Kapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme

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Maria Johanna Hartmann
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1 Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 4: Nichtlineare Nullstellenprobleme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 2015

2 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 1/23 Aufgabenstellung Nichtlineares Nullstellenproblem Gegeben: f : R n R n Gesucht: x R n mit f (x) = 0 Bemerkung In Kapitel 2 war f (x) = Ax b.

3 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 2/23 Beispiel i Leitung Energiequelle P Q v Q R v L P L Last (Verbraucher) Bekannt Leistung P Q der Energiequelle in Watt Leistung P L der Last Widerstand R der Leitung Unbekannt Spannungen v Q und v L über Quelle und Last Strom i durch Leitung (und Quelle und Last) (insbesondere Leistungsverlust der Leitung)

4 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 2/23 Beispiel i Leitung Energiequelle P Q v Q R v L P L Last (Verbraucher) Physikalische Zusammenhänge i = (v Q v L )/R P Q = v Q i = v Q (v Q v L )/R P L = v L i = v L (v Q v L )/R Nichtlineares Gleichungssystem f (v Q,v L ) := ( ) ( 2 vq v Q v L RP Q! 0 v 2 = L + v L v Q RP L 0)

5 4.1 Kondition des Nullstellenproblems

6 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 3/23 Störung in Nullstellenproblem Störung in f f : R n R n gestört f : R n R n x Lösung von f (x) = 0, x Lösung von f (x) = 0 Frage Wie groß ist x x im Verhältnis zu f f? Achtung Absolute Kondition, da wegen f (x ) = 0 relative Kondition nicht wohldefiniert. Fehleranalyse Tafel

7 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 4/23 Problem mit singulärer Jacobimatrix x x (f (x )) 1 f f f (x) f (x ) 0 f (x) f (x ) = 0 x x x x Eventuell hat f (x) = 0 gar keine Lösung

8 4.2 Fixpunktiteration

9 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 5/23 Grundlegende Idee Problem f (x) = 0 ist i.a. nicht durch Umstellen lösbar Umschreiben als Fixpunktiteration und zugehörige Iterationsvorschrift: f (x) = 0 x = x f (x) x k+1 = x k f (x k ) Hoffnung Falls x k konvergiert für k, dann x = x +1 = x f (x ) Also f (x ) = 0.

10 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 6/23 Beispiel 1: 0,5 Gesucht 0,5, also Lösung von f (x) := x 2 0,5 = 0 Umschreiben als Fixpunktgleichung: x = x (x 2 0,5) mit zugehöriger Iterationsvorschrift: x k+1 = x k xk 2 + 0,5 Iterationen Matlab Funktioniert! (zumindest für gute Startwerte)

11 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 7/23 Illustration der Iteration für 0,5 y 1 y = x y = x x 2 + 0, x

12 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 8/23 Beispiel 2a: 2 Gesucht 2, also Lösung von f (x) := x 2 2 = 0 Umschreiben als Fixpunktgleichung: x = x (x 2 2) mit zugehöriger Iterationsvorschrift: x k+1 = x k xk Iterationen Matlab Funktioniert nicht!

13 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 9/23 Illustration der Iteration für 2 y 2 y = x x y = x x 2 + 2

14 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 10/23 Beispiel 2b: 2 zweiter Versuch Gesucht 2, also Lösung von f (x) := x 2 2 = 0 Umschreiben als neue Fixpunktgleichung: x = x 1 2 (x 2 2) mit zugehöriger Iterationsvorschrift: x k+1 = x k 1 2 x k Iterationen Matlab Funktioniert!

15 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 11/23 Illustration der neuen Iteration für 2 y 2 y = x 1 y = x 1 2 x x

16 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 12/23 Allgemeiner Ansatz zum Erreichen der Konvergenz Fakt Sei M : R n R n n mit M(x) invertierbar x R n. Dann gilt: f (x) = 0 M(x)f (x) = 0 x = x M(x)f (x) =: Φ M (x) Ziel Wähle M(x) so, dass x k+1 = Φ M (x k ) konvergiert. Im Beispiel 2b hat konstante (1 1-) Matrix M(x) = 1 2 funktioniert.

17 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 13/23 Entscheidender Unterschied zwischen Beispielen 2a und 2b Frage Warum funktioniert Beispiel 2b aber 2a nicht? Erklärung Tafel Definition Eine stetig differenzierbare Funktion Φ : R n R n heißt: Kontraktion im Punkt x R n : Φ (x) < 1 Selbstabbildung auf E R n : x E : Φ(x) E

18 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 14/23 Banachscher Fixpunktsatz Satz (Banachscher Fixpunktsatz) Voraussetzungen: Φ : R n R n stetig differenzierbar Φ Selbstabbildung auf kompaktem E R n Φ Kontraktion x E Dann gilt: Es existiert eindeutiges x E mit Φ(x ) = x. x x+1 = Φ(x k ) konvergiert gegen x für alle Anfangswerte x 0 E. Mit L := max x E Φ (x) < 1 gelten folgende Fehlerabschätzungen: Lk x k x 1 L x 1 x 0 a-priori Fehlerschätzer x k x L L 1 x k x k+1 a-posteriori Fehlerschätzer

