Rundungsfehler-Problematik bei Gleitpunktzahlen

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1 Rundungsfehler-Problematik bei Gleitpunktzahlen 1 Rechnerzahlen 2 Die Rundung 3 Fehlerverstärkung bei der Addition Rundungsfehler-Problematik 1

2 1. Rechnerzahlen allgemeine Zahlendarstellung zur Basis b : jedes x R hat eine exakte (ggf. unendliche) Darstellung ( x = s a k b k) b e k=1 wobei s { 1, +1} Vorzeichen a k {0, 1,..., b 1} Ziffern b 2 Basis (z.b. 10, 2, 16) e Z Exponent Rundungsfehler-Problematik Rechnerzahlen 2

3 normalisierte Gleitpunktzahlen Definition (1.1) Menge der normalisierten Gleitpunktzahlen (Rechnerzahlen) G = G(b, l, E min, E max ) zur Basis b, mit Mantissenlänge l und Exponentenschranken E min < 0 < E max ist definiert als Menge aller Zahlen x mit der Darstellung x = s ( l a k b k) b e mit s { 1, +1}, a k {0,..., b 1}, a 1 0, k=1 und der Zahl 0. E min e E max, e Z Schreibweise : (0.a 1 a 2... a l ) b := l k=1 a kb k Rundungsfehler-Problematik Rechnerzahlen 3

4 Das Gitter der Rechnerzahlen!! Auf jedem Rechner kann man nur endlich viele Zahlen darstellen!! darstellbarer Bereich D (sei B := b 1) x = a b e > 0 x min = ( ) b b E min = b E min 1 x max = (0.BB... B) b b Emax = b Emax (1 b l ) also G D := [ x max, x min ] {0} [x min, x max ] Beispiel : double precision numbers (IEEE-Standard) G = G(b, l, E min, E max ) = G(2, 53, 1021, 1024) Eine Rechnerzahl x G beansprucht 64 Bit = 8 Byte. x min , x max Rundungsfehler-Problematik Rechnerzahlen 4

5 relative Genauigkeit der Gleitpunkt-Darstellung Theorem (1.2.) Vor. : G = G(b, l, E min, E max ) x R, x min x x max Beh. : x x min 1 x G x 2 b1 l =: ε Beispiel: "relative Maschinengenauigkeit" ε beim IEEE-Standard Typ double : b = 2, l = 53 ε = e 16 Typ float : b = 2, l = 24 ε = e 8 Rundungsfehler-Problematik Rechnerzahlen 5

6 2. Die Rundung Ziel : zu jeder Zahl x R eine Rechnerzahl rd(x) G finden mit Intervallschachtelung : x rd(x) = min x x x G sei e so dass x [b e 1, b e ) betrachten nur den Fall x > 0 und b gerade sei x 1 = a b e so dass x [ x 1, x 1 + b l b e ), a = (0.a 1 a 2... a l ) b x = (0.a 1... a l z l+1... ) b b e mit z l+1 {0, 1,..., b 1} z l+1 ist die erste wegfallende Ziffer a b e, falls z l+1 < 1 2 b l (abrunden) (a + b l )b e, falls z l rd(x) := b l (aufrunden) 0, falls x < x min (underflow) NaN, falls x > x max (overflow) Rundungsfehler-Problematik Die Rundung 6

7 Rundungsfehler Definition (relativer Rundungsfehler) Zu gegebenem x R mit x 0 heißt ε x := rd(x) x x relativer Rundungsfehler von x. Für x = 0 sei ε x := 0, da 0 G. Genauigkeit der Rundung : Theorem 1.2 ε x ε = 1 2 b1 l beim Typ double Bemerkung : ε x = 0.12 bedeutet "12 % Rundungsfehler" Rundungsfehler-Problematik Die Rundung 7

8 Maschinenoperationen auf dem Computer wird jede arithmetische Grundoperation {+,,, /} mit : R R R durch eine entsprechende Maschinenoperation ersetzt: {,,, } mit : G G G Realisierung durch : { rd(a b), falls a b xmax a b := NaN (not a number), falls a b > x max beachte : i.a. sind Rechengesetzte verletzt, d.h. (a b) c a (b c) und (a b) c a c b c Rundungsfehler-Problematik Die Rundung 8

9 Realisierung mathematischer Funktionen auf dem Computer werden auch elementare math. Funktionen f : R R, z.b f(x) = sin(x), f(x) = e x, f(x) = x näherungsweise dargestellt durch : f f : G G Realisierung durch : f(x) := { rd(f(x)), falls f(x) xmax NaN (not a number), falls f(x) > x max Rundungsfehler-Problematik Die Rundung 9

10 Beispiel für stabiles und instabiles numer. Verfahren Problem : zu geg. x > 0 berechne y = f(x) := 1 + x 2 1 x 2 Verfahren A : nach Formel y = 1 + x 2 1 x 2 u 1 = x x u 2 = u u 3 = u 2 u 4 = u 3 1 y = u 4 /u 1 Verfahren B : nach äquivalenter Formel y = x 2 v 1 = x x v 2 = v v 3 = v 2 v 4 = v y = 1/v 4 (siehe Ü-Aufgabe) Rundungsfehler-Problematik Die Rundung 10

11 3. Fehlerverstärkung bei der Addition seien x k R, k = 1, 2, gegebene Zahlen und x k := rd(x k ) G die zugeh. Rundungen seien ε k := x k x k die zugeh. abs. Rundungsfehler fortgepflanzter Ergebnisfehler der Addition ist def. als: ε rel := ( x 1 x 2 ) (x 1 + x 2 ) x 1 + x 2 der absolute Rundungsfehler von ( x 1 + x 2 ) sei: dann gilt die Abschätzung ε s := rd( x 1 + x 2 ) ( x 1 + x 2 ) ε rel max{ x 1, x 2, x 1 + x 2 } x 1 + x 2 }{{} =:F V ( ε1 x 1 + ε 2 x 2 + ε ) s x 1 + x 2 }{{} rel. Rundungsfehler 3 ε Rundungsfehler-Problematik Fehlerverstärkung bei der Addition 11

12 Diskussion von F V in der Abschätzung von ε rel ist F V mit F V := max{ x 1, x 2, x 1 + x 2 } x 1 + x 2 der Faktor der Verstärkung der rel. Rundungsfehler problematisch ist der Fall, wenn x 2 x 1 und max{ x 1, x 2, x 1 + x 2 } nicht sehr klein ist, d.h. wenn man nahezu gleiche, nicht-kleine Zahlen voneinander subtrahiert: dann wird F V riesig groß!!! und man spricht vom Phänomen der Auslöschung das Rundungsfehler-Problem kann man nicht beseitigen, man kann aber oft durch geschicktes Rechnen das Auftreten von Auslöschung vermeiden!!! (siehe Ü-Aufgabe) Rundungsfehler-Problematik Fehlerverstärkung bei der Addition 12