Theorie der Informatik
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1 Theorie der Informatik 2. Beweistechniken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 18. Februar 2015
2 Beweis Beweis Ein Beweis leitet die Korrektheit einer mathematischen Aussage aus einer Menge von Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen her. Er besteht aus einer Reihe von Beweisschritten, von denen jeder unmittelbar aus den gegebenen Voraussetzungen und den bisherigen Schritten einsehbar ist.
3 Beweis Beweis Ein Beweis leitet die Korrektheit einer mathematischen Aussage aus einer Menge von Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen her. Er besteht aus einer Reihe von Beweisschritten, von denen jeder unmittelbar aus den gegebenen Voraussetzungen und den bisherigen Schritten einsehbar ist. Beweistechniken Direkter Beweis Indirekter Beweis, Beweis durch Widerspruch Vollständige Induktion...
4 Direkter Beweis
5 Direkter Beweis Direkter Beweis Direkte Ableitung der Aussage durch Folgern oder Umformen.
6 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C).
7 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Wir zeigen zunächst, dass x A (B C) impliziert, dass x (A B) (A C) (Hinrichtung, ):...
8 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Wir zeigen zunächst, dass x A (B C) impliziert, dass x (A B) (A C) (Hinrichtung, ): Sei x A (B C). Dann gilt x A und x B C....
9 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Wir zeigen zunächst, dass x A (B C) impliziert, dass x (A B) (A C) (Hinrichtung, ): Sei x A (B C). Dann gilt x A und x B C. Falls x B, so gilt mit x A, dass x A B....
10 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Wir zeigen zunächst, dass x A (B C) impliziert, dass x (A B) (A C) (Hinrichtung, ): Sei x A (B C). Dann gilt x A und x B C. Falls x B, so gilt mit x A, dass x A B. Sonst gilt wegen x B C, dass x C und daher mit x A, dass x A C....
11 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Wir zeigen zunächst, dass x A (B C) impliziert, dass x (A B) (A C) (Hinrichtung, ): Sei x A (B C). Dann gilt x A und x B C. Falls x B, so gilt mit x A, dass x A B. Sonst gilt wegen x B C, dass x C und daher mit x A, dass x A C. In jedem Fall gilt x A B oder x A C und wir schliessen, dass x (A B) (A C)....
12 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis (Fortsetzung). Für die Rückrichtung ( ) zeigen wir, dass aus x (A B) (A C) folgt, dass x A (B C). Sei x (A B) (A C)....
13 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis (Fortsetzung). Für die Rückrichtung ( ) zeigen wir, dass aus x (A B) (A C) folgt, dass x A (B C). Sei x (A B) (A C). Falls x A B, gilt x A und x B. Aus letzterem folgt, dass x B C und damit insgesamt, dass x A (B C)....
14 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis (Fortsetzung). Für die Rückrichtung ( ) zeigen wir, dass aus x (A B) (A C) folgt, dass x A (B C). Sei x (A B) (A C). Falls x A B, gilt x A und x B. Aus letzterem folgt, dass x B C und damit insgesamt, dass x A (B C). Falls x A B, gilt wegen x (A B) (A C), dass x A C. Dann gilt (analog zu vorher) x A und x B C und somit x A (B C)....
15 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis (Fortsetzung). Für die Rückrichtung ( ) zeigen wir, dass aus x (A B) (A C) folgt, dass x A (B C). Sei x (A B) (A C). Falls x A B, gilt x A und x B. Aus letzterem folgt, dass x B C und damit insgesamt, dass x A (B C). Falls x A B, gilt wegen x (A B) (A C), dass x A C. Dann gilt (analog zu vorher) x A und x B C und somit x A (B C). In jedem Fall impliziert x (A B) (A C), dass x A (B C)....
16 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis (Fortsetzung). Wir haben gezeigt, dass jedes Element von A (B C) auch Element von (A B) (A C) ist und umgekehrt. Damit sind die Mengen gleich.
17 Direkter Beweis: Beispiel Für beliebige Mengen A, B, C gilt A (B C) = (A B) (A C). Beweis. Alternativ: A (B C) = {x x A und x B C} = {x x A und (x B oder x C)} = {x (x A und x B) oder (x A und x C)} = {x x A B oder x A C} = (A B) (A C)
18 Fragen Fragen?
19 Indirekter Beweis
20 Indirekter Beweis Indirekter Beweis Annahme: Gegenteil der Behauptung ist wahr Herleitung eines Widerspruchs aus Annahme, Axiomen und bewiesenen Aussagen durch Folgern oder Umformen Da Annahme falsch ist, ist ursprüngliche Aussage korrekt.
