Wie druckt man eine Mannigfaltigkeit? Über die Topologie des 3D-Drucks
|
|
- Dagmar Martin
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Wie druckt man eine Mannigfaltigkeit? Über die Topologie des 3D-Drucks MNU-Landestagung. 02/2016. Regensburg Clara Löh Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg
2 Überblick Ziele Verständnis des Grundprinzip des 3D-Drucks Verständnis der topologischen Grundlagen dafür Clara Löh Einleitung 2
3 Überblick Ziele Verständnis des Grundprinzip des 3D-Drucks Verständnis der topologischen Grundlagen dafür Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Einleitung 2
4 Das Grundprinzip des 3D-Drucks Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 3
5 Das Grundprinzip des 3D-Drucks Dreidimensionale Objekte werden gedruckt, indem man Schicht für Schicht für Schicht für Schicht für Schicht... Material aufträgt. Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 3
6 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
7 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
8 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
9 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
10 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
11 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
12 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
13 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
14 Grundprinzip des 3D-Drucks, von Hand Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 4
15 Umsetzungen dieses Grundprinzips Stereolithographie UV-Laser härtet schichtweise Polymerharz STL Form 1+ (Formlabs) Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 5
16 Umsetzungen dieses Grundprinzips Stereolithographie UV-Laser härtet schichtweise Polymerharz Fused Deposition Modeling (Stratasys) = Fused Filament Fabrication (Reprap-Projekt) geschmolzenes Material wird schichtweise aufgetragen... STL Form 1+ (Formlabs) FFF Prusa i3 (Reprap) Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 5
17 Fused Filament Fabrication Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 6
18 Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7
19 Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7
20 Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Shapeways Shapeways Shapeways Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7
21 Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Shapeways Shapeways Shapeways Anschauungsmaterial für den Mathematik-Unterricht: Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7
22 Anwendungen des 3D-Drucks Schnelle Konstruktion von Prototypen Herstellung von Einzelstücken/Ersatzteilen... und vielen weiteren nützlichen Gegenständen: Shapeways Shapeways Shapeways Anschauungsmaterial für den Mathematik-Unterricht: Shapeways Shapeways Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 7
23 Drucker, die Drucker drucken 3D-Drucker bestehen aus Einzelteilen, von denen die meisten von einem 3D-Drucker gedruckt werden können... Clara Löh Wie druckt man dreidimensionale Objekte? 8
24 Drucker, die Drucker drucken 3D-Drucker bestehen aus Einzelteilen, von denen die meisten von einem 3D-Drucker gedruckt werden können... I Das Reprap-Projekt ( I Auswahl von Druckern im Reprap-Projekt: Mendel Clara Löh Prusa i3 Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Holliger 8
25 Überblick Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 9
26 Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10
27 Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Es genügt also, die Oberfläche des Objekts zu spezifizieren, und die Schnittflächen/Schnittlinien in der gewünschten Druckauflösung daraus zu berechnen. Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10
28 Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Es genügt also, die Oberfläche des Objekts zu spezifizieren, und die Schnittflächen/Schnittlinien in der gewünschten Druckauflösung daraus zu berechnen. Diese Oberflächen sind zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die in R 3 eingebettet sind. Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10
29 Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Erinnerung: Wir drucken die Schnittflächen Schicht für Schicht Es genügt also, die Oberfläche des Objekts zu spezifizieren, und die Schnittflächen/Schnittlinien in der gewünschten Druckauflösung daraus zu berechnen. Diese Oberflächen sind zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die in R 3 eingebettet sind. Fragen Was sind Mannigfaltigkeiten? Wie kann man Mannigfaltigkeiten geeignet spezifizieren? Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 10
30 Mannigfaltigkeiten und ihre Ränder Definition Sei n N. Eine n-mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie R n aussieht und hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Modellfall Beispiel Nicht-Beispiel Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 11
31 Mannigfaltigkeiten und ihre Ränder Definition Sei n N. Eine n-mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie R n aussieht und hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Modellfall Beispiel Nicht-Beispiel Definition Sei n N. Eine n-mannigfaltigkeit mit Rand ist ein topologischer Raum, der lokal wie R n oder {x R n x n 0} aussieht und hausdorffsch ist und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Modellfälle Beispiel Nicht-Beispiel Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 11
32 Beispielmannigfaltigkeiten... Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 12
33 Beispielmannigfaltigkeiten... Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 12
34 Diskrete Darstellung von Mannigfaltigkeiten? Wir suchen eine diskrete Beschreibung von Mannigfaltigkeiten, die für Berechnungen geeignet ist Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 13
35 Diskrete Darstellung von Mannigfaltigkeiten? Wir suchen eine diskrete Beschreibung von Mannigfaltigkeiten, die für Berechnungen geeignet ist Idee Lineare Approximation von Mannigfaltigkeiten durch Punkte, Strecken, Dreiecke, Simplizes,... Berechnung der Schnitte durch lineare Algebra Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 13
36 Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14
37 Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Sind s, t S, so ist der Durchschnitt s t leer oder eine Seite von s und t. erlaubt erlaubt nicht erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14
38 Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Sind s, t S, so ist der Durchschnitt s t leer oder eine Seite von s und t. erlaubt erlaubt nicht erlaubt nicht erlaubt Die Vereinigung S ist eine n-mannigfaltigkeit. erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14
39 Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten Definition Seien n, N N. Eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit von R N ist eine endliche Menge S von n-simplizes in R N mit folgenden Eigenschaften: Sind s, t S, so ist der Durchschnitt s t leer oder eine Seite von s und t. erlaubt erlaubt nicht erlaubt nicht erlaubt Die Vereinigung S ist eine n-mannigfaltigkeit. erlaubt nicht erlaubt Eine Triangulierung einer n-mannigfaltigkeit M ist eine triangulierte n-untermannigfaltigkeit S, für die S zu M homöomorph ist. (Ein mögliches Gütekriterium für eine Triangulierung einer eingebetteten Mannigfaltigkeit ist, dass der Abstand zur gegebenen Mannigfaltigkeit klein ist.) Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 14
