Statistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017

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1 Mainz, 8. Juni 2017 Statistics, Data Analysis, and Simulation SS Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler Dr. Michael O. Distler Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

2 5. Prüfung statistischer Hypothesen (Tests) Bisher: Statistische Analyse einer Stichprobe zur Bestimmung unbekannter Parameter. Hier: Wir haben eine vorgefasste Meinung über den Wert der Parameter eine Hypothese Es gilt diese Hypothese zu prüfen. Die Prüfverfahren heißen: statistische Tests Aber: Ein Test kann die Gültigkeit einer Hypothese nicht beweisen. Sehr wohl kann eine Hypothese auf Grund von Beobachtungen verworfen werden. Der Grad der statistischen Verträglichkeit wird durch die Angabe von Konfidenzniveaus und Konfidenzgrenzen quantifiziert. Dr. Michael O. Distler Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

3 Beispiel: Hellsehen Eine Person soll die Augenzahl eines zufällig geworfenen Würfels vorhersagen. In 6000 Versuchen wurde die Augenzahl 1050mal korrekt vorhergesagt. Hypothese: Hellsehen gibt es. Falls nicht Binomialverteilung. Mittelwert: µ = n p = = 1000 Standardabweichung: σ = n p (1 p) = ,9 Die Wahrscheinlichkeit, nur durch Zufall in 1050 oder mehr Versuchen die Augenzahl richtig vorherzusagen? Beispielrechnung mit Python-Paket scipy.stats Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

4 Beispiel: Hellsehen Eine Person soll die Augenzahl eines zufällig geworfenen Würfels vorhersagen. In 6000 Versuchen wurde die Augenzahl 1050mal korrekt vorhergesagt. Hypothese: Hellsehen gibt es. Falls nicht Binomialverteilung. Mittelwert: µ = n p = = 1000 Standardabweichung: σ = n p (1 p) = ,9 Die Wahrscheinlichkeit, nur durch Zufall in 1050 oder mehr Versuchen die Augenzahl richtig vorherzusagen? P = 4,2% Offensichtlich lässt sich Hellsehen damit nicht beweisen. Ab welcher Wahrscheinlichkeit würden auch Zweifler ins Grübeln kommen? Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

5 Hypothesentest: Konfidenzgrenzen % c.l % c.l [ ] 0.02 [ ] Einseitige Konfidenzgrenzen Beidseitige Konfidenzgrenzen P(t t + ) = P(t t ) = t+ t f (t) dt f (t) dt P(t t t + ) = t+ t f (t) dt Üblich (P = 68% (1σ)), P = 90% (1,645σ), 95% (1,96σ), P = 95,45% (2σ), 99% (2,58σ), 99,73% (3σ), 99,9% (3,29σ) Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

6 5.1 χ 2 -Test Sehr häufig verwendeter Test, um die Vereinbarkeit von Daten mit einer bestimmten Hypothese zu prüfen n Messwerte y 1,..., y n hängen von genau bekannten Werten x i ab: y i = y(x i ) Fragestellung: Sind die Messwerte y i vereinbar mit einer gegebenen theoretischen Wahrscheinlichkeitsdichte y t (x) Testgröße: t = n (y i y t (x i ) ) 2 σ 2 i=1 t,i σ 2 t,i : Varianz der theoretischen Verteilung an der Stelle x i Sind die y i normalverteilt und stellen sie eine Stichprobe aus der theoretischen Verteilung dar, so folgt t einer χ 2 -Verteilung mit k = n Freiheitsgraden (auch d.o.f.=degrees of freedom). Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

7 Wiederholung: χ 2 -Verteilung Falls x 1, x 2,..., x n unabhängige Zufallsvariable sind, die alle einer Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte folgen mit Mittelwert 0 und Varianz 1, so folgt die Summe u = χ 2 = n i=1 x 2 i einer χ 2 -Verteilung f n (u) = f n (χ 2 ) mit n Freiheitsgraden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist: ( 1 u ) n/ e u/2 f n (u) = Γ(n/2) Die Wahrscheinlichkeitsdichte f n (u) hat ein Maximum bei (n 2). Der Mittelwert ist n und die Varianz 2n. Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

8 χ 2 -Verteilung pdf(2,x) pdf(3,x) pdf(4,x) pdf(5,x) pdf(6,x) pdf(7,x) pdf(8,x) pdf(9,x) Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

