Grundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe

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1 Grundwissenktlog / g8 Geometrie /. Jhrgngsstufe Die folgende ufstellung enthält mthemtishe Grundfertigkeiten, die ein Shüler nh der. Jhrgngsstufe eherrshen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jhren im Unterriht erwrtet und ls Grundlge vorusgesetzt, knn deshl niht noh einml wiederholt werden. Symole und ezeihnungen geometrishe Ojekte Punkt,,,... Punktmengen Gerde durh Punkte g =, h = Streke mit nfngspunkt und Endpunkt s = [] Länge der Streke l = Hlgerde durh mit nfngspunkt h = [[ Winkel mit S ls Sheitel, und uf je α = < ) (S) einem Shenkel Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius r k(m; r) Dreiek () stnd eines Punktes von einer Gerden g d(; g) Mengensymole Zur eshreiung geometrisher Zusmmenhänge liegt uf g Shnitt Punkt liegt uf g und uf h Vereinigung Punkt liegt uf g oder h (oder uf eiden) ist Teilmenge von Jeder Punkt us liegt uh in ist ehte Teilmenge von Jeder Punkt us liegt in, er es git noh Punkte in, die niht in liegen nlog: ist Oermenge von : ist ehte Oermenge von : g g h g h g h g h ussgenlogik und und müssen gleihzeitig erfüllt sein, siehe Shnitt oder oder (oder eide) müssen erfüllt sein, siehe Vereinigung niht drf niht erfüllt sein LTG Grundwissenktlog Geometrie /. Jhrgngsstufe /

2 drus folgt us folgt genu dnn us folgt und us folgt Klssifizierung von Winkeln 0 α < 90 spitzer Winkel α = 90 rehter Winkel 90 < α < 80 stumpfer Winkel α = 80 gestrekter Winkel 80 < α < 0 üerstumpfer Winkel α = 0 Vollwinkel Grundkonstruktionen Lot uf eine Gerde durh einen Punkt Mittelsenkrehte Winkelhlierende Prllele zu einer Gerden (zwei Lote) Dreieke esondere Dreieke Größen im Dreiek 8 m α s h gleihshenklig: zwei Seiten des Dreieks sind gleih lng rehtwinklig: ds Dreiek esitzt einen rehten Winkel gleihseitig: lle drei Seiten des Dreieks sind gleih lng h : Höhe, verläuft durh die Eke und steht senkreht uf der gegenüerliegenden Seite (im stumpfwinkligen Dreiek liegt die Höhe ußerhl) s : Seitenhlierende, verläuft durh und den Mittelpunkt der Seite m : Mittelsenkrehte, verläuft durh den Mittelpunkt der Streke und steht senkreht uf w α : Winkelhlierende des Winkels α. wα m s h wα LTG Grundwissenktlog Geometrie /. Jhrgngsstufe /

3 Sätze im Dreiek Winkelsumme Winkelsumme im Dreiek: α + + = 80 Umkreis Inkreis Shwerpunkt Höhenshnittpunkt Gleihshenkliges Dreiek 8 h 8 - Gleihseitiges Dreiek Rehtwinkeliges Dreiek Die Mittelsenkrehten shneiden sih in einem Punkt, dies ist der Mittelpunkt des Umkreises. Die Winkelhlierenden shneiden sih in einem Punkt, dies ist der Mittelpunkt des Inkreises. Die Seitenhlierenden shneiden sih in einem Punkt, dies ist der Shwerpunkt des Dreieks. Die Höhen shneiden sih in einem Punkt. ei spitzwinkligen liegt der Shnittpunkt im Dreiek, ei rehtwinkligen uf dem Dreiek, ei stumpfwinkligen ußerhl. Wenn und gleih groß sind, heißt sis, α und siswinkel. = α = h = s = w Dreiek gleihshenklig siswinkel sind gleih groß Höhe, Seitenhlierende, Winkelhlierende fllen zusmmen Ds Dreiek ist hsensymmetrish mit h ls Symmetriehse = = Dreiek gleihseitig α = = = 0 lle drei Winkel sind gleih groß. h = s = w = m Höhe, Seitenhlierende, Winkelhlierende und Mittelsenkrehte fllen zusmmen Ds Dreiek ist hsensymmetrish mit llen drei Höhen (Mittelsenkrehten...) ls Symmetriehse. Wenn = 90, dnn heißt Hypothenuse, und heißen Ktheten = 90 Dreiek rehtwinklig h und h sind die eiden Ktheten (Seiten) des Dreieks LTG Grundwissenktlog Geometrie /. Jhrgngsstufe /

4 Stz von Thles (gilt nur im rehtwinkligen Dreiek) = 90 liegt uf dem Hlkreis üer [] ußenwinkelstz α' α 0 In jedem Dreiek ist jeder ußenwinkel so groß wie die Summe der eiden niht nliegenden Innenwinkel. ußenwinkel α = Kongruenzsätze SSS Stz α 8 9 Zwei Dreieke sind kongruent (dekungsgleih), wenn sie in llen drei Seiten üereinstimmen. ndere Formulierung: Wenn lle drei Seiten gegeen sind, knn mn ein Dreiek eindeutig konstruieren Gegeen:,, SWS Stz Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem dzwishenliegenden Winkel üereinstimmen. Gegeen:,, α LTG Grundwissenktlog Geometrie /. Jhrgngsstufe /

5 WSW Stz oder SWW Stz α SsW Stz α Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in zwei Winkeln und einer Seite üereinstimmen. Gegeen: α,, Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüerliegenden Winkel üereinstimmen. Gegeen:,, Winkel n Gerden Shnitt zweier Gerden Sheitelwinkel sind gleih groß Neenwinkel ergänzen sih zu 80 - Doppelkreuzung g h 8 - Wenn g h, dnn gilt: Stufenwinkel sind gleih groß (hier:, lu) Wehselwinkel sind gleih groß (hier:, rot) Umgekehrt: Wenn Stufenwinkel (wenn Wehselwinkel) gleih groß sind, dnn gilt g h. LTG Grundwissenktlog Geometrie /. Jhrgngsstufe /