Lineare Differentialgleichung 2.Ordnung - Beispiel Autofeder

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Christel Hausler
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1 HL Saalfelen Autofeer Seite 1 von 8 Wilfrie Rohm Lineare Differentialgleichung.Ornung - Beipiel Autofeer Mathematiche / Fachliche Inhalte in Stichworten: Numeriche Löen einer linearen Differentialgleichung.Ornung am Beipiel einer "Autofeer" - Untercheiung er Löungfälle "aperioiche Löung", "aperioicher Grenzfall" un "Schwingfall"; Löungverhalten unter Berückichtiugung von Störfunktionen. Kurzzuammenfaung Die Löung er homogenen un inhomogenen Linearen Differentialgleichung.Ornung erfolgt in ieem File leiglich numerich mit en Möglichkeiten, welche Mathca für "Gewöhnliche Differentialgleichungen" bietet: Die Funktion Gglöen bzw. Oeolve. Da Ziel iee Artikel it jeoch ein anere: E oll an einem praktichen, anchaulichen Beipiel ("Autofeer") a Löungverhalten veranchaulicht weren (ohne en "Ballat" einer analytichen Löung). Augehen von en Löungfällen er homogenen Gleichung (Aperioicher Fall, aperioicher Grenzfall, Schwingungfall) wir a Verhalten e Sytem auch beim Anlegen von praxirelavanten Störfunktionen unterucht. Dabei weren auch Anleitungen zu entprechenen Animationen gegeben. Diaktiche Überlegungen / Zeitaufwan: Der vorliegene File it in erter Linie al Demontrationfile geacht, er ie Löungen er Schwingunggleichung veranchaulichen oll. Lehrplanbezug (bzw. Gegentan / Abteilung / Jahrgang): Angewante Mathematik, 4./ 5.Jahrgang Mathca-Verion: Mathca 15 Literaturangaben: Alle aktuellen Lehrbücher, hema "Schwingunggleichungen" Aufgabentellung: Annahme: Die Gewichtkraft bei einem Auto betrage 3000 N pro Ra, Die Feer wir beim Fahren über Hinerni um 5 cm verformt. Al Anfangbeingungen wir aher angenommen: y(0)=5 y'(0) =0 Die Differentialgleichung er Feer lautet: m x b t + + k = 0 bzw m x b t + + k = x tör ( t) Dabei beeutet: m... Mae in b... Wiertankoeffizient (Dämpfungkkontante) in / k... Feerkontante in N/m bzw. / Au er Angabe weren ie benötigten Größen berechnet: Dabei weren a Hooke che Geetz (F = k. x) un ie Formel für ie Gewichtkraft (G=m. g ) verwenet. Wilfrie Rohm 01

2 HL Saalfelen Autofeer Seite von 8 F = k x k := N m k = G = m g m := 3000 m = k π Eigenkreifrequenz ω 0 bzw. Perioe er Eigenchwingung : ω 0 := := = m ω 0 Fall 1: Keine Stoßämpfer, keine Reibung (theoretich ungeämpft) b := 0 Vorgabe m t + b t + ( k ) = 0 Zu löene Differentialgleichung x( 0) = 0.05 x' ( 0) = 0 Anfangbeingung x := Gglöen ( t, 10, 1000) Hinwei: Mit rechter ate auf gglöen bzw. oeolve ie nummeriche Berchnungmethoe auf ein aaptive Verfahren eintellen, weil ont grobe Ungenauigkeiten paieren können!! Oer en 3.Parameter auf einen hohen Wert (z.b. 1000) etzen! Hinwei zur Löungmethoe: Mathca hat (eltamer Weie) keine ymbolichen en zur Löung von Differentialgleichungen vorgeehen. Allering enthält Mathca viele leitungtarke Funktionen zur nummerichen Löung (auch komplizierterer un auch partiell Diffrerentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen können mit Hilfe e Löungblocke vorgabe-gglöen bzw. given-oeolve gelöt weren. Zu beachten: Die Ableitungen können in er Gleichung mit Apotroph (SRG-F7) oer em Ableitungoperator eingegeben weren, Nebenbeingungen müen mit em Apotroph (SRG-F7) eingegeben weren. := 0, Hinwei: In en aneren, folgenen Fällen wure er obige Löungblock jeweil hinunterkopiert un in einer Region "verteckt", um eine beere Übericht beim Änern er Parameter zu erhalten! x( ) Wir erhalten (wie in ieem reibungloen Fall zu erwarten wäre) eine ungeämpfte Schwingung Wilfrie Rohm 01

3 HL Saalfelen Autofeer Seite 3 von 8 Fall : Aperioicher Grenzfall: b it au er charakteritichen Gleichung auzurechnen Den Kontruktuer einer Feer intereiert bei er Dimenionierung er Feer er aperioiche Grenzfall, weil er ie chnell Rückkehr in en Ruhezutan ohne Überchwingen erlaubt. (a it im Bereioch er Elektrotechnik inbeonere bei Meßintrumenten [Drehpulintrumenten] von Beeutung) Die e Dämpfungwerte b erfolgt au er charakteritichen Gleichung m λ + b λ k + = 0 b + b 4 k m λ b b 4 k m 1 = λ = m m ( ) b Alo b := wurzel b 4k m, b = x aperioich ( ) Fall 3: Stärkere Dämpfung er Feer b := 1000 x( ) x aperioich ( ) In er Grafik erfolgt ein Vergleich mit em aperioichen Grenzfall: Die tärkere Dämpfung er Feer verlängert ie Zeit bi zur Rückkehr in en "Ruhezutan" Wilfrie Rohm 01

