Finite Differenzen Methode (FDM)

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1 Finite Differenzen Methode (FDM) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/deckblatt_fdm.tex Seite 1 von 15. p.1/15

2 Inhaltsverzeichnis 1. Problemdarstellung 2. Bilanzgleichungen 3. Finite Differenzen-Approximation 4. Formulierung für jeden Knoten 5. Steifigkeitsmatrix 6. Analytische Lösung /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/inhaltsverzeichnis_fdm.tex Seite 2 von 15. p.2/15

3 1D-Beispiel FDM H links 1. Geometrie A = 1 m 2 = 1m ents Q rechts x 2. Systemparameter k f = 10 5 m/s 1 m 1 4m Randbedingungen Q rechts = 10 4 m 3 /s H links = 50 m x x x x /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/problem.tex Seite 3 von 15. p.3/15

4 Bilanzgleichungen (FDM 1D) Kontinuitätsgleichung (Massenbilanz für ein inkompressibles Fluid): v q = 0 Impulsgleichung Darcy Gleichung (mit den erforderlichen Annahmen): v = k f h mit h = p ρg + z /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/ausgangsgl.tex Seite 4 von 15. p.4/15

5 Bilanzgleichungen (FDM 1D) Wenn wir die Darcy Gleichung in die Kontinuitätsgleichung einsetzen, dann erhalten wir: Annahmen: ( k f h) q = 0 und 1D x ( k f h x ) q = 0. Keine Quellen oder Senken innerhalb des Rohres, inkompressible Strömung, und (Re 10). /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/ausgangsgl_2.tex Seite 5 von 15. p.5/15

6 Differenzenquotienten (FDM 1D) Zielsetzung: Direkter Übergang von der partiellen Differentialgleichung (DGL) zur Differenzengleichung (algebraische Gleichung) Finite Differenzen Approximation h PSfrag replacements ĥ i ĥ i+1 (1) ĥ i 1 (2) (3) = 1.0[m] i 1 i i+1 /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/fd_approx.tex Seite 6 von 15 x. p.6/15

7 Differenzenquotienten (FDM 1D) Die Finite-Differenzen-Formulierung kann für die erste Ableitung dh auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Diese können aus der Taylorreihe abgeleitet werden. ( ) dh i+ = h i+1 h i Vorwärts-Differenzenquotient (1) ( ) dh i = h i h i 1 Rückwärts-Differenzenquotient (2) ( ) dh i = h i+1 h i 1 2 Zentraler Differenzenquotient (3) /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/fd_approx2.tex Seite 7 von 15. p.7/15

8 Differenzenquotienten (FDM 1D) Die Näherung für die zweite Ableitung kann durch das Addieren der Taylorentwicklung einmal in Vorwärtsrichtung und einmal in Rückwartsrichtung berechnet werden. Dabei wird der Entwicklungsterm erster Ordnung eliminiert oder man verfährt wie unten gezeigt durch die Kombination des Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzenquotienten. d 2 h 2 = d ( ) dh = 1 [( ) dh i+ ( ) ] dh i d 2 h = 1 2 ( hi+1 h i h i h i 1 ) = h i+1 2h i + h i 1 2 /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/fd_approx3.tex Seite 8 von 15. p.8/15

9 Aufstellen der Gleichungen (FDM 1D) Für jede unbekannte Größe benötigen wir eine Gleichung: Knoten 1 ist die bekannte Randbedingung H links. H links = h 1 oder k f h 2 h 1 = q 1 Knoten 2 wird entsprechend dem vorgestellten Schema berechnet. k f h i+1 2h i + h i 1 2 q i = 0 k f h 1 2h 2 + h 3 2 q 2 = 0, mit q 2 = 0, k f 1 2 (1, 2, 1) (h 1, h 2, h 3 ) T = 0 mit h 1 als Randbedingung. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/knoten.tex Seite 9 von 15. p.9/15

10 Aufstellen der Gleichungen (FDM 1D) Für Knoten 3 und Knoten 4 werden entsprechende Gleichungen aufgestellt. k f 1 2 (1, 2, 1) (h 2, h 3, h 4 ) T = 0, k f 1 2 (1, 2, 1) (h 3, h 4, h 5 ) T = 0. Knoten 5 ist wieder ein Randknoten, an dem die Neumann Randbedingung Q rechts gegeben ist. Diese Randbedingung wird direkt in der letzten Gleichung eingebaut. k f h 5 h 4 = Q rechts A k f 1 ( 1, 1) (h 4, h 5 ) T = Q rechts A. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/knoten2.tex Seite 10 von 15. p.10/15

11 Steifigkeitsmatrix (FDM 1D) Aufstellen des Gleichungssystem in Matrixform: h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 = k f q k f q rechts. In diesem Fall verwenden wir q rechts als Randbedingung. q ist der spezifische Durchfluss [m/s] während der Fluss Q die Einheiten [m 3 /s] hat. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/steifigkeitsmatrix_1.tex Seite 11 von 15. p.11/15

12 Steifigkeitsmatrix (FDM 1D) Da h 1 bekannt ist, können die zugehörige Zeile und Spalte gelöscht werden, wenn gleichzeitig die Spalteneinträge auf die rechte Seite, den Vektor der bekannten Größen, übertragen werden h 2 h 3 h 4 h 5 = H links 0 0 k f q rechts 1. Schritt: Berechnung der unbekannten Piezometerhöhen 2. Schritt: Überprüfung des unbekannten Flusses q 1 Das ist eine gute Übung für lange Herbstabende! /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/steifigkeitsmatrix_2.tex Seite 12 von 15. p.12/15

13 Analytische Lösung I Die Grundwassergleichung kann unter bestimmten Annahmen auch analytisch gelöst werden. Im eindimensionalen Fall sieht die Gleichung wie folgt aus: x ( k f h x ) q = 0. Wenn wir nun annehmen, dass die Permeabilität keine Funktion von x ist, können wir sie vor die Ableitung schreiben k f 2 h x 2 q = 0. Unter der weiteren Annahme keine Quellen und Senken im Gebiet zu haben (q = 0), erhalten wir die Laplace Gleichung. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/analy_lsg_1.tex Seite 13 von 15. p.13/15

14 Analytische Lösung II Die Laplacegleichung hat die folgende Form und kann durch zweifaches Integrieren nach h gelöst werden 2 h x 2 = 0 h x = C 1 h = C 1 x + C 2. Hier erkennt man die Notwendigkeit der beiden Randbedingungen. Diese werden gebraucht, um die beiden Konstanten C 1 und C 2 zu bestimmen. Aus der linken Randbedingung ergibt sich C 2 h(x = 0) = 50 m = C C 2 C 2 = 50 m. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/analy_lsg_2.tex Seite 14 von 15. p.14/15

15 Analytische Lösung III Aus der rechten Randbedingung ergibt sich C 1. Hier müssen wir allerdings aus dem Fluss auf den Piezometerhöhengradienten schließen. Dazu benötigen wir die Darcy Gleichung die wir nach h x auflösen Q = k f A h x, h x = C 1 = Q k f A = 10 4 m 3 /s 10 5 m/s 1 m 2 = 10. Damit erhalten wir die folgende Piezometerhöhenverteilung h(x) = 10x + 50 m. /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/2_fdm/analy_lsg_3.tex Seite 15 von 15. p.15/15