21 Indirekter Beweis: Beispiel Eine Primzahl ist eine Zahl p N 1, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
22 Indirekter Beweis: Beispiel Eine Primzahl ist eine Zahl p N 1, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen.
23 Indirekter Beweis: Beispiel Eine Primzahl ist eine Zahl p N 1, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei P = {p 1,..., p n } die Menge aller Primzahlen. Definiere m = p 1... p n + 1.
24 Indirekter Beweis: Beispiel Eine Primzahl ist eine Zahl p N 1, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei P = {p 1,..., p n } die Menge aller Primzahlen. Definiere m = p 1... p n + 1. Da m P, ist m keine Primzahl und hat daher einen Primteiler p.
25 Indirekter Beweis: Beispiel Eine Primzahl ist eine Zahl p N 1, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei P = {p 1,..., p n } die Menge aller Primzahlen. Definiere m = p 1... p n + 1. Da m P, ist m keine Primzahl und hat daher einen Primteiler p. Da p eine Primzahl ist, muss p in P sein.
26 Indirekter Beweis: Beispiel Eine Primzahl ist eine Zahl p N 1, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei P = {p 1,..., p n } die Menge aller Primzahlen. Definiere m = p 1... p n + 1. Da m P, ist m keine Primzahl und hat daher einen Primteiler p. Da p eine Primzahl ist, muss p in P sein. Die Zahl m ist durch keines der p 1,..., p n ohne Rest teilbar. Widerpruch
27 Fragen Fragen?
28 Vollständige und strukturelle Induktion
29 Vollständige Induktion über die natürliche Zahlen Vollständige Induktion (über die natürlichen Zahlen) Beweis einer Aussage für alle natürlichen Zahlen n mit n m Induktionsanfang (IA): Beweis der Aussage für n = m Induktionsvoraussetzung (IV): Aussage gilt für alle k mit m k n Induktionsschritt (IS): Beweis der Aussage für n + 1 unter Verwendung der Induktionsannahme
30 Vollständige Induktion: Beispiel I Für alle natürlichen Zahlen n 1 gilt n k=1 (2k 1) = n2.
31 Vollständige Induktion: Beispiel I Für alle natürlichen Zahlen n 1 gilt n k=1 (2k 1) = n2. Beweis. Vollständige Induktion über n: IA n = 1: 1 k=1 (2k 1) = 2 1 = 1 = 12
32 Vollständige Induktion: Beispiel I Für alle natürlichen Zahlen n 1 gilt n k=1 (2k 1) = n2. Beweis. Vollständige Induktion über n: IA n = 1: 1 k=1 (2k 1) = 2 1 = 1 = 12 IV: Für 1 m n gilt m k=1 (2k 1) = m2
33 Vollständige Induktion: Beispiel I Für alle natürlichen Zahlen n 1 gilt n k=1 (2k 1) = n2. Beweis. Vollständige Induktion über n: IA n = 1: 1 k=1 (2k 1) = 2 1 = 1 = 12 IV: Für 1 m n gilt m k=1 (2k 1) = m2 IS n n + 1: n+1 k=1 (2k 1) = ( n k=1 (2k 1)) + 2(n + 1) 1 IV = n 2 + 2(n + 1) 1 = (n + 1) 2
34 Vollständige Induktion: Beispiel II Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, also als n = p 1 p 2... p m mit Primzahlen p 1,..., p m.
35 Vollständige Induktion: Beispiel II Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, also als n = p 1 p 2... p m mit Primzahlen p 1,..., p m. Beweis. Vollständige Induktion über n: IA n = 2: Trival erfüllt, da 2 Primzahl...
36 Vollständige Induktion: Beispiel II Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, also als n = p 1 p 2... p m mit Primzahlen p 1,..., p m. Beweis. Vollständige Induktion über n: IA n = 2: Trival erfüllt, da 2 Primzahl IV: Jede natürliche Zahl k mit 2 k n lässt sich IV: als Produkt von Primzahlen darstellen....
37 Vollständige Induktion: Beispiel II Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, also als n = p 1 p 2... p m mit Primzahlen p 1,..., p m. Beweis (Fortsetzung). IS n n + 1: Fall 1: n + 1 ist Primzahl trivial Fall 2: n + 1 ist keine Primzahl. Es gibt natürliche Zahlen 2 q, r n mit n + 1 = q r. Nach IV gibt es Primzahlen q 1,..., q s mit q = q 1... q s und r 1,..., r t mit r = r 1... r t. Insgesamt gilt n + 1 = q 1... q s r 1... r t.
