Ferienkurs Experimentalphysik 2

Transkript

1 Feienkus Expeimentalphysik zum Übungsblatt : Elektische Stom und Magnetostatik Tutoen: Kathaina Hischmann und Gabiele Semino Elektische Stom. Widestandsnetzwek Gegeben sei die folgende Schaltung. Es liegen die Potentiale U A = V, U B = V, U C = 3 V an den Eckpunkten A, B, C an. Die Widestände seien = kω, R B =.5 kω, R C = 3 kω. Bestimmen Sie die Stomflüsse I A, I B, I C duch die dei Widestände. Das Potential U am Keuzpunkt ist zunächst unbekannt. Die Stöme, die in den Keuzpunkt einfließen, sind I A = U U A, etc. ()

2 Also haben wi U Also I A + I B + I C =. I A + I B + I C = = U U A ( + + ) = U A R B R C U = + U U B R B + U U C R C () + U B + U C (3) R B R C U A + U B R B + U C R C + R B + R C. Stomdichte und Ampee sches Gesetz = 33, 3mA = 6, 67V (4) (kω) I A = U U A = 6, 66mA (5) I B = U U B R B =, ma (6) I C = U U C R C = 4, 44mA (7) Ein Kupfeoh (Hohlzylinde) mit Innenadius i =, 4 cm, Außenadius a =, 5 cm und Länge l = 5 m wid mit den Enden an eine Spannungsquelle mit U = 6 V angeschlossen. De spezifische Widestand von Kupfe betägt bei Raumtempeatu etwa ρ =, 7 Ωmm m.. Beechnen Sie die Stomdichte j = j und den Gesamtstom I.. Beechnen Sie mit dem Ampee schen Gesetz das Magnetfeld in allen elevanten Beeichen. Vewenden Sie dabei die Idealisieung l.. Es gilt fü den Widestand R des Kupfekabels: R = ρ l A = ρ l π (a i ) = 3, 4 3 Ω (8) I = U R =, 97 3 A (9) j = I A = 6, 98 A 7 m (). Das Ampeesche Gesetz lautet: A B d s = µ A j d A () Wi wählen als Fläche A eine Keisfläche mit Radius. Also ehalten wi fü die linke Seite wegen B( ) = B() e ϕ in allen Fällen B d s = B()π () A

3 Fü die echte Seite gilt imme j da, jedoch benötigen wi eine Falluntescheidung: < i : j da = (3) A B() = (4) i < < a : A j d A = jπ ( i B() = µ jπ ( i ) π ) = µ j ( i ) (5) (6) a < A j d A = I (7) B() = µ I π (8) 3 Magnetostatik 3. Magnetisches Feld eines leitenden Bandes Ein dünnes, flaches, unendlich langes Band de Weite W tanspotiet einen gleichmäßigen Stom I. Bestimmen Sie das magnetische Feld an einem Punkt P, de sich in de Ebene des Bandes befindet und einen Abstand x von dessen Rand hat. Übelegen Sie sich das Feld eines Steifens. Wie sieht das Egebnis fü den Limes W aus? (Hinweis: ln( + δ) δ fü kleine δ). 3

4 Wi unteteilen das Band in infinitesimale Steifen, die sich wie Dähte vehalten und die wi nach dem Pinzip de Supeposition als Vektosumme zusammenfassen können. Betachte einen Steifen de Weite dl, de eine Stecke l vom echten Rand des Bandes entfent ist. De Steifen tägt den Stom Idl/W und hat eine Entfenung von l + x zum Punkte P. De diffeentielle Beitag zum magnetischen Feld ist: db = µ I dl W π(x + l) (9) mit dem Feld im Uhzeigesinn zeigend. Um das gesamte Feld zu bekommen integieen wi übe das gesamte Band von l = bis l = W (Substitution: u = x + l, du = dl): B = db = µ I πw W dl x + l = µ I πw x+w x du u = µ I ( πw ln + W ) x Um den Limes zu betachten taylon wi das Egebnis. Fü W wid ln( + δ) δ deshalb B µ ( ) I W = µ I () πw x πx Was die Fomel fü einen stomduchflossenen Daht ist. 3. Dipol- und Dehmoment Ein dünne, nicht leitende Stab de Länge l = 8mm tage eine gleichmäßig übe seine Länge veteilte Ladung Q. E otiee mit eine Keisfequenz ω = 9s um eine senkecht zu seine Längsachse duch eins seine Enden gehende Achse und ezeuge daduch ein magnetisches Dipolmoment m =, 7 Am.. Wie ist das magnetische Dipolmoment definiet?. Wie goß ist die Ladung Q? 3. Wie goß ist de Betag des auf den magnetischen Dipol wikenden Dehmoments in einem Magnetfeld mit de Flussdichte B =, 3 T, das unte einem Winkel von 68 zum Vekto des Dipolmoments steht? () 4