40 Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15
41 Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: solid name Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15
42 Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: solid name Es folgt die Liste der Dreiecke der Triangulierung, wobei jedes Dreieck wie folgt definiert ist: facet normal n 1 n 2 n 3 outer loop vertex u 1 u 2 u 3 vertex v 1 v 2 v 3 vertex w 1 w 2 w 3 endloop endfacet u w v n äußerer Einheitsnormalenvektor erster Eckpunkt des Dreiecks zweiter Eckpunkt des Dreiecks dritter Eckpunkt des Dreiecks Zusätzlich wird verlangt, dass die Orientierung des Dreiecks mit der Richtung des Normalenvektors kompatibel ist; daher ist die Angabe von facet normal redundant. Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15
43 Das STL-Format ASCII STL ist ein Dateiformat, das es erlaubt, triangulierte Flächen in R 3 zu spezifizieren: solid name Es folgt die Liste der Dreiecke der Triangulierung, wobei jedes Dreieck wie folgt definiert ist: facet normal n 1 n 2 n 3 outer loop vertex u 1 u 2 u 3 vertex v 1 v 2 v 3 vertex w 1 w 2 w 3 endloop endfacet u w v n äußerer Einheitsnormalenvektor erster Eckpunkt des Dreiecks zweiter Eckpunkt des Dreiecks dritter Eckpunkt des Dreiecks Zusätzlich wird verlangt, dass die Orientierung des Dreiecks mit der Richtung des Normalenvektors kompatibel ist; daher ist die Angabe von facet normal redundant. endsolid name Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 15
44 Darauf aufbauende Fragen Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Clara Löh Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? 16
45 Überblick Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 17
46 Welche STL-Dateien geben sinnvolle dreidimensionale Objekte? D.h. welche Listen von Dreiecken in R 3 bilden den Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 18
47 Welche STL-Dateien geben sinnvolle dreidimensionale Objekte? D.h. welche Listen von Dreiecken in R 3 bilden den Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? topologische/geometrische Einschränkungen die Vereinigung der Dreiecke ist eine 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, und es dürfen keine Selbstdurchdringungen vorliegen (d.h. die Schnittbedingung für Dreiecke muss erfüllt sein) Topologische Tatsache: Jede 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, die in R 3 eingebettet ist, ist Rand einer kompakten in R 3 eingebetteten 3-Mannigfaltigkeit. Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 18
48 Welche STL-Dateien geben sinnvolle dreidimensionale Objekte? D.h. welche Listen von Dreiecken in R 3 bilden den Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? topologische/geometrische Einschränkungen die Vereinigung der Dreiecke ist eine 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, und es dürfen keine Selbstdurchdringungen vorliegen (d.h. die Schnittbedingung für Dreiecke muss erfüllt sein) praktische Einschränkungen keine losen Komponenten im inneren der äußersten Oberfläche, genug intrinsische Stabilität Topologische Tatsache: Jede 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand, die in R 3 eingebettet ist, ist Rand einer kompakten in R 3 eingebetteten 3-Mannigfaltigkeit. Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 18
49 Topologische/geometrische Einschränkungen Es genügt, folgendes nachzuweisen: Jede Kante eines Dreiecks der Liste ist Kante von genau zwei Dreiecken der Liste. erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 19
50 Topologische/geometrische Einschränkungen Es genügt, folgendes nachzuweisen: Jede Kante eines Dreiecks der Liste ist Kante von genau zwei Dreiecken der Liste. erlaubt nicht erlaubt Jede Ecke v eines Dreiecks der Liste erfüllt: die gegenüberliegenden Kanten formen einen Polygonkreis. erlaubt nicht erlaubt Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 19
51 Topologische/geometrische Einschränkungen Es genügt, folgendes nachzuweisen: Jede Kante eines Dreiecks der Liste ist Kante von genau zwei Dreiecken der Liste. erlaubt nicht erlaubt Jede Ecke v eines Dreiecks der Liste erfüllt: die gegenüberliegenden Kanten formen einen Polygonkreis. erlaubt nicht erlaubt Zur Überprüfung der Schnittbedingung sind alle Schnitte von je zwei Dreiecken zu berechnen. Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 19
52 Topologische Trickkiste Fragen Gegeben sei eine STL-Datei, die druckbar ist. Wieviele Henkel hat das resultierende dreidimensionale Objekt? Kann man einen Torus drucken, bei dem an jeder Ecke genau 2016 Dreiecke zusammentreffen? Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 20
53 Topologische Trickkiste Fragen Gegeben sei eine STL-Datei, die druckbar ist. Wieviele Henkel hat das resultierende dreidimensionale Objekt? Kann man einen Torus drucken, bei dem an jeder Ecke genau 2016 Dreiecke zusammentreffen? Beide Fragen lassen sich mithilfe der Klassifikation von Flächen beantworten: Satz Es gibt bis auf Homöomorphie nur die folgenden kompakten orientierbaren zusammenhängenden 2-Mannigfaltigkeiten ohne Rand:... Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 20
54 Die Euler-Charakteristik Definition Es sei eine triangulierte 2-Untermannigfaltigkeit S gegeben. Die Euler-Charakteristik von S ist definiert als χ(s) := #Ecken in S #Kanten in S + #Dreiecke in S Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 21
55 Die Euler-Charakteristik Definition Es sei eine triangulierte 2-Untermannigfaltigkeit S gegeben. Die Euler-Charakteristik von S ist definiert als χ(s) := #Ecken in S #Kanten in S + #Dreiecke in S Satz Ist S eine triangulierte, zusammenhängende 2-Untermannigfaltigkeit von R 3, so ist S eine kompakte orientierbare 2-Mannigfaltigkeit ohne Rand mit genau χ(s) Henkeln. Insbesondere hängt die Euler-Charakteristik nicht von der gewählten Triangulierung ab(!). Clara Löh Kann man jede STL-Datei drucken? 21
56 Überblick Wie druckt man dreidimensionale Objekte? Welche mathematischen Objekte druckt ein 3D-Drucker? Kann man jede STL-Datei drucken? Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Zusammenfassung Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 22
57 Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23
58 Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Erinnerung: Klassifikation solcher Flächen (bis auf Homöomorphie):... Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23
59 Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Erinnerung: Klassifikation solcher Flächen (bis auf Homöomorphie):... Kann jede solche Fläche in R 3 eingebettet werden? Kann jede solche Fläche trianguliert werden? Kann jede solche Fläche gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23