9 χ 2 -Verteilung Die Wahrscheinlichkeit, dass χ 2 n einen Wert im Intervall [0, x] annimmt cdf(2,x) cdf(3,x) cdf(4,x) cdf(5,x) cdf(6,x) cdf(7,x) cdf(8,x) cdf(9,x) Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

10 Spezialfall: Zählexperiment Die y i seien die Ereigniszahlen n i bei einem Zählexperiment. Für die Poisson-Verteilung gilt: σ 2 t,i = n t,i und damit t = n (n i n t,i ) 2 i=1 n t,i Die Testgröße t folgt einer χ 2 -Verteilung mit k = n Freiheitsgraden (falls n t,i hinreichend groß (> 10)). Beispiel: Ehrlichkeit einer Verlosung In 10 Verlosungen werden je 1000 Lose gezogen. Registriert wird die Anzahl n i der Gewinne: Beispielrechnung mit Python 24, 15, 17, 18, 26, 24, 32, 33, 29, 32 Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

11 Spezialfall: Zählexperiment Die y i seien die Ereigniszahlen n i bei einem Zählexperiment. Für die Poisson-Verteilung gilt: σ 2 t,i = n t,i und damit t = n (n i n t,i ) 2 i=1 n t,i Die Testgröße t folgt einer χ 2 -Verteilung mit k = n Freiheitsgraden (falls n t,i hinreichend groß (> 10)). Beispiel: Ehrlichkeit einer Verlosung In 10 Verlosungen werden je 1000 Lose gezogen. Registriert wird die Anzahl n i der Gewinne: 24, 15, 17, 18, 26, 24, 32, 33, 29, 32 Man erhält t = 15,76 für die Testgröße. Für neun Freiheitsgrade ist die Wahrscheinlichkeit, diesen oder einen noch größeren Wert für t = χ 2 zu erhalten, 7,2%. Das ist noch annehmbar. Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

12 5.2 Studentscher t-test Dieser Test wird verwendet, um die Vereinbarkeit eines gemessenen (geschätzten) Mittelwertes x mit einem gegebenen (theoretischen) Mittelwert µ zu untersuchen, oder aber die Vereinbarkeit zweier gemessener (aus den Daten geschätzter) Mittelwerte für den Fall, dass die Varianzen nicht a priori bekannt sind, sondern ebenfalls aus den Daten geschätzt werden müssen. Gegeben sind n Messwerte, die einer Wahrscheinlichkeitsdichte mit µ und σ 2 entnommen wurden. Das Stichprobenmittel ergibt x mit der Varianz σ 2 /n (bzw. beste Schätzung s 2 /n). Testgröße t = x µ s 2 /n folgt t-verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

13 Studentscher t-test Beispiel: Unsere Stichprobe umfasst 3 Messwerte: x 1 = 1; x 2 = 0; x 3 = 1. Daraus ergibt sich für das Stichprobenmittel x = 0 und -varianz s 2 = 1. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P einen solchen oder größeren Mittelwert zu erhalten, wenn der wahre Mittelwert µ = 1 ist? t = P = 1 1/3 = 3 t= 3 f 2 (t) dt = 0,11 Das Konfidenzniveau ist P = 1 P = 89%. 3 1 = 2 Freiheitsgrade #!/usr/bin/env python3 from scipy.stats import t from math import sqrt print("konfidenzniveau: %.1f%%" \ % (100*t.cdf(sqrt(3),2))) Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

14 Studentscher t-test Vergleich zweier durch das Experiment bestimmter Mittelwerte Man hat zwei Messreihen mit den Werten x 1,i ; i = 1... n 1 und x 1,2 ; i = 1... n 2. Um zu testen, ob die Mittelwerte x 1 und x 2 der beiden Reihen miteinander vereinbar sind, bildet man die Testgröße: t = D s mit D = x 1 x 2 ; s 2 = s s2 2 wobei s 2 1, s2 2 die besten Schätzungen der Varianzen V [ x 1], V [ x 2 ] sind. Die Testgröße t folgt einer Studentschen t-verteilung mit k = (n 1 + n 2 2) Freiheitsgraden. Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

15 t-verteilung Die t-verteilung tritt auf bei Tests der statistischen Verträglichkeit eines Stichproben-Mittelwertes x mit einem vorgegebenen Mittelwert µ, oder der statistischen Verträglichkeit zweier Stichproben-Mittelwerte. Die Wahrscheinlichkeitsdichte der t-verteilung ist gegeben durch f n (t) = 1 ( ) (n+1)/2 Γ((n + 1)/2) 1 + t2 nπ Γ(n/2) n Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