5 Feomagnete: χ, χ > en zu Massentennung geladeassenspektometen vewendet Antifeomagnete: χ, χ > χ ist kleine ossene Leite im Magnetfeld als bei Paamagneten nnung U H,diezuMagnetfeldtzt weden kann. Antifeimagnete: χ, χ >. ines Stomes und die Loentzwegte In Mateie gilt: Ladung im. Magnetfeld fe de Relativitätstheoie allein B = µ ( + χ) H = µ µ H m = I A. () -Gesetz und den Loentztansiten.. Hie gilt Pemeabilitätszahl. Die dimensionslose Konstante µ heißt elative Teil de Loentzkaft q v B Das magnetische Dipolmoment dm = AdI = π ω π dq = ω eine vom Stom I sfomation auf ein mit v betem auf elektische Käfte zu- Die Magnetisieung l umflossenen Fläche A ist definiet Q d als p m = I A (3) en, d. h. man kann imme ein m = ωq l d = ωq l 3 den, in dem das Magnetfeld l l 3 = ωql (4) M = x H = pm 6 Q = 6m ωl = 6 V, 7 Am es als auch magnetisches Feld gibt die Vektosumme alle atomaen 9s (8 3 m) = magnetischen Dipole po Volumeneinheit an. 8, 65 C (5) lgemeinen beim Übegang zwinen Inetialsystemen. Die Geit Feomagnetismus ist eine Eigenschaft des ma- die Bewegungsgleichungen 3. Allgemein gilt D koskopischen = m B. Hie Aufbaus egibtbestimmte sich feomagne- aiant. tische Stoffe. E veschwindet obehalb de n Eigenschaften von Mateie D = mb sincuie-tempeatu ϕ =, 7 TAm, 3T sin 68 = 6, 48 C. Nm (6) magnetische Suszeptibilität χ Das Magnetfeld de Ede wid hauptsächlich untescheiden: duch Magmastöme im Edinneen ezeugt. 3.3 Magnetische Kaft Magnetische Mateialien in de Edkuste bewikensind nu kleine im Abstand lokale Vaiationen von a = cm des Edmagnet- paallel zueinande in z-richtung Zwei lange geade Dähte ausgespannt und weden feldes. jeweils von dem Stom I = A duchflossen, und zwa einmal in gleiche Stomichtung, im andeen Fall in entgegengesetzte Richtung. EN. Man veanschauliche das esultieende Magnetfeld in de x-y-ebene senkecht zu den Dähten. (siehe Abbildung (a)) de Dähte sind im Abstand zueinande in z-richtung ausden jeweils von dem Stom ssen, und zwa einmal in gleig, y y im andeen Fall in entgegen- a B( x, y) =? g. B( x, y) =? auliche sich das esultieende a x a x x-y-ebene senkecht zu den phische Übelageung. a) b) das Magnetfeld fü Punkte auf Abb. 3.58a,b. Zu Aufgabe 3. e (Abb. 3.58a).. Man bestimme die Käfte po Längeneinheit, die die Dähte aufeinande ausüben (Abbildung (a)). 3. Wie goß ist die Kaft, wen die Dähte senkecht zueinande stehen, das heißt auf den Geaden z = y = und x =, y = cm (siehe Abbildung (b)). 5

6 .. Bei paallelen Leiten gilt fü die Kaft zwischen den Leiten po Mete Länge F L = µ 4πa I I (ê ϕ ê z ) (7) wobei ê z in die +z-richtung zeigt und ê ϕ die Richtung des Magnetfelds eines Dahtes am Ot des andeen Dahtes angibt. Fü I = I = I sind F und F aufeinande zu geichtet (Anziehung) und fü I = I = I voneinande weg geichtet (Abstoßung). De Betag de Kaft ist in beiden Fällen F L = µ I 4πa (8) 3. Die Kaft auf ein Längenelement dl des Dahtes in z-richtung im Magnetfeld des Dahtes in x-richtung ist df = I (dl B ) (9) dl = {,, dz} (3) B = {, B y, B z } (3) also df x = I B y dz und df y = df z =. Die y-komponente des Magnetfeldes des stomduchflossenen Dahtes in x-richtung ist im Punkt (, a, z) auf dem andeen Daht B y = µ I z π a + z (3) df x = µ π I zdz I a + z (33) Auf ein Stück des Dahtes von z = b bis z = +b wikt damit die Kaft F x = z df x = µ I I z 4π ln(a + z ) Die Kaft zwischen den Dähten veschwindet also. z=+b z= b = (34) 6

