Peter Hager: Eine kleine mathematische Auffrischung

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1 Peter Hager: Ee klee mathematsche Auffrschug Überscht Überscht... 1 Formel ud Bespele... 1 Lteraturhwes Eführug Zseszsrechug Edwert Barwertermttlug Zssatzermttlug Ermttlug der Laufzet Awedugsfall: Dskoterug vo Ab-/Zuflüsse Reterechug Edlche Rete Ewge Rete Exkurs Autäterechug... 8 Zusammefassug der Formel:... 9 Abkürzugsverzechs Formel ud Bespele Bespel 1: Zseszsrechug...2 Bespel 2: Zseszs...2 Bespel 3: Barwert...3 Bespel 4: Zssatz...4 Bespel 5: Laufzet...4 Bespel 6: Barwert eer Ivestto...4 Bespel 7: Barwert achschüssge Rete...5 Bespel 8: Zssatz eer achschüssge Rete...6 Bespel 9: Laufzet achschüssge Rete...6 Bespel 10: Ewge Rete...6 Bespel 11: Ewge Rete ach eer geometrsche Rehe...7 Bespel 12: Abzsug ewge Rete...7 Bespel 13: Berechug eer Autät...8 Formel 1: Edwert eer Ezahlug...2 Formel 2: Barwert eer Ezahlug...3 Formel 3: Ermttlug des Zssatzes...3 Formel 4: Ermttlug der Laufzet...4 Formel 5: Edwert eer achschüssge Rete...5 Formel 6: Barwert eer achschüssge Rete...5 Formel 7: Bestmmug der Retehöhe...5 Formel 8: Zssatzermttlug eer edlche Rete...6 Formel 9: Laufzet eer achschüssge Rete...6 Formel 10: Ewge Rete...6 Formel 11: Kaptalwert eer Autät...8 Formel 12: Autäteberechug...8 Stad Ju 2013 Ig. Mag. Peter Hager

2 - 2 - Lteraturhwes Falkeberg: Mathematk für de Wrtschaftspraktker, Lde 1975 Kruschwtz: Fazmathematk, Oldebourg, 2010, ztert: Kruschwtz (2010) 1. Eführug Ee Uterehmesbewertug basert auf der Zseszsrechug Edwert 2. Zseszsrechug 1 Verefached wrd vo glechblebede gazjährge Zse ausgegage. Bespel 1: Zseszsrechug Ee Elage vo wrd 5 Jahre mt 5% verzst. We hoch st der Edwert? Jahr Übertrag 1.000, , , , ,51 Elage 1.000,00 Zwschesumme 1.000, , , , , ,51 5% 50,00 52,50 55,13 57,88 60,78 Edwert 1.000, , , , , ,29 Wchtg für de Ivesttosrechug st, dass alle Zu- ud Abflüsse zum Ede eer Perode stattfde, daher wrd für de Elage (=Ivestto) de Perode 0 vorgeschaltet, auf de sch weterer Folge alle Berechuge bezehe. Um de Edwert der Ezahlug zu bereche, muss ma jedoch cht eer Staffel de Zs für jedes Jahr bereche. Efacher geht es mt der Formel: Formel 1: Edwert eer Ezahlug = BW * q = Edwert BW = Barwert = Afagswert (= Ezahlug) q = Aufzsugsfaktor (=1+p/100) = 1 + = p/100 p = Zssatz = Azahl der Jahre Bezoge auf das vorherge Bespel lässt sch mt deser Formel der Edwert lecht bereche =1.000*1,05 5 =1.276,28 Bespel 2: Zseszs De Bak betet 2 Alteratve: a) Verzsug 1. Jahr 5%; 2. Jahr 1% b) Verzsug 1. Jahr 1%, 2. Jahr 5% 1 Vgl. Kruschwtz (2010), S. 9ff

3 - 3 - Var. a) Jahr Übertrag 1.000, ,00 Elage 1.000,00 Zwschesumme 1.000, , ,00 5% 1% 50,00 10,50 Edwert 1.000, , ,50 Var. b) Jahr Übertrag 1.000, ,00 Elage 1.000,00 Zwschesumme 1.000, , ,00 1% 5% 10,00 50,50 Edwert 1.000, , ,50 Da schafft das Kumulatvgesetz (a * b = b *a) Glechhet Barwertermttlug Wll ma umgekehrt de Afagswert (= Ezahlug) ermttel muss ma ur de Formel umforme: BW = q We ee Zahl durch ee Faktor dvdert wrd, ka ma stattdesse dese auch mt dem Faktor hoch der egatve Expoetalzahl multplzere: 5 / 2 = 5 * 2 (-1) =2,5 20 / 2 2 = 20 * 2 (-2) =5 Formel 2: Barwert eer Ezahlug 2 BW = = * q q Bespel 3: Barwert We ch 5 Jahre habe möchte, we vel muss ch heute auf e Sparbuch mt fxe 1,5% lege? BW = * 1,015 (-5) BW = 1.856,52 Der Faktor q (-k) wrd oft als Barwertfaktor bezechet, da er de Gegewartswert (= Barwert) eer Ezahlug bezechet. Der Faktor q (-1) wrd oft als Dskoterugsfaktor bezechet Zssatzermttlug Formel 3: Ermttlug des Zssatzes 3 = BW Erläuterug be Formel Edwert Erläuterug be Formel Edwert

