Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Transkript

1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg

2 : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 5 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte

3 Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebsund volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 63

4 Einführung Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 zwei Produkte P 1, P 2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 Grafisch dargestellt: F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 P 1 P 2 64

5

6 Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Fragen: Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten Marktforschung 65

7 Definitionen Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n A =.... a i1 a i2... a ij... a in = (a ij ) m,n.... a m1 a m2... a mj... a mn mit m, n N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m n-matrix (Im Folgenden: a ij R). a 11,..., a mn heißen Komponenten der Matrix. Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der a ij steht. i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von a ij. Sind alle Komponenten a ij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix. 66

8 Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix ( A T ) T = A 67

9 Beispiel transponierte Matrix a) A = ( ) A T = b) A T = ( A ) T T = A =

10 Vektoren Definition n 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a = a 1. a n 1 n-matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: a T = (a 1,..., a n ) 69

11 Geometrische Veranschaulichung von Vektoren a ( ) a 2 1 ( 1 2) 1 ( ) 0 1 a 1 a 3 a

12 Relationen zwischen Matrizen Definition Seien A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n reelle Matrizen mit übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n. Dann wird definiert: A = B a ij = b ij für alle i = 1,..., m, j = 1,..., n A B a ij b ij für mindestens ein Indexpaar (i, j) A B a ij b ij (i, j) A < B a ij < b ij (i, j) Entsprechend A B und A > B. 71

13 Spezielle Matrizen Definition a) A = (a ij ) n,n heißt quadratisch b) A = (a ij ) n,n mit A = A T heißt symmetrisch c) A = (a ij ) n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder a ij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) d) A = (a ij ) n,n heißt Diagonalmatrix, wenn a ij = 0 für alle i j e) A = (a ij ) n,n heißt Einheitsmatrix, wenn a ii = 1 für alle i und a ij = 0 für alle j j 72

14 Addition und Subtraktion von Matrizen Definition Gegeben: A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n. Dann gilt: Addition: A + B = (a ij ) m,n + (b ij ) m,n = (a ij + b ij ) m,n Subtraktion: A B = (a ij ) m,n (b ij ) m,n = (a ij b ij ) m,n Damit: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw. Spaltenzahl nicht übereinstimmen 73

15 Skalare Multiplikation Definition Beispiel: Gegeben: A = (a ij ) m,n und r R (Skalar). Dann gilt: r A = r (a ij ) m,n = (r a ij ) m,n = (a ij r) m,n = A r Außerdem gilt: 5 ( ) 1 2 = 3 5 ( 5 ) (rs)a = r(sa) (Assoziativgesetz) (r + s)a = ra + sa (Distributivgesetz) r(a + B) = ra + rb 74

16 Matrixmultiplikation A B Gegeben: A = (a ik ) m,p und B = ( b kj )p,n. Dann gilt: = (a ik ) n,p (b ) kj p,q ( p ) = a ik b kj k=1 n,q Merke: Zeile mal Spalte! a 21 b a 22 b 22 a 11 a a 1p a 21 a a 2p a n1 a n2... a np a 2p b p2 B : p Zeilen q Spalten b 11 b b 1q b 21 b b 2q b p1 b p2... b pq c 11 c c 1q c 21 c c 2q c n1 c n2... c nq A : n Zeilen p Spalten C = A B : n Zeilen q Spalten Quelle Grafik: Alain Matthes, altermundus.com 75

17

18 Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrixmultiplikation A = (m n)-matrix, B = (n m)-matrix es existiert A B und B A A quadratisch A A = A 2 existiert A, B quadratisch A B existiert und B A existiert. Aber: Im Allgemeinen A B B A Ist E Einheitsmatrix, dann gilt: Spezielle Rechenregeln A E = E A = A A = (m p)-matrix, B = (p n)-matrix. Damit gilt: A B und B T A T existieren. B T A T = (A B) T A T A AA T ist symmetrische (p p)-matrix und ist symmetrische (m m)-matrix 76

19