Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten"

Cornelia Lichtenberg
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Lernkarten Stochastik 4 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf festem Papier oder auf Visitenkarten- Papier, so dass man sie hinterher zerschneiden kann. Da dies eine Erstproduktion ist, bitte ich, mir eventuelle Fehler mitzuteilen sowie Verbesserungs- und Ergänzungsvorschläge zu machen. Jens Möller.

3 Wie lautet die 1. PFADREGEL? (= Produktregel) Wie lautet die 2. PFADREGEL? (= Summenregel) ZIEHEN MIT ZURÜCKLEGEN Was gilt für die Wahrscheinlichkeiten? ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN Was gilt für die Wahrscheinlichkeiten? Wie kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A mit Hilfe des Gegenereignisses A bestimmen? Ereignis: Es werden mindestens drei rote Kugeln gezogen. Wie lautet das Gegenereignis? Ereignis: Es wird höchstens eine rote Kugeln gezogen. Wie lautet das Gegenereignis? Wie berechnet man den ERWARTUNGSWERT einer Zufallsvariable X? Wann ist ein Spiel fair? A und B sind zwei unabhängige Ereignisse ( und B) ( oder B) P A P A =? =?

4 Die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu einem Ereignis gehören, werden addiert. Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich bei jedem Zug. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem Zug unverändert. Das Gegenereignis lautet: Es werden höchstens zwei rote Kugeln gezogen. ( A) = 1 ( A) P P ( ) = 1 ( = 1) n ( = n) = ( = ) = E X k P X k k P X k k Einzelwerte, P X k Einzelwahrsch. i i Das Gegenereignis lautet: Es werden mindestens zwei rote Kugeln gezogen. ( und ) = ( ) ( ) ( oder ) = ( ) + ( ) P A B P A P B P A B P A P B Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert Null ist.

5 Wie ist die klassische WAHRSCHEINLICHKEIT definiert? ELEMENTARE REGELN der Wahrscheinlichkeit KOMBINATIONEN Wie berechnet man die Auswahl von 3 aus 7 Elementen? PERMUTATIONEN Wie berechnet man die Anzahl der Anordnungen bei 7 Elementen? Was versteht man unter einem LAPLACE-EXPERIMENT? Was ist ein ZUFALLSEXPERIMENT? Was versteht man unter einem BERNOULLI-EXPERIMENT? Was versteht man unter einer BERNOULLI-KETTE? Wann ist eine ZUFALLSVARIABLE X binomialverteilt? Was versteht man unter einer ZUFALLSVARIABLE X?

6 ( ) ( ) ( ) 0 P E 1 E = Ereignis P E = 0 E = unmögliches Ereig. P E = 1 E = sicheres Ereignis ( ) ( ) P E + P E = 1 E = Gegenereignis ( ) = P E günstige Fälle mögliche Fälle 7! = = = = sprich : 7 über 3 gleich 35 Bei einem ZUFALLSEXPERIMENT hängt der Versuchsausgang allein vom Zufall ab. Bei einem LAPLACE-EXPERIMENT sind alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs gleichwahrscheinlich. Wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander ausgeführt wird, ist das eine Bernoulli-Kette der Länge n. Dabei darf sich p nicht verändern. Bei einem BERNOULLI-EXPERIMENT gibt es nur zwei mögliche Versuchsausgänge. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p und die Gegenwahrscheinlichkeit 1 p. Eine ZUFALLSVARIABLE X ist eine Funktion, die den Ereignissen E eines Zufallexperimentes bestimmte Werte k zuordnet. Eine ZUFALLSVARIABLE X ist binomialverteilt, wenn das Zufallsexperiment nur zwei mögliche Ausgänge hat und sich bei Wiederholung die Trefferwahrscheinlichkeit p nicht ändert.

7 Wie bestimmt man bei einer binomialverteilten Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer? Wie bestimmt man bei einer binomialverteilten Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer? Wie berechnet man P( X < k )? Wie berechnet man P( X > k )? Wie berechnet man P( X k )? Wie berechnet man P( X k )? Wie berechnet man bei einer Bernoulli-Kette den Erwartungswert? Wie berechnet man P( k X k ) 1 2? Wie sieht ein Histogramm für p = 0,5 aus? Wie sehen Histogramme für p < 0,5 bzw. für p > 0,5 aus?

8 ( k) = 1 P( X k) 1 P( X k 1) P X = < = = ( p k ) 1 binom cdf n / / 1 ( k) P X = binom cdf n ( / p / k ) ( > ) = 1 ( ) 1 binom cdf ( n / p / k ) P X k P X k ( < ) = ( 1) binom cdf ( n / p / k 1) P X k P X k ( ) = 1 ( 1) 1 binom cdf ( n / p / k 1) P X k P X k ( k) P X = binom cdf n ( / p / k ) ( 1 2) = ( 2) ( 1 1) ( / / ) ( / / 1) P k X k P X k P X k binom cdf n p k binom cdf n p k 2 1 E( X) = n p Der Erwartungswert ist ein MITTELWERT μ. Die Histogramme sind asymmetrisch: linksschief bzw. rechtsschief. Der längste Balken stellt den Erwartungswert dar. Das Histogramm ist symmetrisch und glockenförmig. Der längste Balken stellt den Erwartungswert dar.

9 Wie lautet die BERNOULLI-FORMEL Für genau k Treffer? Wie lautet die BERNOULLI-FORMEL Für höchstens k Treffer? Wann liegt ein linksseitiger HYPOTHESENTEST vor? Wie ist der Ansatz? Wann liegt ein rechtsseitiger HYPOTHESENTEST vor? Wie ist der Ansatz? Wie sieht bei einem linksseitigen Hypothesentest der ABLEHNUNGSBEREICH aus? Wie sieht bei einem rechtsseitigen Hypothesentest der ABLEHNUNGSBEREICH aus? Worum geht es bei einem HYPOTHESETEST? Worum handelt es sich bei der IRRTUMSWAHRSCHEINLICHKEIT α bei einem Hypothesentest? Was versteht man unter einem Fehler der 1. Art? Was versteht man unter einem Fehler der 2. Art?

10 k ( ) ( ) P X k = P X = k = 0 ( 0) ( 1 )... ( ) binom cdf ( n / p / k ) = P X = + P X = + + P X = k n P X k p p k binom pdf n k ( = ) = ( 1 ) ( / p / k ) n k H 0 1 : p... H : p >... Ansatz : P( X k ) = 1 P( X k 1) α Ansatz : P( X k ) H 0 1 : p... H : p<... α A = { k /.../ n } A = { 0 /.../ k } Die Irrtumswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl diese zutrifft (Fehler 1. Art). Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll in der Regel weniger als 5% betragen. Bei einem Hypothesentest geht es darum, mit Hilfe von Stichproben zu prüfen, ob eine Nullhypothese anzunehmen oder abzulehnen ist. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie falsch ist. Fehler 2. Art sind kein Prüfungsthema. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl die Nullhypothese zutrifft. Der Fehler 1. Art ist so groß wie die Irrtumswahrscheinlichkeit α.

Ähnliche Dokumente

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)