4 - 4 - Bespel 4: Zssatz Welchem Zssatz etsprcht e Edwert vo be 7 Jahre Laufzet ud eem Afagskaptal vo = 7 = 10, =e[l(2.000/1000)*1/7] -1 = 10,41% 2.4. Ermttlug der Laufzet Formel 4: Ermttlug der Laufzet 4 l = BW l q Bespel 5: Laufzet We lage muss ma zu 4% alege, damt ma hat? =l(10.000/9.000)/(l1,04) = 2,69 Jahre 2.5. Awedugsfall: Dskoterug vo Ab-/Zuflüsse Bass der Ivesttosrechug sd de Zahlugsströme. Dese werde mt dem Barwertfaktor auf de Barwert der Ivestto dskotert. Ee Ivestto st da svoll, we der Barwert der Ivestto postv st. Bespel 6: Barwert eer Ivestto Ee Ivestto erzelt be eer Ezahlug vo 1.000, Auszahluge vo 700, 500 ud 300 de Folgejahre. Der Zssatz beträgt 8%. We hoch st der Barwert der Ivestto? Ezahlug ,00 Auszahlug 700,00 500,00 300,00 Zwschesumme ,00 700,00 500,00 300,00 BWF 1 0, , , BW ,00 648,15 428,67 238,15 Summe 314,97 3. Reterechug 5 Ee Barwerttabelle ka sehr groß werde, we zum Bespel ee Ivestto ee Rückfluss über 30 Jahre aufwest. Ee möglche Verefachug st ee geometrsche Rehe. Geometrsche Rehe: Ist ee Zahlefolge be dee beachbarte Gleder de gleche Quotete aufwese. 4 5 Erläuterug be Formel Edwert Vgl. Kruschwtz (2010), S. 43ff

5 - 5 - Auf der geometrsche Rete beruht de Reterechug. Dabe sd verschedee Arte zu uterschede 6 : Retehöhe glechblebed veräderlch Retedauer Edlche Rete Uedlche Rete Termerug der Vorschüssge Rete Nachschüssge Rete Zahlug Verhälts vo Zs ud Reteperode Jährlche Rete mt jährlchem oder uterjährlchem Zs Uterjährge Rete mt jährlchem oder uterjährlchem Zs I der Uterehmesbewertug teressere us ur glechblebede oder veräderlche, achschüssge jährlche Rete mt jährlcher Verzsug. Uterjährge Verzsug ud Ausschüttug sd zwar plausbel, aber zu komplzert. De Rete köe edlch ud uedlch se Edlche Rete Formel 5: Edwert eer achschüssge Rete = R = R Formel 6: Barwert eer achschüssge Rete BW = R q Bespel 7: Barwert achschüssge Rete Ee Ivestto erbrgt über 4 Jahre ee jährlche Auszahlug vo be eem tere Zssatz vo 5%. BW=6.000*(1,05 4-1)/(0,05*1,05 4 )=21.275,70 Formel 7: Bestmmug der Retehöhe R = R = BW q Schwerer st de Berechug des Zssatzes. Dabe wrd de Glechug des Edwertes so umgeformt, dass sch ee Fukto f() mt dem Wert Null auf der ee Sete ud de übrge Varable auf der adere Sete stehe. Durch Dfferezerug f() erhält ma de erste Abletug f () daraus ka durch de Newtosche Iterato der Zssatz ermttelt werde, dem ma vo k de Quotete aus f( k ) ud f ( k ) abzeht bs deser Quotet Null st. Das Iteratosverfahre ach Newto führt schellstmöglch zum rchtge Zssatz.. De Abletug fuktoert auch mt dem Barwert (ur st da de Formel deutlch komplzerter). Für de Abletug st ee Excel-Tabelle zu empfehle, da ma sch bem Tascherecher scho ma vertppe ka. 6 De für de Uterehmesbewertug relevate sd kursv gesetzt.

6 - 6 - Formel 8: Zssatzermttlug eer edlche Rete f ( ) = + R 1 q q + 1 f '( ) = R 2 f ( k ) k + 1 = k f '( ) k f ( k ) = 0 f '( ) = Nullpukt k k + 1 k Bespel 8: Zssatz eer achschüssge Rete Aus 40 achschüssge Ezahluge vo soll e Edkaptal vo etstehe. K k q f( k ) f'( k ) f(k)/f'(k) 0 0,0600 1, , ,90-0, ,0716 1, , ,38 0, ,0701 1, , ,10 0, ,0701 1,0701 0, ,90 0, ,0701 1,0701 0, ,59 0,0000 Formel 9: Laufzet eer achschüssge Rete l(1 + ) = R l q R l( ) = R BW l q Bespel 9: Laufzet achschüssge Rete We oft ka ma aus eem Afagskaptal vo be 4% Zssatz ee Rete vo etehme? =l(1.000/( ,04*10.000))/l1,04=13,024 gerudet 13 Jahre 3.2. Ewge Rete De geometrsche Rehe west ee zetlche Begrezug auf. We se gege uedlch geht, ka de Summe durch folgede Formel berechet werde: Formel 10: Ewge Rete R BW = Bespel 10: Ewge Rete E Uterehme erwrtschaftet ee Überschuss vo Es st davo auszugehe, dass deser Erfolg auf Dauer achhaltg st. Der tere Zsfuß beträgt 8%