7 Rechte-Hand-Regel => Richtung von B in und 4, 3.4 Biot-Savat und Ampee Beechnen Sie duch die Wahl eine geeigneten Methode das Magnetfeld folgende Anodnungen:. Auf de Achse senkecht duch den Mittelpunkt eine keisfömigen, mit Stom I duchflossenen Leiteschleife mit Radius R.. Eine unendlich langen, mit Stom I duchflossenen Platte de Beite d (d sei so goß, dass Steufelde am Rand de Platte venachlässigba sind) mit venachlässigbae Dicke. 3. Zweie konzentisch angeodnete, unendlich lange Rohe mit Innenadien und und Wandstäke d, die in entgegengesetzte Richtung jeweils vom Stom I duchflossen weden. Bestimmen und skizzieen Sie B() fü <. Die Stomdichte in den Rohen sei jeweils konstant (otsunabhängig). Pof. D. G. Absteite Aufgabe : Ampee ode Biot-Savat?. Wi wählen als Paametisieung: a) Biot-Savat sches Gesetz: Mustelösung de Übungen zu Expeimentalphysik II Blatt 7 Bespechung: RsinΦdΦ R ds = R cos Φd Φ ; = R Rz cos sin π µ I φ Φ µ I cos φ I B µ µ = 3 ( ds ) = Rz sin d d s = R cos φ dφ Φ Φ = = 3 3 4π = R sin φ (35) 4π 4π z R ( sin cos ) π R R Φ + Φ Also lautet das Biot-Savatsche Gesetz: = µ I B = (d s ) (36) π π 4π3 cosφdφ = sinφdφ = π Rz cos φ µ I = b) Ampee sches 4π 3 Rz sin φ dφ RGesetz (sin φ + cos φ) wegen = µ I 4π 3 = µ I R e πr (R + z ) 3 z (37) π cos φ dφ = π sin φ dφ = (38) 7

8 = π π cosφdφ = sinφdφ =. B weist in Richtung und 4, die Betäge von und 3 sind venachlässigba (vgl. Steufelde b) Ampee sches beim Plattenkondensato). Gesetz Das Ampeesche Gesetz lautet: Rechte-Hand-Regel => Richtung von B in und 4, B d s = B( z)dy + B(z)dy (39) Beitag von und 3 venachlässigba (ähnlich 4 wie Steufelde beim Plattenkondensato) = B( z) d B(z) ( d) = µ I (4) 4 ( ) Aus Symmetiebetachtungen Bds = B( z) dy + Bzdy ( folgt ) B(z) = = z) B( z) d B() zund damitd = µi Symmetie: B( z) = B( z) 3. Hie eine Skizze zu Aufgabe c) µi B = µ I B = d b (4) Ampee sches Gesetz: Bds = µ I, mit I dem eingeschlossenen Stom Das Ampee sche Gesetz lautet hie B ds = µ I, mit I als dem eingeschlossenen I Stom. Die Stomdiche I Stomdichte im inneen Roh im inneen betägt Roh: j = jπ( =, im äußeen Roh +d) π( π + d) I π betägt sie j = π(. Es liegen nun unteschiedliche Bescheibungen je nach +d) π Wet von vo: I Stomdichte im äußeen Roh: j = π( + d) π : πb = B =. : π B= B= I + d: πb = µ π( I µ I( (π( +d) + π )) B = µ I( d : ) π(( π B = µ +d) ( π π ). ) B = + d : B = µ I. π ( + d) π π(( π I (π( : µ I + d: πb = + µ d )) B = π( µ +d) π I B = µ I( +d) π(( π +d) ). < : πb = B =. µ I µ I + d : π B = µ I ( π π ) B = Es egibt sich eine Kuve de folgenden Fom π ( + d ) π π + d < : π B = B = B 8

9 π d B I µ I B µ I ( ) + : π = µ ( π π ) = π ( + d ) π π ( + d) + d < : π B = B = B +d +d 3.5 Paa-, Dia- und Feomagnetismus. Wie kann man expeimentell zwischen einem diamagnetischen, einem paamagnetischen und einem feomagnetischen Mateial untescheiden?. Ein leitendes, schwingendes Pendel taucht in ein homogenes Magnetfeld ein. Eläuten Sie die Dämpfung mithilfe de Lenzschen Regel. 3.6 Magnetisieung Ein Aluminiumstab (Pemeabilität von Aluminium: µ,al = +, 5 ) de Länge l = cm wid mit N = 5 Dahtwicklungen gleichmäßig umwickelt. Im Daht fließe nun ein Stom I = A.. Ist Aluminium paa-/feo- ode diamagnetisch?. Wie goß ist die Magnetisieung M des Aluminiums? 3. Wie hoch ist die magnetische Flussdichte B im Aluminium? 4. Welche Stom müsste in eine baugleichen Spule mit Eisenken (Pemeabilität von Eisen: µ,f e 5) fließen, damit dot die gleiche magnetische Flussdichte hescht?. Wegen µ,al > : paamagnetisch. H = NI l = 5 A m M = χh = (µ )H =, 5 A m (4) (43) B = µ (H + M) = µ µ H =, 57 V s m (44) B Al = B F e (45) µ µ,al H Al = µ µ,f e H F e (46) µ,al I Al = µ,f e I F e (47) I F e = µ,al µ,f e I Al =, A (48) 9