Krankenversicherungsmathematik

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1 8. Januar 2008

2 Überblick 1 Kopfschaden 2

3 Kopfschaden Definition Methode von Rusam Altersgruppenbildung Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden

4 Definition des Kopfschadens Definition Als Kopfschaden K bezeichnet man den Erwartungswert des für ein Einzelrisiko innerhalb einer bestimmten Zeitspanne gezahlten Betrages an Versicherungsleistungen einer bestimmten Leistungsart.

5 Mathematisches Modell KB [0, )... Kalenderzeitbereich t... Kalenderzeit AB... Altersbereich

6 Mathematisches Modell KB [0, )... Kalenderzeitbereich t... Kalenderzeit AB... Altersbereich x AB := {x min,..., x max } N

7 Mathematisches Modell KB [0, )... Kalenderzeitbereich t... Kalenderzeit AB... Altersbereich x AB := {x min,..., x max } N I(t)... Population x i (t)... versicherungstechnisches Alter i... Person

8 Mathematisches Modell KB [0, )... Kalenderzeitbereich t... Kalenderzeit AB... Altersbereich x AB := {x min,..., x max } N I(t)... Population x i (t)... versicherungstechnisches Alter i... Person I x (t) := {i I (t) x i (t) = x}

9 stochastischer Prozess: (s i (t)) t KB Anfallende versicherte Krankheitskosten in der jeweiligen Beobachtungsperiode

10 Präzisierung des Kopfschadens Definition (Präzisierung) Seien (x,t) AB KB, i I x (t), also I x (t). Dann ist der (wahre) Kopfschaden im Alter x zur Zeit t K x (t) := E(s i (t))

11 Präzisierung des Kopfschadens Definition (Präzisierung) Seien (x,t) AB KB, i I x (t), also I x (t). Dann ist der (wahre) Kopfschaden im Alter x zur Zeit t K (τ) x (t) τ K x (t) := E(s i (t))

12 Methode von Rusam Kopfschadenreiehn werden multiplikativ aufgespalten in: Profil Grundkopfschaden

13 Methode von Rusam Definition Seien t KB und (K x (t)) x AB eine Kopfschadenreihe und das Auswahlalter x 0 AB fest. Dann ist G(t) := K x0 (t) der (wahre) Grundkopfschaden und das zugehörige (wahre) Profil. (k x (t)) x AB := ( K x(t) G(t) ) x AB

14 Altersgruppenbildung Kinderkopfschaden: K K = x j 1 x=0 x j 1 K x L x + x j 1 x=0 y=0 x j 1 L x + K y L y L y y=0

15 Altersgruppenbildung Kinderkopfschaden: K K = x j 1 x=0 Jugendlichenkopfschaden: x j 1 K x L x x j 1 x=0 y=0 x j 1 L x + K y L y L y y=0 K j,m = x erw 1 K x L x x=x j x erw 1 L x x=x j bzw. x erw 1 K y L y y=x j x erw 1 L y y=x j

16 Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden t 0... Beobachtungsjahr x AB := {x erw =: x min,..., x max := ω}

17 Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden t 0... Beobachtungsjahr x AB := {x erw =: x min,..., x max := ω} Die wahren Kopfschäden K x = K x (t 0 ) erhält man durch Schätzung der tatsächlichen Kopfschäden: K x tats := S x RZ x SO x L x

18 Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden K tats Sx RZx SOx x := L x S x = S x (t 0 )... Schadensleistungen

19 Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden K tats Sx RZx SOx x := L x S x = S x (t 0 )... Schadensleistungen RZ x = RZ x (t 0 )... Risikozuschläge

20 Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden K tats Sx RZx SOx x := L x S x = S x (t 0 )... Schadensleistungen RZ x = RZ x (t 0 )... Risikozuschläge SO x = SO x (t 0 )... Sondereffekte

21 Tatsächliche Kopfschäden, Profile und Grundkopfschäden K tats Sx RZx SOx x := L x S x = S x (t 0 )... Schadensleistungen RZ x = RZ x (t 0 )... Risikozuschläge SO x = SO x (t 0 )... Sondereffekte L x = L x (t 0 )... Größe des Teilbestandes I x

22 m {0,..., 12} S x = S x,a + S x,m

23 m {0,..., 12} S x = S x,a + S x,m Definition f x (m) := S x,a + S x,m S x ist der Anteil am Gesamtschaden im Beobachtungsjahr t 0 der bis zum Abschluss des m ten Monats des Jahres t entfällt.