60 Kann man jede Fläche drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Fläche gedruckt werden? Erinnerung: Klassifikation solcher Flächen (bis auf Homöomorphie):... Kann jede solche Fläche in R 3 eingebettet werden? Ja! Kann jede solche Fläche trianguliert werden? Ja! (Radó) Kann jede solche Fläche gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit von R 3? Ja! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 23
61 Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit gedruckt werden? (falls höherdimensionale Drucker zur Verfügung stehen) Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 24
62 Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit gedruckt werden? (falls höherdimensionale Drucker zur Verfügung stehen) Kann jede solche Mannigfaltigkeit in R? eingebettet werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten höherdimensionalen Mannigfaltigkeit? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 24
63 Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? Genauer: Kann jede geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit gedruckt werden? (falls höherdimensionale Drucker zur Verfügung stehen) Kann jede solche Mannigfaltigkeit in R? eingebettet werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Kann jede solche Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. ist jede solche Fläche der Rand einer kompakten höherdimensionalen Mannigfaltigkeit? Klassifikation solcher Mannigfaltigkeiten (bis auf Homöomorphie):?! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 24
64 Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25
65 Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Ja! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25
66 Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Ja! Kann jede kompakte n-mannigfaltigkeit in R n+1 eingebettet werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25
67 Einbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede kompakte Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet werden? Ja! Kann jede kompakte n-mannigfaltigkeit in R n+1 eingebettet werden? Nein! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 25
68 Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26
69 Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Nein! (Freedman) Für glatte Mannigfaltigkeiten: Ja! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26
70 Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Nein! (Freedman) Für glatte Mannigfaltigkeiten: Ja! Eindeutigkeit: Besitzen je zwei Triangulierungen eine gemeinsame Verfeinerung? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26
71 Triangulierbarkeit von Mannigfaltigkeiten Existenz: Kann jede Mannigfaltigkeit trianguliert werden? Nein! (Freedman) Für glatte Mannigfaltigkeiten: Ja! Eindeutigkeit: Besitzen je zwei Triangulierungen eine gemeinsame Verfeinerung? Nein! (Widerlegung der sogenannten Hauptvermutung; Gegenbeispiel von Donaldson) Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 26
72 Füllbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. gibt es zu jeder kompakten n-mannigfaltigkeit M ohne Rand eine kompakte n + 1-Mannigfaltigkeit W mit W = M? Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 27
73 Füllbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. gibt es zu jeder kompakten n-mannigfaltigkeit M ohne Rand eine kompakte n + 1-Mannigfaltigkeit W mit W = M? Nein! Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 27
74 Füllbarkeit von Mannigfaltigkeiten Kann jede Mannigfaltigkeit gefüllt werden? D.h. gibt es zu jeder kompakten n-mannigfaltigkeit M ohne Rand eine kompakte n + 1-Mannigfaltigkeit W mit W = M? Nein! Diese Fragestellung führt zum Begriff des Bordismus, der wichtige Entwicklungen in der geometrischen Topologie, Homotopietheorie, und der algebraischen Geometrie angestoßen hat. Clara Löh Kann man jede Mannigfaltigkeit drucken? 27
75 Zusammenfassung Dreidimensionale Objekte werden Schicht für Schicht gedruckt Man modelliert dreidimensionale Objekte durch ihre zweidimensionale Oberfläche (bzw. eine feine Triangulierung davon) Nicht jede STL-Datei kann gedruckt werden Nicht jede Mannigfaltigkeit kann auf diese Weise gedruckt werden, selbst wenn hochdimensionale Drucker zur Verfügung stehen Clara Löh Zusammenfassung 28
76 Werbung! Schülerzirkel Mathematik der Fakultät für Mathematik der Universität Regensburg: Nächster Workshop: voraussichtlich im Mai Der Schülerzirkel in Buchform: Quod erat knobelandum C. Löh, S. Krauss, N. Kilbertus (Hrsg.) Springer Spektrum, erscheint 2016 (morgen?!). Clara Löh Werbung! 29
Herzlich Willkommen!
Herzlich Willkommen! 3D-Druck wird jeder zum Produzenten? Zukunftswerkstatt 11. November 2015 Schlagzeilen Waffen aus dem 3D-Drucker Drucken Sie sich eine Pizza Jeder wird zum Produzenten Was ist 3D-Druck?
MehrFestigkeit von FDM-3D-Druckteilen
Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen Häufig werden bei 3D-Druck-Filamenten die Kunststoff-Festigkeit und physikalischen Eigenschaften diskutiert ohne die Einflüsse der Geometrie und der Verschweißung der
Mehr3D Printing Technologie Verfahrensüberblick
3D Printing Technologie Verfahrensüberblick FOTEC Forschungs- und Technologietransfer GmbH Dr. Markus Hatzenbichler Engineering Technologies (TEC) Group Wiener Neustadt, 23.09.2015 Persönlicher Hintergrund
Mehr3D-Algebra Version 2
3D-Algebra Version 2 Fakultät für Mathematik und Informatik Datenbanksysteme für neue Anwendungen FernUniversität in Hagen 19.November 2015 c 2015 FernUniversität in Hagen Das Ziel Repräsentation von Punkten,
MehrLaser zur Darstellung von. Struktur- und Funktionskeramiken
Laser zur Darstellung von Struktur- und Funktionskeramiken S. Engler, J. Günster, J.G. Heinrich Technische Universität Clausthal The Lase wde Inhalt: Folie 1 Selektives Lasersintern im Pulverbett Lagenweise
MehrDie einzelnen Radpid- Prototyping-Verfahren im Detail
Was ist? bedeutet übersetzt: schneller Modellbau und ist ein Überbegriff für die verschiedenen Technischen Verfahren, welche zur schnellen Fertigung von Bauteilen verwendet werden. Der Ausgangspunkt sind
MehrDesktop Manufacturing CNC im Privathaushalt angekommen
Desktop Manufacturing CNC im Privathaushalt angekommen Referent: Marcus A. Link Direct Manufacturing Übersetzt bedeutet das: Direkte Fertigung, und bezeichnet Methoden und Produktionsverfahren zur schnellen
MehrSeminar: 3D-Geometrieverarbeitung. 3D-Druck 12.11.2012. Lucas Georg
Seminar: 3D-Geometrieverarbeitung 12.11.2012 Gliederung 1. Einführung 2. verfahren 3. Perspektive 4. Quellen - Erstellt reales Objekt aus digitalen Daten - STL-Dateiformat de facto Standard - Vielzahl
MehrInnovationsIMPULS 3D-Druck in der Praxis. Udo Gehrmann, Fertigungsleiter
InnovationsIMPULS 3D-Druck in der Praxis Udo Gehrmann, Fertigungsleiter Agenda -Kurzvorstellung unseres Unternehmens -Erzeugung digitaler Daten -optische Messtechnik - Dateiformate -3D Druck in der Praxis
MehrZPG-Mitteilungen für gewerbliche Schulen - Nr. 44 - Juni 2009 1. Inhaltsverzeichnis
ZPG-Mitteilungen für gewerbliche Schulen - Nr. 44 - Juni 2009 1 Inhaltsverzeichnis Rapid Prototyping mit dem 3D-Drucker 2 3D Drucker in Betrieb genommen............................... 2 Verfahren.............................................
