Vortragsthemen. Proseminar Geometrie. JProf. Dr. Petra Schwer

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1 Proseminar Geometrie JProf. Dr. Petra Schwer Dieses Proseminar zur Geometrie bietet anhand vielfältiger Themen eine Einführung in die klassische und moderne Geometrie. Als Grundlage dient uns das Buch Anschauliche Geometrie von Hilbert und Cohn-Vossen, sowie weitere, ergänzende Literatur. Wir machen eine (Zeit-)Reise durch die Geometrie. Wir gehen zurück zu Euklid (300 v.c.) und lernen seinen axiomatischen Zugang zur Geometrie kennen. Nicht-euklidische Geometrie wurde erst viel später entwickelt. Wir werden auch diese diskutieren und Modelle dafür einführen. Wir werden sehen, was es bedeutet, dass eine Kurve oder Fläche gekrümmt ist und so erste Einblicke in die Dierentialgeometrie bekommen. Weiter gibt es Ausüge in die Kinematik, die Topologie und in diskrete Formen der Geometrie. Voraussetzung: Lineare Algebra und Analysis. Ein Termin für die Vorbesprechung wird noch auf der Webseite bekanntgegeben. Vortragsthemen (1) Kurven und Flächen Es werden einfache Kurven und Flächen, sowie deren Konstruktion in Ebene und im Raum betrachtet. Zeigen Sie, wie man Flächen aus Kurven konstruieren kann. Diskutieren Sie den Begri der Rotationsäche, sowie Fadenkonstruktionen. Literatur: [HCV] Ÿ1-4 (2) Kongurationen Wir werden in diesem Kapitel geometrische Tatsachen kennen lernen, zu deren Formulierung und Beweis wir keine Strecken und Winkel auszumessen oder zu vergleichen brauchen.. Erläutern Sie das Konzept einer Konguration und stellen Sie Beispiele und deren Eigenschaften vor. Literatur: [HCV] Ÿ 15-17

2 (3) Perspektive Im 15. Jahrhundert entdecken italienische Maler die Perspektivzeichnung und mit ihr die Möglichkeit dreidimensionale Bilder perspektivisch korrekt darstellen. In diesem Vortrag wird der Begri der Perspektive mathematisch fundiert. Erklären Sie den axiomatischen Zugang zur projektiven Geometrie. Führen Sie RP 2 und erste Eigenschaften davon ein. Literatur: [S] , 5.9, [HCV] Ÿ18 (4) Euklids Axiome Euklids Buch Elemente, geschrieben etwa 300 v.c., war lange Zeit die Grundlage der Mathematik und der Geometrie. Darin etabliert Euklid unter anderem einen axiomatischen Zugang zur (euklidischen) Geometrie. Stellen Sie die Axiome und ihre Geschichte vor, erklären Sie die Bedeutung der Kongruenzaxiome sowie des Parallelenpostulats. Führen Sie einfache Beweise mit Hilfe dieser Methoden. Literatur: [S] Kapitel 2, ergänzend: [S] Kapitel 1, [HCV] Seiten 210 (5) Hyperbolische Geometrie I Neben der euklidischen Geometrie gibt es weitere Geometrien, die Teilen der euklidischen Axiomen widersprechen. Diese fasst man unter dem Begri der nichteuklidischen Geometrie zusammen. Ein Beispiel ist die hyperbolische Geometrie. Erklären Sie was das ist und führen Sie das Poincaré Modell der hyperbolischen Ebene ein. Literatur: Aspekte über hyperbolische Geometrie in Kapitel Ÿ34-36 von [HCV]; [S] Kapitel 8.9 2

3 (6) Hyperbolische Geometrie II Wir lernen mehr über hyperbolische Geometrie, deren Eigenschaften auch in faszinierenden Bildern von Escher anschaulich dargestellt werden. Erklären Sie das obere Halbebenenmodell und Möbiustransformationen. Diskutieren Sie Parkettierungen der oberen Halbebene. Literatur: [S] Kapitel 8 (7) Transformationen Felix Klein entwickelte einen neuen Zugang zur Geometrie. Sein Programm sieht vor Geometrien mit Hilfe Ihrer Symmetriegruppen zu untersuchen. Ein Beispiel, lineare Transformationen, haben Sie sicher bereits kennen gelernt. Wir diskutieren in diesem Vortrag Eigenschaften von Selbstabbildungen gewisser Geometrien, Transformationen der projektiven Gerade, sowie konforme Abbildungen im Raum. Literatur: [S] Kapitel , 7.9 und [HCV] 37,38 (8) Sphärische Geometrie Ein weiteres Beispiel für nicht-euklidische Geometrie ist die Geometrie unserer Welt, d.h. auf der Ober äche der 2-dimensionalen Kugel. Auch sie widerspricht dem Parallelenaxiom. Diskutieren Sie Transformationen der Sphäre sowie elementare Eigenschaften der sphärischen Geometrie. Literatur: [NS] 2 und [S] Kapitel , 7.9 3