24 m {0,..., 12} S x = S x,a + S x,m Definition f x (m) := S x,a + S x,m S x ist der Anteil am Gesamtschaden im Beobachtungsjahr t 0 der bis zum Abschluss des m ten Monats des Jahres t entfällt. ˆf x (m) Quotienten der Vorjahre

25 m {0,..., 12} S x = S x,a + S x,m Definition f x (m) := S x,a + S x,m S x ist der Anteil am Gesamtschaden im Beobachtungsjahr t 0 der bis zum Abschluss des m ten Monats des Jahres t entfällt. ˆf x (m) Quotienten der Vorjahre Ŝ x (m) := Sx,a+Sx,m ˆf x (m), m {0,..., 12}

26 Definition t 0 KB und x 0 AB seien fest ist das tatsächliche Profil k x tats := K x tats K x0 tats

27 Definition t 0 KB und x 0 AB seien fest ist das tatsächliche Profil Definition k x tats := K x tats K x0 tats G tats := K x0 tats ist der tatsächliche Grundkopfschaden

28 G tats = S RZ SO ω x=x erw L x k x tats

29 G tats = ω S RZ SO ω x=x erw L x k x tats S := S(t 0 ) := S x die Gesamtschadensleistung für alle x=x erw Alter

30 G tats = ω S RZ SO ω x=x erw L x k x tats S := S(t 0 ) := S x die Gesamtschadensleistung für alle x=x erw Alter ω RZ := RZ(t 0 ) := RZ x der Gesamtrisikozuschlag x=x erw

31 G tats = ω S RZ SO ω x=x erw L x k x tats S := S(t 0 ) := S x die Gesamtschademsleistung für alle x=x erw Alter ω RZ := RZ(t 0 ) := RZ x der Gesamtrisikozuschlag x=x erw ω SO := SO(t 0 ) := SO x die Summe der Sondereffekte x=x erw

32 Überblick 1 Kopfschaden 2

33 Definition Die m V x von der versicherten Person (x) zum Vertragszeitpunkt m N 0 ist der bedingte erwartete Barwert zukünftiger Krankenversicherungsleistungen für (x), abzüglich des bedingten erwarteten Barwerts zukünftiger Prämienzahlungen von (x).

34 mv x = xmax x m ν=0 v ν x max x m K x+m+ν ν p x+m P x ν=0 v ν ν p x+m

35 mv x = xmax x m ν=0 v ν x max x m K x+m+ν ν p x+m P x ν=0 Aufzinsungsfaktor r höchstens r := 1 + i = v ν ν p x+m

36 mv x = xmax x m ν=0 v ν x max x m K x+m+ν ν p x+m P x ν=0 Aufzinsungsfaktor r höchstens r := 1 + i = Diskotierungsfaktor v mindestens v := 1 r v ν ν p x+m

37 x max x m ν=0 v ν K x+m+ν ν p x+m := A x der erwartete Barwert zukünftiger Versicherungsleistungen für (x)

38 x max x m ν=0 v ν K x+m+ν ν p x+m := A x der erwartete Barwert zukünftiger Versicherungsleistungen für (x) x max x m v ν ν p x+m := ä x ν=0 der erwartete Barwert zukünftiger Prämienzahlungen

39 x max x m ν=0 v ν K x+m+ν ν p x+m := A x der erwartete Barwert zukünftiger Versicherungsleistungen für (x) x max x m v ν ν p x+m := ä x ν=0 der erwartete Barwert zukünftiger Prämienzahlungen P x = Ax ä x ist die Nettojahresprämie

40 Danke für die Aufmerksamkeit!

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