MehrGlossar. Definition und Bezeichnungen
Glossar Definition und Bezeichnungen Die pauschal als 3D-Druck beschriebenen Verfahren erstellen aus einem beliebig vorgegebenen Entwurf unmittelbar ein dreidimensionales Objekt zum Anfassen. Der Entwurf
MehrL E I T F A D E N. Wissenschaftliches Arbeiten im Studium der Theologie an der Universität Regensburg
L E I T F A D E N Wissenschaftliches Arbeiten im Studium der Theologie an der Universität Regensburg Fakultät
MehrExport von Rhinoceros-Dateien in das STL-Format
Rapid Prototyping und Manufacturing Labor TUTORIAL EXPORT VON RHINOCEROS- DATEIEN Export von Rhinoceros-Dateien in das STL-Format Dipl.-Ing.(FH) F. Schneider / R. Schmid Vorwort (MESH = POLYGONNETZ) Die
MehrComputer Graphik II Tesselierung impliziter Kurven und Flächen
Computer Graphik II impliziter Kurven und Flächen 1 impliziter Flächen Problem: Nullstellenmenge kann nicht explizit berechnet werden! Lösung: ApproximaCon der Fläche auf Zellen Beispiel 2D: f p ( )
Mehr3D Drucker Wir stehen erst ganz am Anfang. Herzlich Willkommen.
3D Drucker Wir stehen erst ganz am Anfang Herzlich Willkommen. Wer hatte bereits Kontakt mit 3D Druck / 3D Technologien? Welchen Gegenstand würden Sie gerne mit einem 3D Drucker herstellen? Welches Material
MehrAdditive Manufacturing oder generative Fertigungsverfahren vom Prototypen zur Massenfertigung?
Additive Manufacturing oder generative Fertigungsverfahren vom Prototypen zur Massenfertigung? Prof. Dr.-Ing. Reiner Anderl Alexander Arndt, M.Sc. Fachgebiet Datenverarbeitung in der Konstruktion (DiK)
Mehr3D-Druck Chancen für die Spritzgussindustrie
3D-Druck Chancen für die Spritzgussindustrie MEDTECH-Anwendungen und Potenziale Das Freiamt - eine innovative Wirtschaftsregion 1 3D-Druck: Was bisher geschah Vom Rapid Prototyping zu additiver Fertigung:
Mehr3. TechnologieDialog Südwestfalen
3. TechnologieDialog Südwestfalen 3D Druck, wohin geht die Reise? Lüdenscheid 23.03.2015 Praxisbeispiele der Fa. Canto Ing. GmbH Lüdenscheid Hagen Tschorn I Geschäftsführer Kurzvorstellung der Firma Canto
Mehr1 EINLEITUNG 1 2 TECHNOLOGIE 23
IX INHALT 1 EINLEITUNG 1 1.1 Zielsetzung für das Buch 2 1.2 Industrielle Produktion im Wandel 4 1.3 Umgang mit neu aufkommenden Technologien 9 1.4 Begriffe der generativen Fertigungsverfahren 11 1.5 Einordnung
MehrLangzeitarchivierung wissenschaftlicher 3D-Daten
Langzeitarchivierung wissenschaftlicher 3D-Daten 3D-Daten und das EU-Projekt DURAARK Bibliothekssymposium Wildau, 09. September 2014 Michael Panitz (LUH) Michelle Lindlar (LUH) Peter Löwe (LUH) 1 / 21
MehrReprap 3D Drucker. OpenHardware & OpenSoftware in idealer Kombination. Referent: Stefan Krister
OpenHardware & OpenSoftware in idealer Kombination Referent: Stefan Krister OpenHardware & OpenSoftware in idealer Kombination Abgrenzung 3D Druck allgemein / Reprap Bestandteile eines 3D Druckers Software
MehrRPT. a) Nennen Sie die verschiedenen Arten von Modelltypen und ihr Abstraktions- und Detaillierungsgrad, sowie die Funktionalitäten.
Kapitel 1 Aufgabe 1 a) Nennen Sie die verschiedenen Arten von Modelltypen und ihr Abstraktions- und Detaillierungsgrad, sowie die Funktionalitäten. b) In welchem Stadium der Produktentwicklung wird welcher
Mehr3D-Skulpturen aus Algebraischen Flächen
3D-Skulpturen aus Algebraischen Flächen FORWISS Universität Passau Institut für Softwaresysteme in technischen Anwendungen der Informatik 18. September 2008 Teil I Rapid Prototyping Begriff Rapid Prototyping
Mehr3D-Druck-Shop Berlin. Verleih, Verkauf & Reparatur von 3D-Druckern 3D-Datenerstellung 3D-Internetlösungen
3D-Druck-Shop Berlin Verleih, Verkauf & Reparatur von 3D-Druckern 3D-Datenerstellung 3D-Internetlösungen 3D-Druck? es wird kein Druck ausgeübt additives Produktionsverfahren Objekt wird durch Hinzufügen
Mehr3D DRUCK: DIE ZUKUNFT
3D DRUCK: DIE ZUKUNFT DIE WICHTIGSTEN ERFINDUNGEN DER MENSCHHEIT IM 21. JAHRHUNDERT Wissenschaftliche und technologische Revolution oder die Revolution der Intelligenz. Das 21. Jahrhundert als Verbindung
Mehr3D Druckverfahren. Materialien:
3D Druckverfahren Stereolithographie Von einer 3D-Datei ausgehend wird das Bauteil von unten nach oben in einem Gefäß mit flüssigem Epoxidaufgeschichtet, welches wiederum aushärtet, sobald es von einem
MehrBei diesem Projekt handelt es sich um ein privates DIY-Projekt.
