2-Stichprobentest für Anteilswerte

Transkript

1 -Stichprobentest für Anteilswerte Wir betrachten den Anteilswert (Prozentsatz) für ein interessierendes Ereignis in zwei verschiedenen Grundgesamtheiten (π 1, π ) Ziel: Auf der Basis von Stichprobenerhebungen zu entscheiden, ob die beiden Grundgesamtheiten die selben Anteilswerte aufweisen oder sich unterscheiden Frage: Wie ist die Differenz der Stichprobenanteile verteilt? Statistik für SoziologInnen 1 -Stichprobentest für Anteile Theoretische Grundlage Wir betrachten unabhängige Stichproben vom Umfang n 1, n mit beobachteten Anteilswerten p 1,p Frage: Wie ist die Differenz der Stichprobenanteile verteilt? Ep ( 1 p) = π1 π π 1 ( 1 π 1 ) π ( 1 π ) Var ( p1 p ) = Var ( p1 ) + Var ( p ) = + n π1( 1 π1) π( 1 π) ( p1 p)~ N( π1 π, + ) n n 1 Statistik für SoziologInnen -Stichprobentest für Anteile 1

2 Beispiel Angenommen wir vergleichen zwei Städte mit jeweils Einwohnern. In der Stadt-1 leben Angehörige einer Religionsgemeinschaft. (π 1 =30%) In der Stadt- leben nur.500 Angehörige einer Religionsgemeinschaft. (π =5%) Versucht man diesen Unterschied auf der Basis einer Stichprobe von jeweils 100 Personen in den beiden Städten zu erheben, so ergeben sich folgende Ergebnisse Statistik für SoziologInnen 3 -Stichprobentest für Anteile Beispiel: Grundgesamtheit 1 Grundgesamtheit N1= X1= π 1 = 30% N= X=.500 π = 5% 10 P1 P Stichprobe 1 = 100 E(p1)= 0,30 Var(p1)= 0,001 Stichprobe n = 100 E(p)= 0,5 Var(p)= 0, ,00 0,10 0,0 0,30 0,40 0,50 P1-P 7 Differenz E(p1-p)= 0,05 Var(p1-p)= 0, Prob(p1 < p)= 0, Prob(p1 - p > 0,15)= 0, , -0,1 0 0,1 0, 0,3 Statistik für SoziologInnen 4 -Stichprobentest für Anteile

3 -Stichprobentest für Anteilswerte H 0 : π 1 = π = π H 1 : π 1 π bei zweiseitigen Fragestellungen bzw. H 1 : π 1 > π oder H 1 : π 1 < π bei einseitigen Fragestellungen Unter Gültigkeit von H 0 p 1 + np πˆ = p = Die Teststatistik standardisiert + n die Differenz der Anteilswerte ( p1 p) ( p1 p) Z = = = N(0,1) p(1 p) p(1 p) p(1 p) n + n Statistik für SoziologInnen 5 -Stichprobentest für Anteile Beispiel: Zwei Gruppen A und B, die aus jeweils 100 Personen bestehen, leiden an einer Krankheit Gruppe A bekommt ein Heilmittel; Gruppe B (Kontrollgruppe) bekommt ein Placebo In A werden 75 geheilt; In B werden 65 geheilt Kann bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,01 die Wirksamkeit des Medikaments nachgewiesen werden? H 0 : p A p B H 1 : p A >p B Kritischer Wert: z c =z 0,99 =,33 Statistik für SoziologInnen 6 -Stichprobentest für Anteile 3

4 Beispiel p 1 =75/100=0,75 p =65/100=0,65 p=(75+65)/( )=0,70 Z = (, , ) ,( 07,) , 01, = = = 154, 0, 004 0, 0648 p-value (empirisches Signifikanzniveau) 0,0617 Nicht signifikant; H 0 kann nicht abgelehnt werden Nachweis der Wirksamkeit konnte nicht erbracht werden; d.h. aber nicht, dass bewiesen wurde, dass das Medikament unwirksam ist. Statistik für SoziologInnen 7 -Stichprobentest für Anteile Modifiziertes Beispiel Wir betrachten nun n 1 =n =300 Personen in jeder Gruppe In A werden nun 5, in B195 Personen geheilt p 1 =0,75 p =0,65 p=0,7 Z = (, , ) ,( 07,) , 01, = = = 67, 0, , 0374 Jetzt kann die H 0 bei einem α=0,01 verworfen werden Statistik für SoziologInnen 8 -Stichprobentest für Anteile 4

5 Rechenschema Statistik für SoziologInnen 9 -Stichprobentest für Anteile Alternative Operationalisierung des Unterschiedes Differenz der Anteilsraten (konstant) Odds-ratio (symmetrisch) Relativ Risk (monoton) A B p1 p Differenz Odds Ratio Relative Risk 0% 10% 10%,5,00 50% 40% 10% 1,50 1,5 55% 45% 10% 1,49 1, 60% 50% 10% 1,50 1,0 90% 80% 10%,5 1,13 Im Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit einer Heilung in Gruppe A (75%) um 10 Prozentpunkte größer als in Gruppe B (65%). Statistik für SoziologInnen 10 -Stichprobentest für Anteile 5

6 Odds Mit dem Begriff Odds bezeichnet man das Verhältnis von Chance zu Gegenchance Odds = p/(1-p) Odds(A): 0,75/(1-0,75) 5) = 3 Odds(B): 0,65/(1-0,65) = 1,86 Verbalisierung: z.b. In der Gruppe A stehen die Chancen für eine Heilung 3 zu 1 Das Verhältnis der Odds zueinander bezeichnet man als die Odds-ratio OR=3/1 3/1,86=1,61 Die Odds für eine Heilung sind in Gruppe A um ~60% erhöht also günstiger. Bei Äquivalenz der Anteilswerte in den beiden Gruppen ist die Odds-ratio gleich 1. Statistik für SoziologInnen 11 -Stichprobentest für Anteile Relative Risk Das Relative Risk bezeichnet das Verhältnis der Anteils- Raten in beiden Gruppen A: p1=0,75 B: p=0,65 RR=0,75/0,65=1,15 Verbalisierung: Die relative Heilungschance ist in Gruppe A um 15% höher als in Gruppe B Bei Äquivalenz der Anteilswerte ist das Relative Risk gleich 1. Beispiel: Gruppe A hat um 10 Prozentpunkte bessere Heilungsrate Bei Gruppe A sind die Odds für eine Heilung um 60% erhöht Die relative Chance einer Heilung ist in Gruppe A um 15% höher. Statistik für SoziologInnen 1 -Stichprobentest für Anteile 6

7 Reales Beispiel aus der Onkologie DCF CF Total n= Response Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Differenz 0,155 Differenz 15,5 Prozentpunkte Standard Abweichung 0,06 Test-Statistik,508 Zweiseitiger p-value 0,01 Odds 0,63 0,30 Odds Ratio,09 Odds sind ca. doppelt so hoch Relative Risk 1,669 Relatives Risiko 67% größer Statistik für SoziologInnen 13 -Stichprobentest für Anteile Sigmoides Response-Modell Odds Ratio bildet den Ausgangspunkt Logistische Regression Ziel: Schätzung von Veränderungen der odds Re esponse Treatment-Effekt Statistik für SoziologInnen 14 -Stichprobentest für Anteile 7