16 t-verteilung 0.40 Gauß n= n=2 n= Gauß n=1 n=2 0.8 n= Die Studentschen t-verteilungen f (t) (links) im Vergleich zur standardisierten Gauß-Verteilung (gestrichelt) sowie die integrierten Studentschen t-verteilungen t f (x)dx (rechts). Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

17 t-verteilung P = 0,750 0,841 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 n = 1 1,000 1,837 3,078 6,31 12,71 31,82 63,66 2 0,816 1,321 1,886 2,92 4,30 6,96 9,92 3 0,765 1,197 1,638 2,35 3,18 4,54 5,84 4 0,741 1,142 1,533 2,13 2,78 3,75 4,60 5 0,727 1,111 1,476 2,02 2,57 3,36 4,03 6 0,718 1,091 1,440 1,94 2,45 3,14 3,71 7 0,711 1,077 1,415 1,89 2,36 3,00 3,50 8 0,706 1,067 1,397 1,86 2,31 2,90 3,36 9 0,703 1,059 1,383 1,83 2,26 2,82 3, ,700 1,053 1,372 1,81 2,23 2,76 3, ,695 1,043 1,356 1,78 2,18 2,68 3, ,691 1,034 1,341 1,75 2,13 2,60 2, ,687 1,026 1,325 1,72 2,09 2,53 2,85 Quantile der t-verteilung, P = t f n(x)dx. Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

18 F -Verteilung Gegeben sind n 1 Stichprobenwerte einer Zufallsvariablen x und n 2 Stichprobenwerte derselben Zufallsvariablen. Die beste Schätzung der Varianzen aus beiden Datenkollektionen seien s1 2 und s2 2. Die Zufallszahl F = s2 1 s 2 2 folgt dann einer F-Verteilung mit (n 1, n 2 ) Freiheitsgraden. Es ist Konvention, dass F immer größer als eins ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von F ist gegeben durch f (F) = ( n1 n 2 ) n1 /2 ( Γ((n 1 + n 2 )/2) Γ(n 1 /2)Γ(n 2 /2) F (n 1 2)/2 1 + n ) (n1 +n 2 )/2 1 F n 2 Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

19 Quantile der F -Verteilung, Konfidenz = 0,90 n 1 = n 2 = 1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 60,19 61,22 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,39 9,42 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,23 5,20 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 3,92 3,87 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,30 3,24 6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 2,94 2,87 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,70 2,63 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,54 2,46 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,42 2, ,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,32 2, ,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,19 2, ,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,06 1,97 Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

20 Quantile der F -Verteilung, Konfidenz = 0,95 n 1 = n 2 = 1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 241,9 245,9 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,40 19, ,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,79 8,70 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 5,96 5,86 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,74 4,62 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,06 3,94 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,64 3,51 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,35 3,22 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,14 3, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 2,98 2, ,75 3,89 3,49 3,26 3,11 2,75 2, ,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,54 2,40 Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

21 Kolmogorov-Smirnov-Test Dieser Test reagiert empfindlich auf Unterschiede in der globalen Form oder in Tendenzen von Verteilungen. Die theoretische Wahrscheinlichkeitsdichte f (x) und ihre Verteilungsfunktion F(x) = x f (x )dx sei gegeben. Die x i werden nach ihrer Größe geordnet und die kumulative Größe gebildet: F n = Anzahl der x i-werte x n Die Testgröße ist t = n max F n (x) F (x) Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

22 Kolmogorov-Smirnov-Test Näherungsformel für n > 35 Die Wahrscheinlichkeit P, einen Wert t 0 für die Testgröße t zu erhalten, ist P = 1 2 ( 1) k 1 e 2k 2 t0 2 k=1 Werte für den praktischen Gebrauch: P 1% 5% 50% 68% 95% 99% 99,9% t 0 0,44 0,50 0,83 0,96 1,36 1,62 1,95 Kritische Werte für den Kolmogorov-Smirnov-Test sind im Einzelnachweis der Wikipedia-Seite zu finden: Kolmogorow-Smirnow-Test Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

23 Kolmogorov-Smirnov-Test Beispiel: Die Daten 7, -1, 8, 5, 6 sollen einer Normalverteilung mit µ = 5 und σ = 2 entnommen worden sein. Für die Testgröße ergibt sich t = 5 0,3 = 0, Verteilungsfunktion F(x) Zufallsvariable x Dr. Michael O. Distler <distler@uni-mainz.de> Statistics, Data Analysis, and Simulation SS / 21

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