You-SLS Bei diesem Projekt handelt es sich um ein privates DIY-Projekt. Kurzbeschreibung You-SLS ist ein experimenteller open-source 3D Drucker welcher Objekte Schicht für Schicht aus feinem Pulver aufbaut.
MehrOpen Source 3D-Druck. Live und in Farbe. Lars Andresen @larsan 23.10.2013. 23.10.2013 Open Source 3D-Druck - Lars Andresen 1
Open Source 3D-Druck Live und in Farbe Lars Andresen @larsan 23.10.2013 23.10.2013 Open Source 3D-Druck - Lars Andresen 1 Inhalte Werwiewas, hä? 3D-Drucker (Hardware) 3D-Modelle erstellen (Software) 3D-Drucken
MehrDESIGN GUIDE 3D-DRUCK !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! und Ihre Ideen werden be/greifbar. !!! DESIGN GUIDE für 3D-DRUCK !!!!!!! Version 02 am 16.03.
und Ihre Ideen werden be/greifbar DESIGN GUIDE für 3D-DRUCK Vorwort Ideen und Visionen lassen sich mittels 3D-Druck einfach, kostengünstig und schnell visualisieren. Es ist einfacher eine Idee mittels
MehrArbeiten mit dem Geometrieprogramm GeoGebra
Fachdidaktik Modul 1, WS 2012/13 Didaktik der Geometrie III: Konstruieren Planarbeit Arbeiten mit dem Geometrieprogramm GeoGebra I. Erstes Erkunden der Programmoberfläche: Grund- und Standardkonstruktionen
MehrDIY. Personal Fabrica1on. Juergen Eckert Informa1k 7
DIY Personal Fabrica1on 3D Juergen Eckert Informa1k 7 Agenda Taxonomie Fer1gung Top-Down im Detail DIN8580 1/2 (Klassisch, Stand 2003/09) 1. Urformen (Zusammenhalt schaffen) Aus formlosem Stoff ein Werkstück
MehrBuilding Interactive Devices and Objects. Prof. Dr. Michael Rohs, Dipl.-Inform. Sven Kratz michael.rohs@ifi.lmu.de MHCI Lab, LMU München
Building Interactive Devices and Objects Prof. Dr. Michael Rohs, Dipl.-Inform. Sven Kratz michael.rohs@ifi.lmu.de MHCI Lab, LMU München Today OpenSCAD Laser cutter Milling machine 3D printer Building Interactive
Mehrwww.zprinter.de Der weltweit kostengünstigste und am höchsten automatisierte 3D-Farbdrucker Aachen Cottbus Duisburg Erlangen Kiel München Oldenburg
www.zprinter.de Der weltweit kostengünstigste und am höchsten automatisierte 3D-Farbdrucker Telefon: 0241/9671-111 E-Mail: Vertrieb@ZPrinter.de www.zprinter.de Aachen Cottbus Duisburg Erlangen Kiel München
Mehr3D-Drucker. Lukas Hofer. Lukas Hofer 11.12.2012 1
3D-Drucker Lukas Hofer Lukas Hofer 11.12.2012 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition...3 1.1 Definition Digital Fabrication...3 1.2 Definition 3D-Drucker.... 3 2 Geschichte. 3 3 Druckverfahren und Materialien
MehrDarstellende Geometrie Übungen. Tutorial. Übungsblatt: Perspektive - Rekonstruktion
Darstellende Geometrie Übungen Institut für Architektur und Medien Tutorial Übungsblatt: Perspektive - Rekonstruktion Gegeben sind ein Foto von einem quaderförmigen Objekt sowie die Abmessungen des Basisrechteckes.
MehrDas Aufteilen und Verbinden von FDM (Fused Deposition Modeling)-Bauteilen ist eine hervorragende Lösung für
Übersicht Das Aufteilen und Verbinden von FDM (Fused Deposition Modeling)-Bauteilen ist eine hervorragende Lösung für Bauteile, die zu groß für einen einzelnen Arbeitsschritt sind, sowie für eine schnellere
MehrEvaluation verschiedener 3D-Drucker
Evaluation verschiedener 3D-Drucker Seminar Technische Informatik, Wintersemester 2013/2014 Jacqueline Hammer 05.02.2014 Jacqueline Hammer Evaluation verschiedener 3D-Drucker 05.02.2014 1 / 36 1 Überblick
Mehr3D Druck: Skript zum FG 3D Modelling und 3D Druck
3D Druck: Skript zum FG 3D Modelling und 3D Druck 3D Druck: 3D Druck Arten 3D-Druck mit Pulver (3DP) Selective Laser Sintering (SLS) Electron Beam Melting Ein sehr fortgeschrittenes Verfahren aus dem Bereich
MehrGrundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung
Vortrag zu Mathematik, Geometrie und Perspektive von Prof. Dr. Bodo Pareigis am 15.10.2007 im Vorlesungszyklus Naturwissenschaften und Mathematische Wissenschaften im Rahmen des Seniorenstudiums der LMU.
Mehr1. Sichtbarkeitsproblem beim Rendern einer dreidimensionalen Szene auf einer zweidimensionalen
3D-Rendering Ulf Döring, Markus Färber 07.03.2011 1. Sichtbarkeitsproblem beim Rendern einer dreidimensionalen Szene auf einer zweidimensionalen Anzeigefläche (a) Worin besteht das Sichtbarkeitsproblem?
