Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin

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1 Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 5. April 2017 Suchbäume I Andrew D. Booth Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Uebersicht Binary MaxHeap-Technik für Sortieren eingeführt: einmaliges Einfüllen, Bauminhalt selbst ist nur teilweise geordnet. Neues Ziel: vollständig geordnete Bäume für schnelle Suche Elemente mit O(log n) zur Laufzeit einfügen, entfernen, etc aber ohne die Sortierung zu verlieren. Binäre Suchbäume (1960) ALV-Baum (1962) Mehrweg-Suchbaum, insb. (2,4)-Baum Rot-Schwarz-Baum (1972) B-Baum (1971)

2 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Wiederholung Was ist der springende Punkt von Quicksort? Wie kann man in linearer Zeit sortieren? welcher Trick verwendet von Radix-Sort? was ist ein Nachteil (z.b. gegenüber Merge-/Quicksort)? War Heapsort wirklich so schlecht? zwar keine Rekursion und in-place, aber schlechte Datenlokalität Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Vorwegnahme Resultat Suchbäume ordered operations = suchen, einfügen, Minimum finden, Maximum finden, grösstes- Element-kleiner-als-X, kleinstes-element-grösser-als-x, Anzahl- Elemente-kleiner-als-X, Zugriff-via-Position, Minimum löschen, Maximum löschen, löschen, Anzahl-Element-zwischen-X-und-Y.

3 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Symboltabellen-ADT (key-val store) Geordnete Suchbäume eigenen sich zur Implementierung von sog. Symboltabellen, d.h. Schlüsselwert ist ein Symbol. In Datenbank-Terminologie auch key-value store : 1 public class KeyValueStore<Key, Value> { 2 void put(key key, Value val); 3 Value get(key key); 4 void delete(key key); 5 boolean contains(key key); 6 boolean isempty(); 7 Key min(); 8 Key max(); } Wird auch assoziatives Feld genannt: Statt Integer- Index kann beliebiger Schlüssel verwendet werden, z.b. a["str"] = "Spiegelgasse"; Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Symboltabelle mit verkett. Liste oder Feld Schon gesehen: (Doppelt) verkettete Liste Suche ist O(n) Einfügen und Löschen ebenfalls Verwende zwei Felder (je eines für Schlüssel und Werte): Feld für die Schlüssel wird sortiert gehalten Suche in O(log n) Einfügen und Löschen weiterhin O(n) Kann mit Bäumen mehr herausgeholt werden?

4 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Definition Binärer Suchbaum (BST) BST = binary search tree Binärer Suchbaum = Binärer Baum, bei dem für jeden internen Knoten K gilt: alle Schlüssel in seinem linken Teilbaum sind kleiner als der Schlüssel von K, alle Schlüssel im rechten Teilbaum grösser als der Schlüssel von K. Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Binäre Suche im Baum 1 Node findposition(node pos, Key key) 2 { 3 if (BST.isLeaf(pos)) 4 return pos; // (Kandidat) gefunden 5 Key curkey = BST.key(pos); 6 if (key < curkey) 7 return BST.findPosition(BST.left(pos)); 8 if (key > curkey) 9 return BST.findPosition(BST.right(pos)); 10 return pos; // (Kandidat) gefunden 11 } Bemerkung: Liefert Kandidaten -Knoten Aufrufer muss prüfen, ob der angefragte Schlüssel auch wirklich passt.

5 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Einfügen im binären Suchbaum (1/2) Zwei Phasen: Phase 1: Suche ob Knoten vorhanden mittels findposition() w sei die zurückgegebene Position. Phase 2: Einfügen Falls w ein Blatt ist, kann dort direkt eingefügt werden (expandexternal()) Sonst existiert schon ein Knoten. Falls anderer Schlüssel: Aufruf von findposition() auf rechtem Kind und rekursives Anwenden von Phase 2. Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Einfügen im binären Suchbaum (2/2)

6 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Löschen im BST (1/3): 3 Fälle Baustein als Vorbereitung: deletemin() rekurs. Prozedur, gibt neuen Unterbaum zurück. Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Löschen im BST (1/2): Hibbards Ansatz Ansatz (Hibbard): Ersetze Knoten durch seinen Nachfolger 1. Sei t Variable mit Zeiger auf zu löschenden Knoten 2. Sei x Variable mit Zeiger auf Nachfolger min(t.right) 3. Setze rechtes Kind von x auf deletemin(t.right) (dies entfernt x aus dem Baum) Die Kinder im rechten Unterbaum sind (weiterin) alle grösser als x.key 4. Setze linkes Kind von x auf t.left In diesem Unterbaum sind alle Schlüssel kleiner als x.key und dessen Nachfolger. Schliesslich: x ersetzt t (im Elternknoten von t). Auch mit Vorgänger möglich, am besten zufällig wählen.