4 HL Saalfelen Autofeer Seite 4 von 8 Fall 4 : Stoßämpfer bechäigt b := x( ) x aperioich ( ) E erfolgt wieer ein Vergleich mit em aperioichen Grenzfall. Der "echniker" orientiert ich bei er Kontruktion von Feern (z.b. bei er Dämpfung eine Drehpulintrumente) manchmal gerne am Fall er "ganz leichten Schwingung" tatt em aperioichen Grenzfall, weil er Übergang in en "Ruhezutan" zwar (kaum merklich) chwingen, aber chneller erfolgt al im apertioichen Grenzfall. Die ieht man gut, wenn man oben beipielweie b=7000 / etzt b := 7000 x( ) x aperioich ( ) Fall 5: Kein Stoßämpfer mehr bzw. kaputt, praktich nur mehr Feerreibung b := 1500 x( ) Da Bil zeigt ehr chwache Dämpfung Wilfrie Rohm 01

5 HL Saalfelen Autofeer Seite 5 von 8 Da Bil zeigt ehr chwache Dämpfung Fall 6: Einwirkung einer kontanten Kraft F (z.b. Nieerrücken) F := 100 N b := 5000 Vorgabe m t + b t + ( k ) = F Hier liegt nun eine inhomogene Gleichung mit kontanter Störfunktion vor x( 0) = 0 x' ( 0) = 0 x := Gglöen ( t, 10) Wieer wir (zum Vergleich) er aperioiche Grenzfall berechnet un gezeichnet (in Region "verteckt") e aperioichen Grenzfalle m λ + b λ k + = 0 b + b 4 k m λ b b 4 k m 1 = λ = m m ( ) b b := wurzel b 4k m, b = Vorgabe b aperioich := b m t + b t + ( k ) = F x( 0) = 0 x' ( 0) = 0 x aperioich := Gglöen ( t,, 100) e aperioichen Grenzfalle := 0, Kontante Funktion al Störfunktion - Vergleich mit er Löung beim aperioichen Grenzfall x( ) x aperioich ( ) Wilfrie Rohm 01

6 HL Saalfelen Autofeer Seite 6 von 8 Ertellen einer Animation für unterchieliche Dämpfung : Erklärung in Region E oll a Löungverhalten für unterchieliche Dämpfungkontante b (von 0 / bi / mit einer Schrittweite von 150 / in einer Animation emontriert weren. un Animationanleitung Animation : Kontante Funktion al Störfunktion 0.03 x( ) x aperioich ( ) b = 0 b aperioich = Fall 7: Erzwungene Schwingung urch Rütteln: Da "Rütteln" oll hier eine inuförmige Störfunktion imulieren un könnte z.b. auf einem Prüftan erfolgen Zum Beipiel für f= Hz un F_max=100 N mit en Anfangbeingungen x(0)=0 un x'(0) = 0 b := b = 404 F := 100 N f := f = 1 Hz f :=.51 k ω 0 Zum Vergleich: ω 0 := f 0 := f 0 =.51 m π In ieem Fall it ie Frequenz er Störfunktion (Erregerfrequenz f) gleich er Eigenfrequenz f 0 en Wilfrie Rohm 01

7 HL Saalfelen Autofeer Seite 7 von 8 := 0, Sinuchwingung al Störfunktion x( ) x aperioich ( ) Ertellen einer Animation für unterchieliche Dämpfung : Erklärung in Region E oll a Löungverhalten für unterchieliche Dämpfungkontante b (von 0 / bi / mit einer Schrittweite von 150 / in einer Animation emontriert weren. un Animationanleitung := 0, Animation : Sinuchwingung al Störfunktion b = 0 b aperioich = 8485 Erregerfrequenz : f = Hz x( ) x aperioich ( ) Die Animation liefert für einen exemplarichen Wert er Erregerfrequenz (hier voreingeetllt f=hz) ie Ergebnie für unterchieliche Dämpfungkontante b. Man ieht chön en Einfluß auf Amplitue un Phaenlage Wilfrie Rohm 01

8 HL Saalfelen Autofeer Seite 8 von 8 Ertellen einer Animation für unterchieliche Errgerfrequenzen : Erklärung in Region E oll a Löungverhalten für unterchieliche Erregerfrequenzen f (von 0. Hz bi 5. Hz ) in einer Animation emontriert weren. un Animationanleitung := 0, Animation : Sinuchwingung al Störfunktion b = 3000 Erregerfrequenz : f = 0. Hz Eigenfrequenz: f 0 =.51 Hz x( ) x f0 ( ) Die Animation liefert für einen exemplarichen Wert er Dämpfung (hier voreingeetllt b= 3000 /) ie Ergebnie für unterchieliche Erregerfrequenzen f. Man ieht chön en Einfluß auf Amplitue un Phaenlage (peziell im Vergleich mit er Löungkurve für en Fall f = f0) Wilfrie Rohm 01

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