MehrJUFOTech. wko.at/tirol/jufotech DATENBLATT. Jugend forscht in der Technik. Titel der Projektarbeit: Fachgebiet:
Datenblatt (dient als Titelblatt für die Projektarbeit) Seite 1/2 JUFOTech Jugend forscht in der Technik wko.at/tirol/jufotech DATENBLATT Wir nehmen am Wettbewerb Jugend forscht in der Technik Auf den
MehrFertigung von Strahldüsen beliebiger Geometrie mit dem selektiven Laser Sinter Verfahren
Fertigung von Strahldüsen beliebiger Geometrie mit dem selektiven Laser Sinter Verfahren Seite 1 Klassifizierung der Verfahren Werkstoffe für generative Verfahren fest flüssig gasförmig Draht Pulver Folie
MehrGeometrische Mannigfaltigkeiten
Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie
Mehr3D-Druck-Verfahren für Prototyping und Produktion
3D-Druck-Verfahren für Prototyping und Produktion WIE SIE MIT ADDITIVER FERTIGUNG BESSERE PRODUKTE ENTWICKELN Real Parts. Really Fast. Proto Labs Ltd., Alte-Neckarelzer-Straße 24 74821 Mosbach, Germany
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrQ & A: Representation Tool
neoapps GmbH Sägewerkstraße 5 D-83416 Saaldorf-Surheim GmbH Tel: +49 (0)86 54-77 88 56-0 Fax: +49 (0)86 54-77 88 56-6 info@neoapps.de Q & A: Representation Tool REP ist ein Werkzeug für die schnellen und
MehrGenerative Fertigung von Endprodukten
Fachvortrag im Rahmen des 4. Lübecker Werkstofftages, IHK zu Lübeck Generative Fertigung von Endprodukten Institut für CIM-Technologietransfer der Fachhochschule Kiel email: thomas.abraham@fh-kiel.de homepage:
Mehr3D-Drucker German PRotos V2 mit Inventor und Simplify3D Bedienungsanleitung in Kurzform
3D-Drucker German PRotos V2 mit Inventor und Simplify3D Bedienungsanleitung in Kurzform Inhalt a. Inventor, 3D-CAD-Programm... 2 b. Simlify3D, Steuerungs-Programm... 3 Bedienungselemente... 3 Filament
MehrGenerative Fertigungsverfahren und deren Geschichte (SLS/SLM, MJM) Eric Bergter Hamburg, den 11.04.2016
Generative Fertigungsverfahren und deren Geschichte (SLS/SLM, MJM) Eric Bergter Hamburg, den 11.04.2016 Generative Fertigungsverfahren und deren Geschichte - Inhaltsverzeichnis Einführung Überblick der
MehrVolumenrendering. Modellierung der visuellen Erscheinung von semitransparenten, beleuchteten Objekten. Marcel Petrick
Volumenrendering Modellierung der visuellen Erscheinung von semitransparenten, beleuchteten Objekten Marcel Petrick Einleitung Anwendung zur Visualisierung von Skalarfunktionen dreidimensionaler Variablen
Mehr7 Generative Vertahren
7 Generative Vertahren Generative Verfahren Generative Verfahren sind Fertigungsverfahren, mit denen es kurzfristig möglich ist, prototypen und Modelle aus Kunststoffen, Wachsen oder Papierwerkstoffen
MehrGenerative Fertigungsverfahren in der Elektronik
Generative Fertigungsverfahren in der Elektronik Technologieforum 13./14. März 2013 Fraunhofer Institut Zuverlässigkeit und Mikrointegration Standort Oberpfaffenhofen Argelsrieder Feld 6, D-82234 Oberpfaffenhofen
MehrGrundlagen der 3D-Modellierung
April 28, 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Direkte Darstellungsschemata 3 Indirekte Darstellungsschemata 4 Parametrische Kurven und Freiformflächen 5 Abschluss Motivation Vom physikalischen Körper
Mehr3. Drucken und Exporte
3. Drucken und Exporte 1. Drucken Um drucken zu können ist es nötig zuerst ein Objekt/Projekt zu erstellen. Nun wählt man den punkt Datei Druckereinrichtung aus. (siehe Abbildung 1). siehe hier Abbildung
MehrWEPRO. Technologietransfer von High-Tech-Wissen zur Werkzeugproduktion in sächsischen Unternehmen. 27. Juni 2006. in Oelsnitz / Erzgebirge.
WEPRO Technologietransfer von High-Tech-Wissen zur Werkzeugproduktion in sächsischen Unternehmen Workshop in Oelsnitz / Erzgebirge 27. Juni 2006 Inhalt Versuch einer Systematisierung Rapid Tooling zur
MehrBasistraining Vektorgrafik
Basistraining Vektorgrafik Der kreative Pfad zu besseren Grafiken Bearbeitet von Von Glitschka 1. Auflage 2014. Taschenbuch. XVI, 234 S. Paperback ISBN 978 3 86490 182 9 Format (B x L): 18,5 x 24,5 cm
MehrAnimation der Montage von CATIA-Bauteilen
Animation der Montage von CATIA-Bauteilen KONZEPTION UND PROTOTYP PRÄSENTATION ZUM PRAXISPROJEKT SS 2007 VON TIM HERMANN BETREUER: PROF. DR. HORST STENZEL Motivation Voraussetzungen Ziele Datenkonvertierung
MehrIII. Einleitung 9. 1. 30-Druck, die Geschichte des Rapid Prototypings 13. 2. 30-Druck, wie funktioniert das? 21. 3. Weitere 30-Druck-Verfahren 35
11 Inhalt Einleitung 9 1. 30-Druck, die Geschichte des Rapid Prototypings 13-1.1 Wie alles anfing 13 1.2 Subtraktive und additive Fertigungsverfahren_ 14 1.3 Vom Rapid Prototyping zum 3D-Druck für jedermann
MehrIntegration von Schülerinnen und Schülern mit einer Sehschädigung an Regelschulen
Integration von Schülerinnen und Schülern mit einer Sehschädigung an Regelschulen Didaktikpool Falttechniken zum Einsatz im Mathematikunterricht mit sehgeschädigten Kindern Emmy Csocsán / Christina Blackert
MehrKonstruktion komplexer Geometrie zur Realisierung mittels RP-Verfahren
Konstruktion komplexer Geometrie zur Realisierung mittels RP-Verfahren Motivation ca. 12% des Gesamtpreises eines Produktes entfallen auf die Konstruktion ca. 75% des Gesamtpreises werden durch die Festlegungen
MehrAndreas Gebhardt. Rapid Prototyping. Werkzeug für die schnelle Produktentwicklung. Mit 166 Bildern und 37 Tabellen. Carl Hanser Verlag München Wien
Andreas Gebhardt Rapid Prototyping Werkzeug für die schnelle Produktentwicklung Mit 166 Bildern und 37 Tabellen Carl Hanser Verlag München Wien Inhalt Vorwort 1 Definition 3 1 Von der Produktentwicklung
Mehr3-matic STL 9.0. Von der Topologie-Optimierung zum gedruckten Bauteil, Materialise beschreitet neue Wege
3-matic STL 9.0 Von der Topologie-Optimierung zum gedruckten Bauteil, Materialise beschreitet neue Wege Christophe Blanc Applikationsingenieur 11.03.2015 Software-Plattform für 3D-Druck Software-Plattform
MehrDas Falten-und-Schneiden Problem
Das Falten-und-Schneiden Problem Kristian Bredies Uttendorf, 14. Februar 2005 Inhalt Einleitung Origami Das Falten-und-Schneiden Problem Mathematische Analyse Flaches Origami Lokale Eigenschaften Faltbarkeit
MehrLicom AlphaCAM 2012 R1
Licom AlphaCAM 2012 R1 What is New Seite 1 von 17 Borchersstr. 20 Sehr geehrte AlphaCAM Anwender, anliegend finden Sie die Update-Information zu unserer AlphaCAM Haupt-Release für das Jahr 2012, der Version
MehrAUSSTATTUNG HOCHSCHULE SCHMALKALDEN. Alle Anlagen wurden durch Mittel des Freistaates Thüringen im Rahmen des ThZM gefördert.