4 (9) Krümmung I Wir wenden uns jetzt der (lokalen) Di erentialgeometrie zu. Ziel ist es Geometrien lokal um einen Punkt zu beschreiben und sie mit möglichst einfachen Geometrien zu vergleichen. Wir beginnen wieder mit Kurven und Flächen und diskutieren wie krumm sie im Vergleich zur Gerade oder Ebene sind. Erklären Sie Krümmung einer Kurve und führen Sie den Begri der Hauptkrümmung ein. Literatur: [HCV] 26,28 (10) Krümmung II Wir lernen das von Gauÿ begründete Verfahren kennen, die Krümmung einer Fläche in einem Punkt mit einer einzigen Kennzahl anzugeben. Erklären Sie sphärische Abbildung, den Gauÿ'schen Krümmungsbegri, sowie seine elementare Eigenschaften. Literatur: [HCV] 29 (11) Kon gurationen und reguläre Körper Wir verallgemeinern den Kon gurationsbegri aus Vortrag (2) von der Ebene auf den 3-dimensionalen Raum. Diskutieren sie das Beispiel der Reyesche Kon guration und erklären Sie was Kon gurationen mir regulären Körpern zu tun haben. Literatur: [HCV]

5 (12) Ein Ausug in die Kinematik Kinematik untersucht in systematischer Weise Bewegungen. Wir konzentrieren uns hier auf Gelenkmechanismen. Diskutieren Sie den Peaucellierschen Mechanismus, der die Senkrechte auf eine gegebene Strecke konstruiert. Wählen Sie aus dem weiteren Material zusätzliche Beispiele von Mechanismen in Ebene und Raum aus. Literatur: [HCV] Ÿ40, 42 (13) Polyeder und Flächen Wir beschäftigen uns in diesem Vortrag mit Objekten der Topologie. Wir denken uns die geometrischen Objekte gebaut aus deformierbarem Material und lernen Eigenschaften kennen, die unter Verformungen erhalten bleiben. Führen Sie die genannten Begrie ein. Erklären Sie, wie man (zweiseitige) Flächen topologisch klassizieren kann. Zeigen Sie ein Beispiel für eine Fläche mit nur einer Seite. Literatur: [HCV] Ÿ44-46, sowie Kap I im Anhang zu [HCV] von Alexandrov (14) Die Projektive Ebene als geschlossene Fläche Wir haben die projektive Ebene bereits kennen gelernt. Dieser Vortrag soll zeigen, dass sie auch als geschlossene Fläche darstellbar ist. Erklären Sie Kreuzhaube und Boysche Fläche. Literatur: [HCV] Ÿ47 5

6 (15) Das Faden-, Farben- und Nachbarschaftsproblem Wie auf einer Landkarte sei auf einer Fläche sei eine Anzahl von Gebieten eingezeichnet. Alle Gebiete sollen eingefärbt werden. Dabei dürfen zwei angrenzende Gebiete nicht die gleiche Farbe haben. Wie viele Farben sind nötig um alle existierenden Karten so färben zu können? Diskutieren Sie dieses und verwandte Probleme. Was ist der aktuelle Stand der Forschung im Farbenproblem? Literatur: [HCV] Ÿ51 Zusätzlich möglich: Punktgitter I und II. Grundlage: [HCV] Ÿ5,6 sowie [HCV] Ÿ7,8. Literatur: [HCV] David Hilbert, Stefan Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie [S] John Stillwell: The four pillars of geometry [NS] Viacheslav Nikulin, Igor Shafarevich: Geometries and Groups Hinweise: Für viele von Ihnen ist dies der erste Seminarvortrag. Aufgaben eines solchen Vortrags sind im Wesentlichen folgende: der Vortragende soll lernen sich ein mathematisches Thema selbst anzueignen. die Seminarteilnehmer sollen etwas über das jeweilige Vortragsthema lernen. Dies geschieht dadurch, dass der Vortragende sein erworbenes Wissen in aufbereiteter Form weitergibt. Es ist nicht das Ziel alle Inhalte der Literatur wörtlich wiederzugeben. Auch ist es nicht das Ziel den Dozenten davon zu überzeugen, dass man einen Schein verdient hat. Wir helfen Ihnen gerne bei der Vorbereitung. Sie können dazu jederzeit in unsere Sprechstunde kommen oder einen Termin mit uns ausmachen. Kommen Sie in jedem Fall zwei Wochen vor Ihrem Vortrag mit einer schriftlichen (getippten) Ausarbeitung Ihres Vortrags vorbei. Torsten Wedhorn und Manfred Lehn haben viele weitere hilfreiche Tips zur Vorbereitung und zum Halten eines Vortrags: Bitte lesen und beherzigen Sie diese! 6

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