Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen

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1 ZK M A (mit CAS) Seite von 5 Nr. Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft - Modelllösungen Punkte a Nullstellen von f: f ( = 0 x = x = x = + Lokale Extrempunkte:,7 f '( =,5 x 9 x + f ''( = x 9 f '() = 0 f ''() = < 0, f () = f '(4) = 0 f ''(4) = > 0, f (4) = 4,7 Damit ergibt sich der Hochpunkt H ( ) und der Tiefpunkt ( 4 ) T. 6 b f '''( = f ''() = 0 f '''() = 0, f () = 0 Damit ergibt sich der Wendepunkt ( 0) Gleichung der Wendetangente t mit m = f '() =,5 W. y = m x + b : Wegen W t ergibt sich: 0 =,5 + b b = 4, 5 und damit die Gleichung der Wendetangente t : y =,5 x + 4, 5. c Zwei mögliche Aspekte: An den beiden Extremstellen des Graphen von f besitzt der Graph von f' jeweils eine Nullstelle. Für x < ist der Graph von f streng monoton steigend, dort gilt f '( > 0. Graph: Zsh.: 4

2 ZK M A (mit CAS) Seite 4 von 5 f ' Der gewählte Lösungsansatz und weg muss nicht identisch mit dem in der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender f d e A: Die Aussage ist wahr, da für die Steigung der Geraden gilt: (6) ( ) 9 + m = f = = B: Die Aussage ist falsch, da z. B. die Gleichung f '( = nicht lös-bar ist. () Der Graph der Abbildung entsteht aus dem Graphen von f durch Streckung mit dem Faktor in y-richtung. Daraus ergibt sich die passende Funktionsgleichung h ( = f ( ). x () Die Multiplikation mit bewirkt eine Spiegelung des Graphen an H des Graphen von f wird da- der x-achse. Der Hochpunkt ( ) durch zu dem Tiefpunkt ( ). Durch die Addition von 0,5 wird der Graph und damit auch der Tiefpunkt um 0,5 Einheiten nach oben verschoben. Alle Zahlen a und b mit a < 0 und a + b = 0, 5 sind geeignet, eine mögliche weitere Lösung ist daher z. B. a = 0,5 und b = 0 oder a = und b =, 5 oder a = und b =, 5 4 Summe:

3 ZK M A (mit CAS) Seite 5 von 5 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 54-5 gut 5-48 gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend 5-8 ausreichend minus mangelhaft plus 4 - mangelhaft 0-7 mangelhaft minus 6 - ungenügend 0-0

4 ZK M A (mit CAS) Seite von 5 Nr. Beispielklausur für zentrale Klausuren Mathematik Unterlagen für die Lehrkraft Modelllösungen Punkte a h( ) = 5, 645 Im Modell wäre die Blüte Tage nach Beobachtungsbeginn ca. 5,6 cm hoch. Hier muss die Gleichung h ( t) = 0 gelöst werden. Es ergeben sich drei Lösungen: t 7,7, t 8, 5 und t 5, 79. Relevant ist hier t 7, 7, d.h. nach sieben Tagen und ca. 6 Stunden ist die Blüte im Modell 0 cm hoch. b c h() h(0) =,5 0 h' ( t) = 0,045 t + 0, 9 t h' () =,95 Die Blüte hat im Modell in den ersten drei Tagen der Beobachtung eine durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit von ca., cm pro Tag. Drei Tage nach Beobachtungsbeginn liegt eine momentane Wachstumsgeschwindigkeit von ca., cm pro Tag vor. Gesucht ist die Maximalstelle von h sowie das Maximum selbst. Mit der notwendigen Bedingung h '( t) = 0 folgt: 0,045 t + 0,9 t = 0. Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen t = 0 und t = 0. Wegen h ''(0) = 0,9 < 0 liegt an der Stelle t = 0 ein Maximum mit h ( 0) = 6 vor. Für den gegebenen Sachzusammenhang handelt es sich offensichtlich auch um das absolute Maximum. Die Blüte erreicht 0 Tage nach Beobachtungsbeginn ihre maximale Höhe von 6 cm. 4 8

5 ZK M A (mit CAS) Seite 4 von 5 d Gesucht ist zunächst die Zeit t, für die h ' maximal ist. h ''( t) = 0 0,09 t + 0,9 = 0 t = 0. Weil zusätzlich h '''(0) = 0,09 < 0 gilt, ist t = 0 die gesuchte Stelle. Nach dem Modell sollte die Pflanze also 8 Tage nach Beobachtungsbeginn gedüngt werden. 5 e () a = a = 0,5 a = 0,5 a = Alle Graphen schneiden die t-achse an den Stellen t = 0 und t = 4. Sie besitzen an der Stelle t = einen Extrempunkt. () Aus der in der Aufgabe gegebenen Abbildung kann man erkennen: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zur angemessenen Modellierung der Messungen müsste an den Stellen t = 0 und t = 4 (nahezu) waagerechte Tangenten haben. Daher wurde vom Schüler der Ansatz über eine Ableitungsfunktion gewählt, die quadratisch ist und die Nullstellen t = 0 und t = 4 besitzt. (Damit liegt automatisch die extremale Steigung des Graphen von f bei t =.) () a muss negativ sein (Graph: nach unten geöffnete Parabel), damit im Bereich 0 < t < 4 positive Funktionswerte von f ' vorliegen und somit der Graph von f steigt. Summe:

6 ZK M A (mit CAS) Seite 5 von 5 Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den Punktzahlen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte Punktzahl sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus 54-5 gut 5-48 gut minus befriedigend plus befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend 5-8 ausreichend minus mangelhaft plus 4 - mangelhaft 0-7 mangelhaft minus 6 - ungenügend 0-0