Grundlagen-Vertiefung PW3. Kristalle und Kristallstrukturen Version von 15. Oktober 2013

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1 Grundlagen-Vertiefung PW3 Kristalle und Kristallstrukturen Version von 15. Oktober 2013

2 Kristalle besitzen einen geordneten und periodischen Gitteraufbau. Die überwiegende Mehrzahl der anorganischen Festkörper besitzt eine kristalline Struktur, dazu gehören die Metalle, kovalent gebundene Stoe wie Quarz, Diamant, die meisten Mineralien, sowie Ionenkristalle ("Salze"). Amorphe Festkörper mit mehr oder weniger regellosem Aufbau entstehen meist unter speziellen Bedingungen, so kann z.b. SiO 2 je nach Abkühlbedingungen aus der Schmelze kristallinen Quarz oder amorphes Quarzglas bilden. Geometrisch werden Kristalle mit Hilfe eins Punktgitters beschrieben. Das ist zunächst ein abstrakter mathematischer Begri. Ein dreidimensionales Punktgitter besteht aus der Menge aller Punkte im Raum R 3, deren Ortsvektoren ganzzahlige Linearkombinationen dreier fester, linear unabhängiger Vektoren (der sogenannten Basis des Gitters) sind, also x = u a + v b + w c wobei a, b, c die Basisvektoren des Gitters sind und u, v, w alle ganzen Zahlen durchlaufen (Abb. 1). Abbildung 1: dreidimensionales Punktgitter Das von den Basisvektoren aufgespannte Volumen heiÿt (primitive) Einheitszelle, geometrisch ein Parallelepiped. Es stellt die kleinste Einheit des Gitters dar, welche sich periodisch wiederholt. Sie ist aber nicht eindeutig deniert. Man kann durch eine Basistransformation zu einer anderen Gitterbasis übergehen, die zugehörige primitive Einheitszelle besitzt eine andere Gestalt, aber das gleiche Volumen. Ein einfaches Modell soll dies anhand eines zweidimensionalen Gitters veranschaulichen (Abb. 2)

3 Abbildung 2: Einheitszellen im zweidimensionales Gitter Eine nichtprimitive Einheitszelle wird von Gittervektoren erzeugt, enthält aber zusätzliche Gitterpunkte im Inneren. 1 In der Kristallographie wird häug eine nichtprimitive Einheitszelle zur Beschreibung eines Gitters verwendet, wenn diese die Symmetrieeigenschaften besser wiederspiegelt. Dann muss explizit angegeben werden, wo sich die zusätzlichen Gitterpunkte benden. Das Gitter ist, wie oben gesagt, ein abstraktes mathematisches Konzept. Eine reale Kristallstruktur entsteht, wenn jedem Gitterpunkt ein Atom oder eine Gruppe von Atomen zugeordnet wird. Sitzen an allen Gitterpunkten identische Atome, so spricht man von einem einfachen Bravaisgitter. Jede Einheitszelle enthält dann genau ein Atom, denn die 8 Atome an den Ecken (im dreidimensionalen Fall) gehören jeweils 8 aneinandergrenzenden Einheitszellen an und zählen daher jeweils zu 1/8. Einfache Bravaisgitter sind nur bei reinen chemischen Elementen möglich, nicht bei Verbindungen; jedoch treten auch bei Reinelementen kompliziertere Kristallstrukturen mit mehreren Atomen pro Einheitszelle auf. So besitzt das Metall Mangan eine Kristallstruktur mit 58 (!) Atomen in der Einheitszelle. Bei Proteinkristallen kann die Zahl der Atome pro Einheitszelle viele tausende betragen. Es zeigt sich, dass es im Dreidimensionalen genau 14 Typen von Bravaisgittern gibt. Hinsichtlich ihrer Symmetrie (Invarianz gegenüber Drehungen und Spiegelungen, also orthogonalen Transformationen) verteilen sie sich auf 7 Kristallsysteme: triklin, monoklin, orthorombisch, tetragonal, rhomboedrisch, hexagonal und kubisch. Das am höchsten symmetrische kubische System umfasst drei Bravaisgitter, die sich alle durch eine Einheitszelle in Gestalt eines Würfels beschreiben lassen. In einem der drei Gitter stellt der Würfel eine primitive Einheitszelle dar, in den beiden anderen eine nichtprimitive. einfach kubisches Gitter Der Würfel ist die primitive Einheitszelle, die Atome sitzen an den Ecken. Diese 1 Periodische Wiederholung einer nichtprimitiven Einheitszelle erzeugt ein Untergitter des gegebenen Gitters

4 Struktur tritt in der Natur sehr selten auf, das einzige bekanntere Beispiel ist das radioaktive Metall Polonium. kubisch raumzentriertes Gitter Der Würfel ist eine nichtprimitive Einheitszelle, ein Zusatzatom sitzt im Zentrum. Die kubische Zelle enthält also 2 Atome. Abbildung 3: kubisch-raumzentrierte Einheitszelle Dieses Gitter besitzen unter anderm Eisen, Chrom, Molybdän, Wolfram, Vanadium, Tantal, Natrium. kubisch ächenzentriertes Gitter Der Würfel ist wiederum nichtprimitive Einheitszelle, die Zusatzatome sitzen in den Mittelpunkten der Seitenächen. Diese gehören jeweils 2 aneinandergrenzenden Zellen an, die Einheitszelle enthält daher 8*(1/8)+6*(1/2) = 4 Atome. Abbildung 4: kubisch-ächenzentrierte Einheitszelle - 2 -

5 Das ist unter anderem die Gitterstruktur von Aluminium, Kupfer, Silber, Gold, Blei und Nickel. Die kubisch-ächenzentrierte Struktur läÿt sich auch mittels einer primitiven Einheitszelle beschreiben. Sie wird von den Vektoren aufgespannt, die von einer Ecke zu drei benachbarten Flächenmittelpunkten zeigen, also [ 1, 1, 0], [ 1, 0, 1], [0, 1, 1 ], und bildet ein Rhomboeder mit Winkeln von 60. Abb. 5 zeigt die geometrische Lage der rhomboedrischen primitiven Zelle zur kubischen Standardzelle. Abbildung 5: Beziehung zwischen der primitiven und der kubischen Einheitszelle Bitte beachten Sie, dass sowohl das kubisch-raumzentrierte wie das kubisch-ächenzentrierte Gitter einfache Bravais-Gitter sind. In beiden Fällen existiert eine primitive Einheitszelle, auch wenn aus Symmetriegründen zur Beschreibung gerne die nichtprimitive kubische Zelle herangezogen wird. Bei komplizierteren Kristallstrukturen ist es dagegen gar nicht möglich, eine Einheitszelle mit nur einem Atom zu nden. Ein Beispiel wäre die hexagonal dichtgepackte Struktur, die sich ebenfalls bei vielen Metallen ndet, z.b. bei Zink und Magnesium