19 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 15/23 Bemerkungen zu Banachschem Fixpunktsatz Bemerkungen Der Beweis basiert wesentlich auf der Ungleichung x k+1 x k = Φ(x k ) Φ(x k 1 ) L x k x k 1 mit Lipschitz-Konstante L < 1. Falls Φ (x ) < 1 dann ist Φ automatisch Selbstabbildung auf genügend kleiner Umgebung von x. Kontraktion ist normabhängig, Konvergenz aber nicht. Beispiel: Φ ( ( a b ) ) = ( 1 3 b cos2 a + 1 ) ab sin2 a Analyse des Beispiels Tafel Fixpunktiteration Matlab

20 4.3 Newtonverfahren

21 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 16/23 Beste Fixpunktgleichung Nullstellenproblem f (x) = 0 zugehöriges Fixkpunktproblem x = x M(x)f (x) =: Φ M (x) mit frei wählbarem, invertierbarem M(x) Gute Wahl für M(x) M gut Φ M (x) klein, insbesondere für x = x Nahezu perfekte Wahl, falls Φ M (x ) = 0. 0 = I M (x ) f (x ) M(x )f (x ) }{{} =0 M(x ) = f (x ) 1

22 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 17/23 Newton-Verfahren Definition Das Iterationsverfahren x k+1 = Φ M (x k ) mit Φ M (x) := x f (x) 1 f (x) heißt Newton-Verfahren zur Lösung von f (x) = 0. Algorithmus (Newton-Verfahren) 0) Wähle guten Startwert x 0 R n 1) Berechne M k = f (x k ) (Jacobimatrix) 2) Löse lineares Gleichungssystem M k s k = f (x k ) 3) x k+1 = x k s k

23 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 18/23 Konvergenzrate des Newtonverfahrens Wegen Φ M (x ) = 0 < 1 ist Konvergenz in der Nähe der Lösung x von f (x) = 0 durch Banachschen Fixpunktsatz gesichert. Genauer: Satz (Quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens) Voraussetzungen: U R n offen und konvex, x U f : U R n differenzierbar f (x) invertierbar mit f (x) 1 β x U für ein β > 0 Es existiere γ > 0: f (x) f (y) γ x y Anfangswert erfülle x 0 x < 2 βγ =: ω Dann konvergiert das Newtonverfahren quadratisch, d.h. x k+1 x < 1 ω x k x 2 x, y U

24 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 19/23 Lineare und quadratische Konvergenz Nach Umstellen liefert Banachscher Fixpunktsatz nur lineare Konvergenz: α k := x k x c 1 x k 1 x, 0 < c 1 < 1, wärend unter der stärker Voraussetzung Φ (x ) = 0 (statt Φ (x ) < 1) quadratische Konvergenz gilt: β k := x k x c 2 x k 1 x 2, 0 < c 2 < 1 x 0 x Illustration des Unterschiedes (c 1 = 0,1, c 2 = 1, α 0 = β 0 = 0.5): k α k =c 1 α k 1 0,05 0, β k =c 2 βk 1 2 0,25 0,

25 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 20/23 Zusammenfassung Netwonverfahren Vorteile quadratische Konvergenz (sehr schnell) im R n anwendbar (nicht nur n = 1) Nachteile nur lokale Konvergenz quadratische Konvergenz nur in unmittelbarer Nähe der Lösung Jacobimatrix f (x) muss berechnet/bekannt werden Jacobimatrix f (x) muss invertierbar sein

26 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 21/23 Beispiel Newton-Verfahren Erinnerung an Beispiel vom Anfang des Kapitels ( ) v 2 f (v Q,v L ) = Q v Q v L RP Q vl 2 + v Lv Q RP L! = ( ) 0 0 Invertierbarkeit von f? [ ] f 2vQ v (v Q,v L ) = L v Q v L 2v L + v Q det f (v Q,v L ) = 2(v L v Q ) 2, also f (v Q,v L ) invertierbar v L v Q ( ) vq ist keine Lösungen von f (v v Q,v L ) = 0 Q f (v Q,v L ) invertierbar in Nähe der Lösung

27 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 22/23 Anwendung Newton-Verfahren auf Beispiel R = 10 Ω, P Q = 100 W, P L = 90 W v L = v Q v L 100 k (v k Q,v k L ) 0 (50, 10) 1 (48,44, 27,19) 2 (65,91, 52,94) 3 (90,44, 80,10) 4 (99,63, 89,63).. 8 (100, 90) 100 v Q

28 HM: Numerik (SS 2015), Kapitel 4, Folie 23/23 Hinweise zur praktischen Anwendung Fehlerabschätzung: x k x x k+1 x k für große k [ ] Approximation der Jacobimatrix f (x) = f (x) f (x) f (x) x 1, x 2,..., x n z.b. mit Hilfe von finiten Differenzen: f (x) x i f (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f (x), h > 0 klein h ACHTUNG: Für zu kleines h Problem der Auslöschung Optimales h eps (= 10 8 für double) f (x k ) f (x k+1 ) wenn x k x k+1 Benutze dieselbe Jacobimatrix in mehreren Schritten vereinfachtes Newton-Verfahren In der Praxis benutzt man Jacobimatrix für 3 bis 5 Schritte Um Konvergenzbereich zu vergrößern, kann gedämpftes Newton-Verfahren genutzt werden: mit geeignetem λ k (0,1] x k+1 = x k λ k f (x k ) 1 f (x k )

29 4.4 Skalare Nullstellenprobleme Tafel

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