7 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Löschen im BST (2/2): Nachfolger vor! Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Ordered Operations im BST Diskussion: Die Kosten aller Operationen im binären Suchbaum sind proportional zur Tiefe des Baums. Im Idealfall ist der Baum balanciert führt zu O(log n) Bösartiges Einfügen und Löschen kann aber dazu führen, dass der binäre Suchbaum degeneriert linked List Deshalb gilt O(n) für BST

8 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Andrew Donald Booth ( ) Engländer. Verlässt Uni Cambridge ohne Abschluss, dann externer Abschluss Universität London, Promotion Uni Birmingham in Röntgenkristallographie. Baut dort wegen vielen Rechnungen den ersten Computer von Grossbritanien. Stipendium für Princeton, USA Besuch der Gruppe von John von Neumann zurück in England: erster Magnettrommelspeicher (1948) Booth-Multiplizieralgorithmus: effiziente Integermultiplikation mit log. Gatter (1951) Arbeiten in Uebersetzung (natürlicher) Sprachen (1955) Erfindet mit Windley, Colin und Hibbard die BST (1960) Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (1/8) AVL-Suchbaum = binärer Suchbaum, der weitgehend ausgeglichen ist. D.h. für jeden internen Knoten sind die Höhen der Teilbäume seiner Kinder höchstens um 1 verschieden. (AVL = Adel son-vel skii & Landis, 1962). Verhindern eines degenerierten Baumes durch sofortiges Korrigieren bei Ungleichgewicht bei Einfügen bei Löschen Ausgleich muss mit konstantem Aufwand erfolgen (Alternativ: amortisierter Aufwand)

9 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (2/8): Beispiel Beispiel ausgeglichener Baum (Höhen sind rot eingezeichnet) Betrachte nun Einfügen von Schlüssel Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (3/8): Einfügen Neues Element führt zuerst zu unbalanciertem Baum (Knoten 78 und 44 sind nicht ausgeglichen) Durch Beförderung von Knoten 62 (und Degradierung von 78) wird Baum wieder ausgeglichen.

10 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (4/8): Wie ausgleichen? Es sei x der erste Knoten auf dem Weg zur Wurzel dessen Grosselternknoten z nicht ausgeglichen ist. Knoten y sei der dazwischenliegende Elternknoten von x bzw. Kindknoten von z. Der Teilbaum, der an y hängt, ist zu schwer. Vier mögliche Konfigurationen: Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (5/8): Ausgleich-Algo Sei a, b und c eine Inorder-Nummerierung der Knoten x, y und z. Sei T 0, T 1, T 2, T 3 eine Inorder-Nummerierung der 4 Teilbäume, die an x, y und z hängen, aber nicht an diesen Knoten verwurzelt sind. Ersetze den Teilbaum mit Wurzel z durch einen neuen Teilbaum mit Wurzel b. Knoten a wird linkes Kind, Knoten c wird rechtes Kind von b. T 0, T 1 sind die Teilbäume von a, T 2, T 3 diejenigen von c. Wir schauen im Folgenden nur zwei der vier Fälle an.

11 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (6/8): Rechte Kette Zur Erinnerung: z ist nicht ausgeglichen und der Teilbaum x ist zu schwer. Wie die Höhe verkleinern? Ansatz: Hänge die drei Knoten z, y, x neu an y auf statt z. Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (7/8): Rechter Winkel Ansatz: zuerst b befördern, d.h. c degradieren entstandene Kette in der Mitte statt links anhängen

12 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 AVL-Suchbaum (8/8): Komplexität, WBT Einsetzen und Löschen ist nun O(n log n) Baum kann aber einseitig sein (Geschwisterknoten mit sehr unterschiedlicher Knotenzahl) Rot-Scharz-Bäume (siehe später) haben das gleiche Problem weight-balanced binary trees (WBT) WBT von grosser Bedeutung für funktionale Sprachen (Haskell, Scheme) Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Mehrweg-Suchbaum (1/6): multiway Geordnete Bäume (i.a. nicht binär) Eigenschaften von d-bäumen: Jeder interne Knoten hat mindestens 2 Kinder Jeder interne d-knoten speichert eine Folge von d 1 Einträgen < S i, E i >, wobei S 1 S 2... S d 1. Es seien ferner S 0 = und S d = + zwei implizite Schlüssel. Seien v 1, v 2,..., v d die Kinder eines d-knotens v. Für alle Einträge < S, E >, die in den Teilbäumen mit Wurzel v i liegen, gilt: S i 1 S S i, i = 1,..., d. Ein BST ist ein 2-Baum (ein Schlüssel und zwei Kinder)

13 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Mehrweg-Suchbaum (2/6): Beispiel Beispiel eines 2-3 Baumes (enthält sowohl 2-Knoten also auch 3-Knoten) Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Mehrweg-Suchbaum (3/6): (2-4)-Baum Spezieller Mehrweg-Suchbaum: (2-4) Baum Jeder Knoten hat mind. 2 und höchstens 4 Kinder. Alle Blätter haben dieselbe Tiefe.

14 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 (2-4)-Suchbaum (4/6): Einfüg-Algo Normalfall: Einfügen in bestehenden Knoten Baumtiefe bleibt unverändert Ueberlauf: Es sei S 1, S 2, S 3 und S 4 die fiktive Einordnung des neuen Schlüssels mit den 3 schon vorhandenen Schlüsseln von Knoten v. Knoten v durch 2 Knoten v 1 und v 2 ersetzen. v 1 erhält S 1 und S 2 ; v 2 erhält S 4. S 3 nach oben geben: Falls v die Wurzel ist, neuen Knoten erzeugen, sonst S 3 am Elternknoten einordnen. Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 (2-4)-Suchbaum (5/6): Bsp Einfügen

15 Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 (2-4)-Suchbaum (6/6): Bsp Einfügen Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 5. April / 30 Rot-Schwarz-Baum nächste Lektion