38 Vollständige Induktion: Beispiel II Jede natürliche Zahl n 2 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, also als n = p 1 p 2... p m mit Primzahlen p 1,..., p m. Beweis (Fortsetzung). IS n n + 1: Fall 1: n + 1 ist Primzahl trivial Fall 2: n + 1 ist keine Primzahl. Es gibt natürliche Zahlen 2 q, r n mit n + 1 = q r. Nach IV gibt es Primzahlen q 1,..., q s mit q = q 1... q s und r 1,..., r t mit r = r 1... r t. Insgesamt gilt n + 1 = q 1... q s r 1... r t.
39 Induktive Definition einer Menge: Beispiele Beispiel (Natürliche Zahlen) Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen ist wie folgt induktiv definiert: 0 ist eine natürliche Zahl. Ist n eine natürliche Zahl, so ist n + 1 eine natürliche Zahl.
40 Induktive Definition einer Menge: Beispiele Beispiel (Natürliche Zahlen) Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen ist wie folgt induktiv definiert: 0 ist eine natürliche Zahl. Ist n eine natürliche Zahl, so ist n + 1 eine natürliche Zahl. Beispiel (Binärbaum) Die Menge B der Binärbäume ist induktiv wie folgt definiert: ist ein Binärbaum (ein Blatt) Sind B L und B R Binärbäume, so ist auch (B L,, B R ) ein Binärbaum (mit innerem Knoten ).
41 Induktive Definition einer Menge: Beispiele Beispiel (Natürliche Zahlen) Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen ist wie folgt induktiv definiert: 0 ist eine natürliche Zahl. Ist n eine natürliche Zahl, so ist n + 1 eine natürliche Zahl. Beispiel (Binärbaum) Die Menge B der Binärbäume ist induktiv wie folgt definiert: ist ein Binärbaum (ein Blatt) Sind B L und B R Binärbäume, so ist auch (B L,, B R ) ein Binärbaum (mit innerem Knoten ). Implizit: Menge enthält kein Element, das nicht nach diesen Implizit: Regeln gebildet werden kann
42 Induktive Definition einer Menge: Allgemein Induktive Definition Eine Menge M definiert man induktiv durch Angabe von Basiselementen, die in der Menge enthalten sind Konstruktionsregeln der Art Für M M, ist auch K(M ) in M.
43 Strukturelle Induktion Strukturelle Induktion Beweis einer Aussage für eine induktiv definierte Menge Induktionsanfang (IA): Beweis der Aussage für alle Basiselemente. Induktionsvoraussetzung (IV): Aussage gilt für Elemente von M (aus Konstruktionsregel). Induktionsschritt (IS): Beweis der Aussage für K(M ) unter Verwendung der Induktionsannahme (für jede Konstruktionsregel)
44 Strukturelle Induktion: Beispiel Ein Binärbaum mit b Blättern hat b 1 innere Knoten.
45 Strukturelle Induktion: Beispiel Ein Binärbaum mit b Blättern hat b 1 innere Knoten. Beweis. IA: Ein Baum hat ein Blatt und keinen inneren Knoten.
46 Strukturelle Induktion: Beispiel Ein Binärbaum mit b Blättern hat b 1 innere Knoten. Beweis. IA: Ein Baum hat ein Blatt und keinen inneren Knoten. IV: gilt für B L und B R.
47 Strukturelle Induktion: Beispiel Ein Binärbaum mit b Blättern hat b 1 innere Knoten. Beweis. IA: Ein Baum hat ein Blatt und keinen inneren Knoten. IV: gilt für B L und B R. IS für B = (B L,, B r ): Wir bezeichnen die Anzahl der inneren Knoten eines Baumes B mit inner(b ) und die der Blätter mit blätter(b ). inner(b) = inner(b L ) + inner(b R ) + 1 IV = (blätter(b L ) 1) + (blätter(b R ) 1) + 1 = blätter(b L ) + blätter(b R ) 1 = blätter(b) 1
48 Fragen Fragen?
49 Zusammenfassung
50 Zusammenfassung Ein Beweis basiert auf Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen. Einzelne Beweisschritte müssen unmittelbar einsehbar sein. Direkter Beweis: Ableitung der Aussage durch Folgern und/oder Umformen Indirekter Beweis: Widerlegung der verneinten Aussage Vollständige und strukturelle Induktion: Beweis der Aussage für Induktionsanfang und Erhaltung der Aussage in Induktionsschritt
51 Vorbereitung für nächstes Mal Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? Vereinfachen Sie diesen Ratschlag! Ich halte mich streng an Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann rühre ich Fisch nicht an. Aufgabe aus U. Schöning: Logik für Informatiker Foto mit freundlicher Genehmigung von graur razvan ionut / FreeDigitalPhotos.net
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