Grundbegriffe der Informatik Tutorium 3

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 3 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 18. November 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Gliederung 1 Darstellung von Zahlen 2 Zweierkomplement 3 Codierungen und Homomorphismen 4 Huffman-Codierung Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

3 Darstellung von Zahlen Z k und num k Z k = Die ersten k Elemente von {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,...} num k : Z k N 0 weist einem Zeichen seinen Zahlenwert zu Beispiel x Z A B C D E F num 16 (x) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

4 Darstellung von Zahlen Z k und num k Z k = Die ersten k Elemente von {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,...} num k : Z k N 0 weist einem Zeichen seinen Zahlenwert zu Num k Num k (ε) = 0 w Z k x Z k : Num k (wx) = k Num k (w) + num k (x) Beispiel Num 16 (A9) = 16 Num 16 (A) + 9 = 16 (16 Num 16 (ε) + 10) + 9 = 16 ( ) + 9 = = 169 Num 2 (101) = 2 Num 2 (10)+1 = 2(2 Num 2 (1)+0)+1 = 4+1 = 5 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

5 Darstellung von Zahlen repr k und Repr k Umkehrfunktionen zu num k und Num k repr 16 (15) = F und Repr 2 (13) = 1101 Übersetzung von Zahldarstellungen Repr 2 (Num 16 (A3)) = Repr 2 (163) = A3 und haben die gleiche Bedeutung Repr 16 (Num 16 (A3)) = A3 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

6 Darstellung von Zahlen Warum macht man Übersetzungen? Lesbarkeit F4C leichter zu lesen als Kompression Huffman-Code macht das Wort kürzer, ohne ein größeres Alphabet zu nehmen Verschlüsselung sdfhghsio ist nicht lesbar ohne die zugehörige Übersetzungsfunktion Fehlererkennung und Fehlerkorrektur Wort künstlich länger machen, um Übertragungsfehler zu erkennen Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

7 Darstellung von Zahlen fester Länge Zahlen im Computer haben eine feste Länge l N + maximal 2 l verschiedene Zahlen darstellbar positive Zahlen bin l (n) = 0 l Repr 2 (n) Repr 2 (n) Dann gilt für alle n Z 2 l : bin l (n) = l Num 2 (bin l (n)) = n Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

8 Zweierkomplement auch negative Zahlen darstellbar es sei l N + mit l 2 die feste Länge einer Zahl darstellbare Zahlen: K l = { } 2 l 1 x 2 l 1 1 Zweierkomplement { 0 bin l 1 (x) falls x 0 Zkpl l (x) = 1 bin l 1 (2 l 1 + x) falls x < 0 { bin l (x) falls x 0 = bin l (2 l + x) falls x < 0 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

9 Zweierkomplement Aufgabe Aufgabe Berechne K 5 und Zkpl 5 (i) für i {0, 1, 2, 15, 1, 2, 15, 16}. K l = { } 2 l 1 x 2 l 1 1 { 0 bin l 1 (x) falls x 0 Zkpl l (x) = 1 bin l 1 (2 l 1 + x) falls x < 0 { bin l (x) falls x 0 = bin l (2 l + x) falls x < 0 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

10 Lösungen K 5 = { 16,..., 1, 0, 1,..., 15} Zkpl 5 (0) = Zkpl 5 (1) = Zkpl 5 (2) = Zkpl 5 (15) = Zkpl 5 ( 1) = Zkpl 5 ( 2) = Zkpl 5 ( 15) = Zkpl 5 ( 16) = Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

11 Codierungen Definition L A, L B seien Sprachen Eine Übersetzung ist eine Funktion f : L A L B, die die Bedeutung erhält. Eine Codierung ist eine injektive Übersetzung (eine Dekodierung ist also möglich). Wenn f Codierung, dann heißt f (w) für alle w L A Codewort und die Menge aller Codewörter {f (w) w L A } Code. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