AUSSTATTUNG HOCHSCHULE SCHMALKALDEN Alle Anlagen wurden durch Mittel des Freistaates Thüringen im Rahmen des ThZM gefördert. WISSEN. / TECHNISCHE EINRICHTUNG / GERÄTEBEZEICHNUNG: Laseranlage zum experimentellen
MehrWeiterführende Literatur/Internetlinks
Kurzbiografie Petra Fastermann (MA, University of Toronto, Kanada) ist Autorin und gleichzeitig Geschäftsführerin der Fasterpoly GmbH, Düsseldorf. 2010: Gründung der Fasterpoly GmbH als 3D-Druck-Dienstleister
MehrBildverarbeitung Herbstsemester 2012. Kanten und Ecken
Bildverarbeitung Herbstsemester 01 Kanten und Ecken 1 Inhalt Einführung Kantendetektierung Gradientenbasierende Verfahren Verfahren basierend auf der zweiten Ableitung Eckpunkterkennung Harris Corner Detector
MehrFachtagung der Industrieplattform 3D-Druck am 22.1.2014 beim VDMA Additive Fertigungsverfahren
Fachtagung der Industrieplattform 3D-Druck am 22.1.2014 beim VDMA Additive Fertigungsverfahren Quelle: Hannes Grobe/AWI Dr.Markus Rainer Gebhardt, Heering, VDMA VDMA 3D-Druck im VDMA 3D-Druck ist Maschinenbau-Thema
MehrInhalt: 1. Ausgangssituation Seite 1 2. Kurzübersicht Seite 2-5 3. Gesamtübersicht Seite 6-16 4. Anhang Seite 17-19
Design Guidelines for Rapid Prototyping Konstruktionsrichtlinie für ein fertigungsgerechtes Gestalten anhand des used Deposition Modeling mit Dimension SST 768 Labor für Strukturmechanik und Konstruktion
MehrEntstehung und Aussichten
3D-Druck? es wird kein Druck ausgeübt 3D-Printing einfach übersetzt mit Drucken additive manufacturing Additives Verfahren Form wird durch hinzufügen von Material erzeugt Herstellung der Bauteile auf Basis
MehrExcel 2010 Kommentare einfügen
EX.015, Version 1.0 25.02.2014 Kurzanleitung Excel 2010 Kommentare einfügen Beim Arbeiten mit Tabellen sind Kommentare ein nützliches Hilfsmittel, sei es, um anderen Personen Hinweise zu Zellinhalten zu
MehrDas Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1
Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Geometrie Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was sind Vektoren/ ein Vektorraum? Wie misst man Abstände und Winkel? Welche geometrischen
MehrCALCOO Lite. Inhalt. 1. Projekt anlegen / öffnen. 2. Projekt von CALCOO App importieren
CALCOO Lite Hier finden Sie eine Kurzanleitung zu den einzelnen Projektschritten von CALCOO Light. Nach dem Lesen wissen Sie die grundlegenden Funktionen zu bedienen und können ein Projekt erstellen. Inhalt
MehrAbwicklungen in Solid Edge
Abwicklungen in Solid Edge Solid Edge ist ein Programm, das auf die Praxis zugeschnitten ist. In der Schule werden oft mathematische Abwicklungen verlangt. Biegerundung Eckauskklinkung Der Hauptunterschied
Mehr3D-Druck: Innovative Ideen einfach umgesetzt
3D-Druck für KMU 3D-Druck: Innovative Ideen einfach umgesetzt Inhalt Faszination 3D-Druck 2 Verfahren und Techniken 3 Materialeigenschaften und Kosten 6 3D-Scanning 7 3D-Community und Workshops 8 Dienstleistungen
MehrFrag die Maus. Sascha Kurz sascha.kurz@uni-bayreuth.de. Diskrete Geometrie 09.05.2006. Universität Bayreuth. Frag die Maus. Sascha Kurz.
sascha.kurz@uni-bayreuth.de Universität Bayreuth Diskrete Geometrie 09.05.2006 Gliederung 1 2 Frag doch mal die Maus Frag doch mal die Maus Für alle, die die große Samstagabend-Show im Ersten verpasst
MehrTeil I 3D-Druck Die ersten Schritte 21. Kapitel 1 Wie 3D-Drucker zur modernen Fertigung passen 23
Inhaltsverzeichnis Einführung 17 Über dieses Buch 17 Törichte Annahmen 17 Symbole in diesem Buch 18 Wie dieses Buch aufgebaut ist 19 Teil I: 3D-Druck die ersten Schritte 19 Teil II: 3D-Druckressourcen
MehrEinführung in Creo Parametric 2.0
Einführung in Creo Parametric 2.0 Überblick Kursnummer Kursdauer TRN-3902 T 5 Tage In diesem Kurs liegt erlernen Sie die wichtigsten Fähigkeiten, die zum Modellieren benötigt werden. Sie arbeiten sich
MehrFeature und Topologieerkennung Mehr Möglichkeiten mit CAPVIDIA Erweiterung und PARTsolutions
Feature und Topologieerkennung Mehr Möglichkeiten mit CAPVIDIA Erweiterung und PARTsolutions Cadenas Industrie Forum 2015 05.02.2015 Thomas Tillmann Capvidia GmbH Agenda Das Unternehmen Anwendungsbereiche
Mehr3D-Druck Impulsreferat
Impulsreferat Lehrstuhl für Wirtschaftsinformatik und Systementwicklung Julius-Maximilians-Universität Würzburg Netzwerktreffen Würzburg, 26. Januar 2015 Wird die Welt verändern? Quelle: The Economist
MehrBasteln und Zeichnen
Titel des Arbeitsblatts Seite Inhalt 1 Falte eine Hexentreppe 2 Falte eine Ziehharmonika 3 Die Schatzinsel 4 Das Quadrat und seine Winkel 5 Senkrechte und parallele Linien 6 Ein Scherenschnitt 7 Bastle
MehrVom Ausdruck ins Internet
Vom Ausdruck ins Internet Skip to subnavigation Mit den professionellen Publishing-Tools von Adobe InDesign und den hochwertigen Weberstellungs-Tools von Adobe GoLive können Sie für den Druck vorgesehene
MehrWie löst man Mathematikaufgaben?
Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt
MehrFlorian Horsch. 3D-Druck für alle. Der Do-it-yourself-Guide HANSER
Florian Horsch 3D-Druck für alle Der Do-it-yourself-Guide j HANSER Vorwort Einführung 1 3D-Druck kompakt: Ein Schnelleinstieg in die Technologie 1.1 Was ist eigentlich 3D-Druck? 1.2 Vom 3D-Modell zum Schichtmodell
MehrZ88AURORA V2 BEISPIELHANDBUCH: STL IMPORT Beispiel 11: Motorrad Kurbelwelle. (Tetraeder Nr. 16 mit 10 Knoten)
Z88AURORA V2 BEISPIELHANDBUCH: STL IMPORT Beispiel 11: Motorrad Kurbelwelle (Tetraeder Nr. 16 mit 10 Knoten) ist eine eingetragene Marke (Nr. 30 2009 064 238) von Univ. Prof. Dr. Ing. Frank Rieg Es soll
Mehr3. Grundlagen der Linearen Programmierung
3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations
MehrWelle. CAD Catia Solids. Arbeitsunterlagen. Prof. Dr.-Ing. A. Belei. Prof. Dr.-Ing. A. Belei CAD CATIA V5 Solids Welle.
Prof. Dr.-Ing. A. Belei CAD Catia Solids Arbeitsunterlagen 2006 Seite 1 / 20 Inhaltsverzeichnis: 1 Allgemeines... 3 2 Skizze als Profil (Variante 1)... 7 3 Skizze als Kreis (Variante 2)... 8 4 Verrundung,
MehrExpander Graphen und Ihre Anwendungen
Expander Graphen und Ihre Anwendungen Alireza Sarveniazi Mathematisches Institut Universität Göttingen 21.04.2006 Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen 21.04.2006
MehrWunderwerke aus Papier
Wunderwerke aus Papier Kartonmodellbau ist der Bau von Modellen aus Karton und Papier. Im englischsprachigen Ausland und Japan ist der Begriff Papercraft (engl. Papierhandwerk ) gebräuchlich. Vorwiegend
MehrInformationen zum Aufnahmetest Mathematik
Erwachsenenschule Bremen Abendgymnasium und Kolleg Fachvertretung Mathematik Informationen zum Aufnahmetest Mathematik Der Aufnahmetest Mathematik ist eine schriftliche Prüfung von 60 Minuten Dauer. Alle
MehrDie Möglichkeiten des 3D-Drucks mit dem Verfahren des Fused Deposition Modeling anhand des RepRap Prusa Mendel I2
BRG Kepler Die Möglichkeiten des 3D-Drucks mit dem Verfahren des Fused Deposition Modeling anhand des RepRap Prusa Mendel I2 Fächerübergreifende Fachbereichsarbeit aus Angewandte Informationstechnologie
MehrPhotoImpact12 Fortgeschritten W. Barth + E.Völkel
1 1. Neues Bild erstellen mit Hintergrund, Effekten + Text PhotoImpact12 öffnen Wir erstellen zuerst ein ganz neues Bild Auf Datei Neu oder auf das Symbol klicken Bildgröße Standard auf Pfeil klicken Größe
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Kinder lesen Bücher - Erich Kästner - Die Konferenz der Tiere
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Kinder lesen Bücher - Erich Kästner - Die Konferenz der Tiere Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de SCHOOL-SCOUT
MehrGrasshopper-Rhino-Illustrator Tutorial
Grasshopper-Rhino-Illustrator Tutorial BAKE - MAKE2D - EXPORT Sobald ihr eure Schaltung fertig gebaut habt müsste es in etwa so in Rhino angezeigt werden. Wenn ihr jetzt die Geometrie d.h. die gelofteten
MehrKompetenzraster CAD/CAM 2. Lehrjahr Name: Klasse: Z
Kompetenzraster CAD/CAM. Lehrjahr Name: Klasse: Z Prinzipieller Ablauf des digitalen Workflows Lernsituation : Darstellung der Herstellung einer Krone. nachlern weis Teilkompe tenzen Stufe Ich kann die
MehrLineare Codes. Dipl.-Inform. Wolfgang Globke. Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 19
Lineare Codes Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 19 Codes Ein Code ist eine eindeutige Zuordnung von Zeichen
MehrOft gestellte Fragen (FAQ) Siebdruckkurse Jugendkulturhaus Dynamo Zürich
1 Oft gestellte Fragen (FAQ) Zürich Direkt zum Thema: Anmeldung Kursinhalt Farben Material Motiv Seite 1 Seite 2 Seite 3 Seite 3 S. 4-6 Anmeldung Wieviele Personen können an einem Kurs teilnehmen? Wegen
MehrLow-Cost-Herstellung individualisierter Produkte
Low-Cost-Herstellung individualisierter Produkte Die eigene Garage als Fabrik? Spath, Sebastian 1 ; Seitz, Hermann 1 1 Universität Rostock, Lehrstuhl für Fluidtechnik und Mikrofluidtechnik 2013 Sebastian
MehrNachklausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Lösung Aufgabe 1 1.Weg (kurz und einfach):
Nachklausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Lösung ufgabe 1 1.Weg (kurz und einfach): C! **C* Umlaufsinn erhalten Verschiebung oder Drehung Verbindungsgeraden *, *, CC* nicht parallel Drehung
Mehr