Cramersche Regel. Satz Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei. A j := (a 1,...,a j 1,b,a j+1,...
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- Franka Sternberg
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1 Cramersche Regel Satz 2.4. Es sei A R n n eine quadratische Matrix mit det(a) 0. Für ein LGS Ax = b sei A j := (a,...,a j,b,a j+,...,a n ) also die Matrix, die entsteht, wenn in A die j-spalte durch den Vektor b ersetzt wird. Dann gilt für die eindeutige Lösung x = (x j ) R n des Gleichungssystems Ax = b: x j = det(a j) det(a) Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS 203 9
2 Beispiel 2.5. Wir betrachten das LGS aus Beispiel 2. (a). Die Determinate det(a) = 6 haben wir bereits in Beispiel 2.4 berechnet. det(a ) = det = = 0 det(a 2 ) = det = = 6 det(a 3 ) = det = = 6 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
3 Daraus folgt x = 0 6 = 0, x 2 = 6 6 =, x 3 = 6 6 = Beispiel 2.6. Java-Methode zur Lösung von LGS der Größe 3 3, siehe Homepage. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS 203 2
4 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel x + 2x 2 + x 3 = 2 2x + 6x 2 + x 3 = 4 x + x 2 + 8x 3 = = (2) 2 () (3) 4 () 4x + 2x 2 + x 3 = 2 5x x 3 = 3 2 x x 3 = 2 4x = + 2x 2 + x 3 = 2 (3) 0 (2) 5x x 3 = x 3 = 5 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
5 Daraus ergibt sich x 3 = 2 77, x 2 = 5 (3 77 ) = 46 77, x = 92 ( ) = 5 77 Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
6 Pivotisierung Für a,b R mit a groß und b klein ist die Berechnung von a b schlecht konditioniert, d.h. ein Rundungsfehler bei der Darstellung von b wird verstärkt. Deshalb: Pivotisierung durch Zeilenvertauschung Für die verbleibenden Zeilen sucht man in der zu bearbeitenden Spalte nach dem betragsgrößten Element (Pivotelement) und führt eine Zeilenvertauschung durch. Die Zeile, die das Pivotelement enthält, heißt Pivotzeile. Bemerkung: In Beispiel 2.7 war keine Pivotisierung erforderlich. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
7 Gaußscher Algorithmus Äquivalente Umformungen eines LGS: Addition des Vielfachen einer Zeile (Gleichung) zu einer anderen, Vertauschung von Zeilen (Gleichungen), Multiplikation einer Zeile (Gleichung) mit einer Zahl ungleich null. Bemerkung: Wir wollen mit dem Gaußschen Algorithmus auch r(a) bzw. r(a b) bestimmen. Deshalb schränken wir A nicht weiter ein, insbesondere sind auch Nullspalten und nicht-quadratische Matrizen zugelassen. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
8 Algorithmus 2... Initialisiere den Zeilenzähler k =. 2. Suche nach der ersten Spalte j mit (a kj,...,a mj ) 0 und tausche die Pivotzeile mit der k-ten Zeile. Anschließend ist a kj das Kopfelement der k-ten Zeile. 3. Für i = k +,...,m: Durch a i := a i a ij a kj a k Nullen unter dem Kopfelement a kj erzeugen. 4. Falls k < m, dann k := k+ und weiter mit 2. Ansonsten weiter mit Dividiere alle Nicht-Null-Zeilen durch deren Kopfelement. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
9 Zeilen-Stufen-Form 0 0 # b 0 0 # b # b # b r 0. 0 b r b m # Kopfelement, beliebige Zahlen r(a) = r(a b) = r gdw. b r+ = = b m = 0. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
10 Beispiel 2.8. Wir betrachten das LGS 2x + 4x 2 8x 3 + 6x 4 + 2x 5 = 4 x + 2x 2 3x 3 + 6x 4 + 2x 5 = 6 x + 2x 2 2x 3 + 7x 4 + x 5 = 9 3x + 6x 2 6x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 27 Mit dem Gaußschen Algorithmus ergibt sich = Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
