungswert µ di = 0 ist bekannt!! = 0 s 2 x = 2n (d i µ di ) 2 = 2n (d i 0) 2 = 2n d 2 i s x = 2n d 2 i Standardabweichung einer einzelnen Messung Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 7

9 Für den Mittelwert eines Paares gilt: x i = 2 (x i + x i ), mit x i x i = x i x i = 2 Daraus folgt mit der Varianzfortpflanzung: und es gilt für alle Mittel 2 2 s 2 = x i 2 s x + 2 s x = 2 4 s2 x = s2 x 2 s 2 x = s 2 x 2 = = s 2 x n = s 2 x Deshalb können wir schreiben s 2 x = s2 x 2 = d 2 i 4n s x = 2 d 2 i n = d 2 i 4n Standardabweichung (des Mittelwertes) einer Doppelmessung Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 8

10 5 Übungsaufgaben 5. Varianzfortpflanzung spezieller Funktionen. Arithmetische Mittel und Standardabweichungen Ein Winkel [gon] wurde an drei verschiedenen Tagen von drei verschiedenen Beobachtern gemessen. Berechnen Sie Messung Tag Tag 2 Tag 3 83, , , , ,454 83, ,455 83, , , , , ,454 83, , ,4508 a) für jeden Tag das arithmetische Mittel. b) für jeden Tag die Standardabweichung einer einzelnen Messung. c) die Standardabweichungen für die arithmetischen Mittel der Tage. 2. Standardabweichungen Doppelmessung Eine zu messende horizontale Strecke wurde in sieben Abschnitte unterteilt, die jeweils durch Hin- und Rückmessung bestimmt wurden. Berechnen Sie Abschnitt Hinweg [m] x i Rückweg [m] x i 53,35 53, ,80 02, ,055 58, ,498 95, ,862 54, ,400 94, ,764 8,763 a) die Standardabweichung einer einzelnen Messung. b) die Standardabweichung (des Mittelswertes) einer Doppelmessung. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 9

11 5.2 Varianzfortpflanzung allgemeiner Funktionen Verwenden Sie zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben auch die Folien 70 bis 77 der Vorlesungspräsentation!. Standardabweichung Horizontalwinkel: α = r 2 r Berechnen Sie die Standardabweichung des Horizontalwinkels s α aus den Horizontalrichtungen r und r 2. Die Standardabweichung der Horizontalrichtungen ist mit s r = 2 mgon gegeben. 2. Standardabweichung Richtungswinkel: YE Y A t = arctan X E X A Berechnen Sie unter Verwendung der Koordinaten der Punkte A und E und deren Standardabweichungen die Standardabweichung des Richtungswinkel s t in der Einheit [mgon]. Die Standardabweichung der Koordinaten ist mit s xa = s ya = s xe = s ye = 0, 005 m gegeben. Punkt Rechtswert Y [m] Hochwert X [m] A -5,204-59,358 E 44,722 36,20 3. Standardabweichung Fläche: F = 2 X i (Y i+ Y i ) = 2 Y i (X i X i+ ) Berechnen Sie unter Verwendung der Gauß-Krüger-Koordinaten des Grundstückes 24/4 aus der Übungsaufgabe G4.3 die Standardabweichung s F der Grundstücksfläche F. Die Standardabweichung der Gauß-Krüger-Koordinaten ist mit s Xi = s Yi = 0, 050 m gegeben. Vermessungskunde für Bauingenieure und Geodäten 0