7 BW = R * / BW = / 0,08 BW = Bespel 11: Ewge Rete ach eer geometrsche Rehe Laut Progoserechug wrd m Detalprogosezetraum vo 3 Jahre e Ertrag vo jährlch erzelt, aschleßed st ee ewge Rete mt zu berückschtge, 9% Verzsug BW= BW Zetrete + abgezste ewge Rete BW = R 1 *(q -1)/(*q ) + R 2 / q - BW = * (1,09 3-1)/(0,09*1,09 3 ) /0,9*1,09-3 BW = , ,08 BW = ,03 We ee ewge Rete auf ee Zetrete folgt wrd der Praxs häufg der falsche Expoet für de Dskoterug gewählt. Das erste Gled der Zetrete wrd mt q 1 dskotert, das k-te mt q k. Ee ewge Rete ab Perode 1 wrd cht dskotert. D.h. mathematsch mt q 0, das etsprcht daher q 1-1. Ee ewge Rete ach 4 Jahre st daher cht mt q 4, soder mt q 4-1 zu dskotert. Bespel 12: Abzsug ewge Rete E Uterehmer erwartet folgede Ausschüttuge 2006: 700, 2007: 500, ud ab 2009: 400 Der tere Zsfuß beträgt 8% per EZ/AZ 700,00 500,00 300,00 400,00 Faktor 0,08 Bass 700,00 500,00 300, ,00 k q^-k 0, , , , BW ger 648,15 428,67 238, ,15 Summe 4.990,12 Würde de ewge Rete vo Afag a afalle, würde se cht abgezst, de ächste Tabelle zegt de Verschebug um jewels e Jahr EZ/AZ 400,00 400,00 400,00 400,00 Faktor 0,08 0,08 0,08 0,08 Bass 5.000, , , ,00 k q^-k 1 0, , , BW 5.000, , , ,16 Der Wert st daher rchtg we folgt zu bereche EZ/AZ 700,00 500,00 300,00 400,00 Faktor 0,08 Bass 700,00 500,00 300, ,00 k q^-k 0, , , , BW ger 648,15 428,67 238, ,16 Summe 5.284,13

8 Exkurs Autäterechug Für vele Aweduge (z.b. Leasg) beötgt ma ee Autäterechug. Da es sch dabe um Verbdlchkete hadelt sd de Zahluge vorschüssg. Autät: de Tlgug eer Kaptalschuld erfolgt glechmäßge Jahreszahluge. 7 Formel 11: Kaptalwert eer Autät BW = R * q Häufger kommt es vor, dass ma de glech blebede Autät bereche muss. Formel 12: Autäteberechug R = BW * q * Bespel 13: Berechug eer Autät E Kredt Hv ,00 soll be 3,5% Zse 5 Jahre a) glech hohe Rate; b) mt jährlch glech hoher Tlgug abgestattet werde. R = BW * q (q- 1 ) / (q 1) R = ,035 5 (1,035-1) / (1, ) R = ,07 Autät AB , , , , ,58 Kredt ,00 Autät , , , , ,07 Zs 1.750, , ,89 736,31 374,49 SB , , , , ,58 0,00 gleche Tlgug AB , , , , ,00 Kredt ,00 Tlgug , , , , ,00 Zs 1.750, , ,00 700,00 350,00 Zahlug , , , , ,00 SB , , , , ,00 0,00 7 Gabler, 11. Auflage Bd. 1

9 Formel 1 Edwert eer Ezahlug = BW * q Formel 2 Barwert eer Ezahlug BW = = * q q Formel 3 Ermttlug des Zssatzes = BW 1 Zusammefassug der Formel: Formel 4 Ermttlug der Laufzet l = BW l q Formel 5: Edwert eer achschüssge Rete = R = R Formel 6: Barwert eer achschüssge Rete BW = R q Formel 7: Bestmmug der Retehöhe R = q R = BW Formel 8: Zssatzermttlug eer edlche Rete f ( ) = + R 1 q q + 1 f '( ) = R 2 f ( k ) k + 1 = k f '( ) k f ( k ) = 0 f '( ) = Nullpukt k k + 1 k

10 Formel 9: Laufzet eer achschüssge Rete l(1 + ) = R l q R l( ) = R BW l q Formel 10: Ewge Rete R BW = Formel 11 Kaptalwert eer Autät BW = R * q Formel 12: Autäteberechug R = BW * q * Abkürzugsverzechs = Edwert BW = Barwert = Afagswert (= Ezahlug) q = Aufzsugsfaktor (=1+p/100) = 1 + = p/100 p = Zssatz k = Azahl der Jahre = Laufzet