11 = = Die eingerahmten Elemente sind die Kopfelemente. Nicht-Kopfspalten sind die Spalten 2 und 5, so dass wir x 2 = s und x 5 = t als freie Parameter wählen. Damit ergibt sich 2x 4 2x 5 = x 4 = 2 ( 2t) = 2 t x 3 +3x 4 +x 5 = 4 x 3 = 4 3( 2 t) t = t Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
12 2x +4x 2 8x 3 +6x 4 +2x 5 = 4 x = 2 (4 4s+20+6t 3+6t 2t) = 2 2 2s+0t also x = 2 2 2s+0t s t 2 t t = s t s,t R Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
13 Gaußscher Algorithmus für reguläre Matrizen Für eine quadratische Matrix A R n n mit det(a) 0 (eine sogenannte reguläre Matrix) entsteht beim Gaußalgorithmus ein Dreiecksschema a, a,2 a,n a,n b 0 a 2,2 a 2,n a 2,n b a 3,n a 3,n b a n,n b n mit a k,k 0 für k =,...,n. Daraus ergeben sich die Lösungen x k = b k n j=k+ a k,jx j a k,k für k = n,..., Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS 203 3
14 Matrixzerlegung Die beiden Operationen (a) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen und (b) Vertauschung von Zeilen entsprechen der Multiplikation von A mit sogenannten Elementarmatrizen. Alle Elementarmatrizen von Operation (a) zusammen ergeben eine untere Dreiecksmatrix L, das Ergebnis ist eine obere Dreiecksmatrix R. In diesem Fall gilt daher LA = R bzw. A = L R Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
15 (LR-Zerlegung). Nutzt man zusätzlich Pivotisierung, kann dies durch eine Matrix P ausgedrückt werden. Es gilt dann LPA = R bzw. Hierbei gilt PA = L R det(l) = det(l ) = det(p) = ± det(r) = n i= r i,i womit det(a) einfach berechnet werden kann. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
16 Elementarmatrizen Definition 2.6. Die Elementarmatrix R k,l (α) = (r ij ) R n n mit k l ist definiert durch: r ij = für i = j α für i = k und j = l 0 sonst Beispiel 2.9. R 2, ( 2 ) = , R 3, ( 4 ) = Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
17 Wirkungsweise: R k,l (α) A addiert das α-fache der l-ten Zeile zu Zeile k. A R k,l (α) addiert das α-fache der k-ten Spalte zu Spalte l. Eigenschaften: det(r k,l (α)) = Das Matrixprodukt von Elementarmatrizen R k,l (α) mit k > l ist eine untere Dreiecksmatrix mit en auf der Hauptdiagonale. Die Matrix L für die Zerlegung LA = R ensteht durch die Multiplikation von Elemantarmatrizen mit k, l und α gemäß Gaußschem Algorithmus. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
18 Es gilt (R k,l (α)) = R k,l ( α) Damit lässt sich die inverse der Matrix L sehr leicht bestimmen. Beispiel Zerlegung der Koeffizientenmatrix A von Beispiel 2.7: R 3,2 ( 0 ) R 3,( 4 ) R 2,( 2 ) = = Die linke Matrix ist die Matrix L der Zerlegung, die rechte Matrix die Matrix R. Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
19 Wegen det(l) = folgt auch det(a) = n i= r i,i = = 54 Weiterhin ergibt sich A = = R 2, ( 2 ) R 3,( 4 ) R 3,2( 0 ) = Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
20 2. Mathematische Grundlagen der Linearen Programmierung Zusammenfassung Zusammenfassung Vektorraum als Basisstruktur für Berechnungen Bestimmung der Lösbarkeit von LGS mit Hilfe von r(a) bzw. r(a b) Determinante und Cramersche Regel für sehr kleine, eindeutig lösbare LGS Allgemeiner Lösungsalgorithmus: Gaußscher-Algorithmus Operations Research I Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, SS
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