Grundlagen der Rechnerarchitektur. Binäre Logik und Arithmetik

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1 Grundlagen der Rechnerarchitektur Binäre Logik und Arithmetik

2 Übersicht Logische Operationen Addition, Subtraktion und negative Zahlen Logische Bausteine Darstellung von Algorithmen Multiplikation Division Gleitkommazahlen Gleitkommaarithmetik Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 2

3 Logische Operationen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 3

4 AND, OR und XOR A B AND A B OR A B XOR Notationen: Notationen: Notation: Beispiele: AND OR XOR Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 4

5 NOT, NAND und NOR A NOT 0 1 Notationen: A B NAND A B NOR Beispiele: NOT NAND NOR Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 5

6 Rechenregeln auf logischen Ausdrücken Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz De Morgansche Regeln Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 6

7 Rechenregeln auf logischen Ausdrücken Rechnen mit den Konstanten 0 und 1 Doppelte Negation Kürzungsregeln Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 7

8 Logischer Links und Rechts Shift Logischer Links Shift b << x : Verschiebe Bits in b nach links, um den angegebenen Wert x. Die neuen leeren Stellen werden mit 0 aufgefüllt. Logischer Rechts Shift b >> x : Verschiebe Bits nach rechts, um den angegeben Wert x. Die neuen leeren Stellen werden mit 0 aufgefüllt. Links und Rechts Shift am Beispiel von 8 Bit Zahlen: << 1 = << 2 = >> 1 = >> 2 = Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 8

9 Was bedeutet Shift um i? Links Shift: Rechts Shift: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 9

10 Links und Rechts Rotation Links Rotation von b um x Stellen: Verschiebe Bits in b nach links, um den angegebenen Wert x. Die leeren Stellen werden mit den herausgeschobenen aufgefüllt. Rechts Rotation von b um x Stellen: Verschiebe Bits nach rechts, um den angegeben Wert x. Die leeren Stellen werden mit den herausgeschobenen aufgefüllt. Links und Rechts Rotation am Beispiel von 8 Bit Zahlen: Links Rotation um 2 Stellen: > Rechts Rotation um 2 Stellen: > Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 10

11 Addition, Subtraktion und negative Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 11

12 Addition und Subtraktion von binären Zahlen Beispiel C = A + B: (Carry) (A) (B) = (C) Beispiel C = A B: (A) (B) (Carry) = (C) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 12

13 Darstellung von negativen binären Zahlen Beobachtung für eine beliebige Binärzahl B, z.b. B=110010: B + NOT(B) = B + NOT(B) 1 + (Carry) Also gilt: Bezeichnung: B = Einerkomplement, B+1 = Zweierkomplement Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 13

14 Quiz Zweierkomplement Binärzahl B= als Dezimalzahl? Was ist die Dezimalzahl 7 als Binärzahl B in Zweierkomplement? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 14

15 Subtraktion von binären Zahlen nochmal Beispiel C = A B: (A) (B) Bestimme Zweierkomplement zu B, also B: Also ist C: (Carry) (A) (-B) = (C) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 15

16 N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl = = -3 MSB bestimmt das Vorzeichen. MSB=0 bedeutet nicht negativ, MSB=1 bedeutet negativ. Beispiel vorzeichenbehaftete 8 Bit Binärzahlen: Beispiel: 16 Bit = = = = = = = = = = = = -1 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 16

17 Nicht vorzeichenbehaftete Zahlen (unsigned) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl = = MSB bestimmt das Vorzeichen nicht. Zahl ist immer nicht negativ. Beispiel nicht vorzeichenbehaftete 8 Bit Binärzahlen: Beispiel: 16 Bit = = = = = = = = = = = = 255 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 17

18 Signed N Bit Binär in Dezimal umrechnen Beispiel 8 Bit Binärzahl B: binär ist dezimal: Beobachtung für folgende 8 Bit Zahl C (Erinnerung: binär ist 128): Also für signed n Bit Binärzahl b = b n 1 b n 2... b 0 gilt: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 18