12 Homomorphismen Definition A, B Alphabete, h : A B. Dann wird h : A B definiert durch: h (ε) = ε w A : x A : h (wx) = h (w) h(x) Eine solche Abbildung h nennt man Homomorphismus. Man kann statt h auch einfach h schreiben (da x A : h (x) = h(x)). Beispiel h(a) := 01 und h(b) := 11 h(baa) = = h(abab) = = Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

13 Homomorphismen ε-frei Ein Homomorphismus h heißt ε-frei, wenn x A : h(x) ε. Beispiel h(a) = 01, h(b) = ε = h(a) = h(bbab) = h(abbbbb) = 01 = h nicht injektiv = h kann keine Codierung sein i(a) = 01, i(b) = 01 = zwar ε-frei, aber i(a) = i(b) = i nicht injektiv = i ist auch keine Codierung Aber wir wissen: Wenn j Codierung, dann ist j ε-frei. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

14 Homomorphismen präfixfrei Ein Homomorphismus h heißt präfixfrei, wenn es keine zwei verschiedenen x 1, x 2 A gibt für die gilt: h(x 1 ) ist Präfix von h(x 2 ). Beispiel ist Codierung ist sehr leicht dekodierbar h(a) = 001, h(b) = 1101 = h ist präfixfrei = lässt sich leicht dekodieren i(a) = 0, i(b) = 00 = i ist nicht präfixfrei und keine Codierung j(a) = 01, j(b) = 011 Codierung = j ist nicht präfixfrei, aber trotzdem Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

15 Huffman-Codierung Definition Sei A ein Alphabet und w A. Eine Huffman-Codierung von w ist der Funktionswert h(w) eines ε-freien Homomorphismus h : A {0, 1}. h wird auf w zugeschnitten, damit h(w) möglichst kurz ist häufige Symbole werden durch kurze Wörter codiert und seltene durch lange Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

16 Huffman-Codierung Huffman-Baum Huffman-Baum zu bananen: Vorkommen der verschiedenen Zeichen zählen Baue Baum von unten auf b a n e Die zwei Zeichen mit kleinstem Vorkommen als Blätter und die Summe der beiden Vorkommen als Wurzel Die nächsten zwei kleinsten Vorkommen (inklusive der Wurzel) wählen und den Baum erweitern, solange wiederholen bis oben w steht 2 = 4 =... 1,b 1,e 2 2,a 1,b 1,e Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

17 Huffman-Codierung... = 7 4 3,n 2 2,a 1,b 1,e Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

18 Huffman-Codierung Huffman-Baum Huffman-Baum zu banane: [...] Schreibe an die linken Kanten 0 und and die rechten Kanten 1 7 = ,n ,n 2 2,a ,a 1,b 1,e 1,b 1,e Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

19 Huffman-Codierung Huffman-Baum Huffman-Baum zu banane: [...] Der Kanten zu den Zeichen geben die Codewörter der Zeichen an ,n = b a n e ,a h(bananen) = ,b 1,e Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

20 Huffman-Codierung Weiteres zu Huffman-Codes manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten jeder Huffman-Code ist präfixfrei unter allen präfixfreien Codes führen Huffman-Codes zu den kürzesten Codierungen der Huffman-Code ist für ein bestimmtes Wort sehr kurz, für andere kann er viel länger sein Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

21 Aufgaben Konstruiere den Huffman-Baum von homomorph und gib mit dem zugehörigen Code die Codierung von homomorph, rom und php an. Gib die Huffman-Codierung von php an (neuer Baum). Wie kann man aaaaaabbbbbbccccccddddddccccccaaaaaacccccc kürzer als mit normalem Huffman-Code codieren? Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22

22 Lösung Antwort zu 3 Nicht Häufigkeiten von einzelnen Zeichen bestimmen, sondern Häufigkeiten von a 6, b 6, c 6 und d 6 und damit dann den Huffman-Baum konstruieren. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr November /22